3.2基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，从算术平均数与几何平均数概念切入，系统梳理基本不等式≤（a,b≥0）的形式及等号成立条件，通过代数法与几何法证明，延伸至ab≤、ab≤等变形，最终落脚于“积定和最小、和定积最大”的最值应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以重难点表格清晰呈现突破策略，结合半圆模型等几何直观培养数学眼光，分知识点精练与证明题强化逻辑推理（数学思维），规范答案解析助力数学语言表达。课中辅助教师聚焦“一正二定三相等”教学，课后学生可通过分层练习查漏补缺，提升应用能力。

3.2 基本不等式 2026 年高中数学暑期同步讲义 · 苏教版必修一 【学习目标】 理解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念； 掌握基本不等式 ≤ （a, b ≥ 0），明确等号成立条件； 了解基本不等式的证明（代数法与几何法）； 掌握两个常用变形：ab ≤ 、ab ≤ ； 能运用基本不等式求某些函数的最值，体会“积定和最小、和定积最大”。 【重难点梳理】（表格） 类别 内容要点 突破策略 重点 基本不等式 ≤ 及其等号条件 牢记“一正二定三相等”三步 重点 求最值：和定积最大、积定和最小 先凑出定值，再套不等式 难点 等号成立条件 a=b 的检验 求出最值后必须验证 a=b 能否取到 难点 把实际问题转化为 a+b 与 ab 的关系 设元后寻找定值 易错 忽视“正数”前提（a,b 须 >0） 出现负数先处理或换元 一、教材知识点盘点（请先独立填写，再对照第四节答案） 1. 算术平均数与几何平均数 对于两个正数 a, b，称 ___【1】___ 为 a, b 的算术平均数，称 ___【2】___ 为 a, b 的几何平均数。 2. 基本不等式 基本不等式：若 a, b ≥ 0，则 ___【3】___ ≤ （当且仅当 a = b 时取等号）。 也可写作：若 a, b > 0，则 a + b ≥ ___【4】___（等号当且仅当 a = b 时成立）。 由 (a − b)² ≥ 0 展开并配方，可得 a² + b² ≥ ___【5】___，即 ab ≤ 。 当 a = b 时，算术平均数与几何平均数___【6】___（即两者相等）。 以上两个不等式取等号的条件都是 ___【7】___。 ▲ 图1：半圆模型，CD = ，半径 OD = ，由 CD ≤ OD 得 ≤ ▲ 图2：几何平均数 不大于算术平均数 3. 基本不等式的应用 使用基本不等式求最值时：当 a + b 为定值，ab 有最___【8】___值；当 ab 为定值，a + b 有最___【9】___值。 使用基本不等式必须满足“一正、二定、三___【10】___”。 若 x > 0，则 x + ≥ ___【11】___（当且仅当 x = 1 时取等号）。 若 a, b > 0 且 ab = 9，则 a + b 的最小值为 ___【12】___。 在图3的几何模型中，直径 AB = a + b，过 C 作 CD ⊥ AB 交半圆于 D，则 CD = ___【13】___，半径 OD = ___【14】___。 ▲ 图3：周长一定的矩形中，正方形面积最大 二、随堂练习 1. 设 a, b 为正数，证明： + ≥ 2。 2. 设 a, b 为正数，证明：a + b + + ≥ 4。 3. 若 x > 0，求函数 y = x + 的最小值，并写出取最小值时 x 的值。 4. 已知 a, b > 0，且 a + b = 10，求 ab 的最大值。 5. 判断：若 a, b∈R，则 a + b ≥ 2 。（　　）（填“对”或“错”，并说明理由） 三、分知识点精练 知识点1：基本不等式及证明 1. 下列命题中正确的是（　） A. 对任意 a,b∈R，都有 a+b ≥ 2 B. 若 a,b>0，则 ≤ C. 若 a,b>0，则 a+b ≤ 2 D. ≥ 2. 证明：对任意实数 a, b，都有 a² + b² ≥ 2ab。 3. 若 a, b > 0，证明：()² ≥ ab。 4. 已知 a, b > 0，比较 与 的大小。 5. 设 a, b > 0，证明： + ≥ 。 6. 若 0 < x < 1，比较 x 与 的大小。 知识点2：基本不等式的变形 7. 若 a, b∈R，则 ab ≤ ，当且仅当___时等号成立。 8. 若 a, b > 0 且 a + b = 1，则 ab 的最大值为（　） A. B. C. 1 D. 2 9. 若 a, b > 0 且 ab = 4，则 a + b 的最小值为（　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 10. 证明：对任意非零实数 a，有 a² + ² ≥ 2。 11. 若 x > 0，求 x² + ² 的最小值。 12. 若 a, b > 0，证明：ab ≤ ()²。 知识点3：基本不等式求最值 13. 若 x > 0，则 x + 的最小值为（　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 14. 用长为 20 m 的铁丝围成一个矩形，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 15. 已知 x, y > 0，且 2x + 5y = 20，求 xy 的最大值。 16. 若一个直角三角形的面积为 50，则其两条直角边的和的最小值为（　） A. 5 B. 10 C. 10 D. 20 17. 若 x > 0，求 x(10 − x) 的最大值。 18. 已知 a, b > 0 且 a + 2b = 6，求 ab 的最大值。 知识点4：综合应用 19. 若 m, n > 0 且 mn = 81，则 m + n 的最小值为（　） A. 4 B. 9 C. 18 D. 81 20. 若 a, b > 0 且 a + b = 1，求 + 的最小值。 21. 已知 x > 0，求 2x + 的最小值。 22. 若 a, b > 0 且 + = 1，求 a + b 的最小值。 23. 用一段长为 4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？最大面积是多少？ 四、答案与解析 【教材知识点盘点·参考答案】 【1】 　　解析：算术平均数就是两数之和的一半。 【2】 　解析：几何平均数是两数乘积的算术平方根。 【3】 　　解析：基本不等式的核心形式，几何平均数不大于算术平均数。 【4】 2　　解析：两边同乘 2 即得 a+b ≥ 2。 【5】 2ab　　解析：由 (a−b)²≥0 ⇒ a²−2ab+b²≥0 ⇒ a²+b²≥2ab。 【6】 相等　　解析：a=b 时 = √(a²) = a = 。 【7】 a = b　　解析：无论哪种形式，等号都只在两数相等时取得。 【8】 大　　解析：和定则积最大（如正方形面积最大）。 【9】 小　　解析：积定则和最小。 【10】 相等　　解析：三步口诀——一正（正数）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。 【11】 2　　解析：x+ ≥ 2√(x·) = 2，x=1 取等。 【12】 6　　解析：a+b ≥ 2 = 2√9 = 6，a=b=3 时取得。 【13】 　　【14】 　　解析：半圆模型中 CD 为比例中项，等于；半径即半直径。 【随堂练习】 1. 证明：因为 a,b>0，故 >0, >0。由基本不等式 + ≥ 2√(()()) = 2，当且仅当 a=b 时取等号。 2. 证明：由基本不等式 a+ ≥ 2，b+ ≥ 2，两式相加得 a+b++ ≥ 4，当且仅当 a=b=1 时取等号。 3. 解：x>0，y = x + ≥ 2√(x·) = 6，当且仅当 x = 即 x=3 时取最小值 6。 4. 解：ab ≤ ()² = ()² = 25，当且仅当 a=b=5 时，ab 取最大值 25。 5. 错。理由：基本不等式要求 a, b 为正数；若 a, b 中有负数或零，a+b ≥ 2 不成立（如 a=−1,b=−1 时左边 −2，右边 2）。 【分知识点精练】 1. B　　解析：A、C、D 均颠倒了大小关系；B 是基本不等式的标准形式。 2. 证明：a²+b²−2ab = (a−b)² ≥ 0，故 a²+b² ≥ 2ab。 3. 证明：()² − ab = − ab = (a−b)²/4 ≥ 0，故 ()² ≥ ab。 4. 解： ≥ （a,b>0），当且仅当 a=b 时相等。这就是基本不等式。 5. 证明：(+)(a+b) = 2 + + ≥ 2 + 2 = 4，故 + ≥ 。 6. 解：x > 。理由：x² − x(1−x) = 2x² − x = x(2x−1)， 在 0<x<1 时符号不定；改用平方比较：x² − x(1−x) = x(2x−1)。 当 0<x< 时差<0，即 x<；当 x= 时相等；当 <x<1 时 x>。 （注：本题旨在提示“作差后需讨论”，不能一概而论。） 7. a = b。 8. B　　解析：ab ≤ ()² = ()² = 。 9. B　　解析：a+b ≥ 2 = 2 = 4。 10. 证明：a² + ² ≥ 2 = 2，当且仅当 a²=² 即 a=±1 时取等。 11. 解：x² + ² ≥ 2 = 2，当且仅当 x²=1 即 x=1 时取最小值 2。 12. 证明：由基本不等式 a+b ≥ 2 > 0，两边平方得 (a+b)² ≥ 4ab，故 ab ≤ ()²。 13. B　　解析：x+ ≥ 2 = 8。 14. 解：设长、宽分别为 x, y，则 2(x+y)=20 ⇒ x+y=10。 面积 S=xy ≤ ()² = 25，当且仅当 x=y=5（正方形）时面积最大为 25 m²。 15. 解：xy = ()(2x)(5y) ≤ ()·()² = ()·()² = 10， 当且仅当 2x=5y=10 即 x=5,y=2 时，xy 最大值为 10。 16. D　　解析：设两直角边长为 a,b，则 a=50 ⇒ ab=100。 a+b ≥ 2√(ab)=20，当且仅当 a=b=10 时和最小为 20。 17. 解：x(10−x) ≤ ()² = 25，当且仅当 x=5 时取最大值 25。 18. 解：ab = ()·a·(2b) ≤ ()·()² = ()·()² = ， 当且仅当 a=2b=3 即 a=3,b= 时，ab 最大值为 。 19. C　　解析：m+n ≥ 2 = 2 = 18。 20. 解：+ = = ≥ 1/()² = 4，当且仅当 a=b= 时最小值为 4。 21. 解：2x + ≥ 2 = 2 = 8，当且仅当 2x= 即 x=2 时最小值为 8。 22. 解：a+b = (a+b)(+) = 1 + 2 + + 2 = 3 + 2 + ≥ 3 + 2 = 3 + 2√2，当且仅当 2 = 即 b=√2 a 时取最小值 3+2√2。 23. 解：设矩形长为 x（0<x<2a），宽为 2a−x，面积 S = x(2a−x) ≤ ()² = a²， 当且仅当 x = 2a−x 即 x=a（正方形）时面积最大，最大面积为 a²。 学科网（北京）股份有限公司 $