第08讲 基本不等式（4大知识点+11大题型）讲义-2026年新高一数学暑假进阶讲义（苏教版）

第08讲 基本不等式 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：基本不等式 3 知识点二：基本不等式的证明 3 知识点三：基本不等式的几何意义 4 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 5 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：基本不等式的理解与简单应用 6 题型 2：基本不等式比较大小 7 题型 3：基本不等式证明不等式 7 题型 4：直接法求最值 9 题型 5：凑配法求最值 9 题型 6：消参法求最值 9 题型 7：换元法求最值 10 题型 8：“1” 的代换求最值 10 题型 9：条件等式求最值 11 题型 10：基本不等式解恒成立问题 12 题型 11：基本不等式实际应用 12 04 过关测试 15 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 题型 1：基本不等式的理解与简单应用 例1．（2026·高一·福建福州·阶段检测）无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（   ）    A． B． C． D． 例2．（2026·高三·安徽·阶段检测）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 例3．给出条件①，②，③，，④，，其中能使成立的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 变式2．在均值不等式中，令，，则得到的对应结论为（    ） A．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 B．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 C．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 D．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 题型 2：基本不等式比较大小 例4．若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 例5．若，，则、、、中最大的一个是________． 例6．比较大小：________2(填“”“”“”或“”)． 变式3．已知，其中，，其中，则之间的大小关系是______. 变式4．若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． 变式5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 题型 3：基本不等式证明不等式 例7．（2026·高一·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 例8．（2026·高一·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 例9．（2026·高一·新疆·开学考试）（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：的充要条件是； 参考公式： 变式6．设，都是正数．证明：； 变式7．（2026·高一·河北沧州·阶段检测）设，，，都是正数. (1)求证：； (2)若，求证：. 备注：，. 变式8．（2026·高一·江西九江