3.3.1 从函数观点看一元二次方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦二次函数零点这一核心知识点，从一次函数与一次方程的关系类比导入，系统梳理二次函数零点的定义、求法（代数法、几何法），以及一元二次方程根与函数零点、图象的关系，构建从概念到由零点求参数、零点分布问题的学习支架。 资料通过“思考探究-知识梳理-例题解析-跟踪训练”的递进设计，引导学生用数学的眼光观察函数与方程的联系，在零点分布问题分析中培养逻辑推理的数学思维，通过规范的解题步骤和表格梳理提升数学语言表达能力。课中助力教师引导学生直观理解，课后分层检测帮助学生巩固基础、提升能力，弥补知识盲点。

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1 从函数观点看一元二次方程 新课导入 我们知道，一次函数令时，即得一次方程，而且函数图象与轴交点的横坐标就是对应方程的根.那么二次函数图象与轴交点的横坐标与对应的二次方程的根是否也有类似的关系呢？ 学习目标 1.能够正确理解函数零点的概念，并会计算函数的零点. 2.正确理解一元二次方程与二次函数的关系，并且能够利用图象解一元二次方程. 新知学习 探究 一 二次函数的零点 思考．观察下列三组方程与函数： 方程 函数 利用函数图象，探究方程的根与函数图象与轴的交点之间的关系. 提示 方程的根为，3，函数的图象与轴交于点，；方程有两个相等的实数根，为1，函数的图象与轴有唯一交点；方程没有实根，函数的图象与轴无交点. ［知识梳理］ 1．一般地,一元二次方程的根就是二次函数当函数值取零时自变量的值,即二次函数的图象与轴交点的①_ _ _ _ _ _ ,也称为二次函数的②_ _ _ _ . 【答案】横坐标； 零点 2.一元二次方程的根与二次函数的图象、零点之间的关系如表所示： 判别式 二次函数的图象 方程的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 ［例1］ 求下列函数的零点. （1） ； （2） ; （3） . 【答案】 （1） 【解】令， 解得 或， 所以函数 的零点为，. （2） 令， 解得， 所以函数 的零点为. （3） 由 得，所以方程没有实数根， 所以二次函数 没有零点. 二次函数零点的求法 （1）代数法：求出方程的实数根，即为函数的零点； （2）几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点. 注意 零点不是点，是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零. ［跟踪训练1］．若，是函数的两个零点，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】选.由题意可得，,,所以. 二 由二次函数零点求参数的值 ［例2］ 若二次函数的图象与轴的交点为,,若,则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或5 【解析】由题意，令, ,所以方程有两个不同的实根，易知 ， 为方程 的两个实根， 则 所以， 即, 解得,. 即 的值为 或5. 由函数的零点求参数的值主要是转化为方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确地运用判别式及根与系数的关系. ［跟踪训练2］． （1） 若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是（ ） A. ， B. 1， C. ， D. ， （2） 设，是方程的两个实数根，则的值为_ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 1 000 【解析】 （1） 选.由2和3是函数的零点，故，， 所以，，则 的零点为1，. （2） 因为，是方程 的两个实数根, 所以. 所以， 又， 所以 则. 三 二次函数零点分布问题 ［例3］ （1） 已知方程至少有一个负根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2） 已知函数的两个零点均大于2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】（1） C （2） D 【解析】 （1） 当 时，由 得， 此时，， 所以方程至少有一个负数根，符合题意； 当 时，方程的根为，符合题意； 当 时，，此时，，所以方程有一个正根和一个负根，符合题意. 故实数 的取值范围是. （2） 设函数的两个零点分别为，， 因为函数 的两个零点均大于2， 所以方程 有两个不相等的根且两根均大于2， 则，， 所以 即 解得， 所以实数 的取值范围是，. 二次函数零点分布问题的求解策略 （1）可转化为函数问题，要画出符合题意的草图. （2）结合二次函数草图考虑四个方面： 的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点的函数值与零的关系. （3）列出不等式（组），要验证图象是否符合. （4）若看根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列式求解. ［跟踪训练3］． （1） 若关于的方程的一根在区间内,另一根在区间内,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2） 已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.设,可由题意得当 时，；当 时，；当 时，， 即 解得.故选. （2） 设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 当 时,，解得，即实数 的取值范围为. 课堂巩固 自测 1．函数的零点是（ ） A. ，， B. ，， C. 2， D. ， 【答案】C 【解析】选.由 得，， 故函数 的零点为2，. 2．关于的一元二次方程的两根为,,则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】选.由题得,,则.故选. 3．若二次函数有一个大于0的零点，一个小于0的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.令，由题意知，该方程两根，， 所以 即 解得. 4．若函数无零点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知，方程 无实数解，则，得. 1.已学习：（1）二次函数的零点； （2）由二次函数的零点求参数的值； （3）由二次函数的零点分布求参数的范围. 2.须贯通：结合二次函数图象理解一元二次方程的根与函数的零点的关系. 3.应注意:函数的零点是一个数而不是一个点. 课后达标 检测 A 基础达标 1．二次函数的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】C 【解析】选.因为，所以二次函数，的零点个数为2. 2．若，是二次函数的两个零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.解一元二次方程，得，，代入可得. 3．已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.令，其图象开口向上，只需当 时，，得.故选. 4．若二次函数有一个正零点和一个负零点，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.方法一：由 的图象过 点，知要使函数的图象与 轴的交点分别在 轴的左、右两侧，则. 方法二：由方程 有两个异号实根，设两根为，，则，且，所以. 5．若二次函数满足当时，，且，则该函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 以上均有可能 【答案】B 【解析】选.由题意得，，又， 所以，，所以， 所以函数的零点有2个. 6．（多选）关于函数的零点，下列说法正确的是（ ） A. 当时，该函数只有一个零点 B. 当时，该函数只有一个零点 C. 当时，该函数没有零点 D. 当时，该函数有两个零点 【答案】AB 【解析】选.当 时，该函数,只有一个零点，所以 正确； 当 时，该函数，函数只有一个零点，所以 正确； 当 时，该函数,,函数有两个零点，所以 不正确； 当 时，该函数,,函数无零点，所以 不正确.故选. 7．已知函数的一个零点为1，则它的另一个零点为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知 的一个根为1，设另一根为，则，所以. 8．函数在区间上的零点个数为_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】由 得，， 即函数的零点是，6，所以函数在区间 上的零点个数为0. 9．已知函数的一个零点在区间内，则的取值集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】由，解得， ，因为， ，所以 的取值集合为，. 10．（13分）证明： （1） 函数没有零点；（6分） （2） 函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内.（7分） 【答案】 （1） 证明：令，则， 所以， 所以方程 无实数根. 所以二次函数 没有零点. （2） 令，则,解得，又，，所以函数 的一个零点在区间 内，另一个零点在区间 内. B 能力提升 11．若,是函数的两个零点，且,则的值为（ ） A. 或2 B. 1或 C. D. 1 【答案】D 【解析】选.因为,是函数 的两个零点，则，是方程 的两个根， 所以,, ,即. 因为, 所以, 解得 或, 又,所以. 12．在上定义运算，则的零点为（ ） A. 0和2 B. 和1 C. 和2 D. 和0 【答案】B 【解析】选.由题意，令，得 或. 13．已知关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意可知关于 的方程 有4个不同的实数解，可分为以下几种情况： ①当 时，方程 化为，解得，不满足题意，舍掉； ②当 且 时，方程 化为，此方程有两个正根，即 解得； ③当 且 时，方程 化为，此方程有两个负根，即 解得； 由①②③可知，实数 的取值范围是. 14．（13分）若二次函数没有零点，试说明关于的方程一定有实数根. 解：由题意知，关于 的方程 没有实数根， 所以此方程的判别式，解得. 方程 的根的判别式， 因为， 所以，， 所以，即， 所以方程 有两个不相等的实数根，即一定有实数根. C 素养拓展 15．（15分）若函数有两个零点，,且,求实数的取值范围. 解：因为函数 有两个零点，,且, 所以函数 的大致图象如图. 根据图象知,当 时,函数值大于0，当 时,函数值小于0,当 时,函数值大于0， 即 所以. 所以实数 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $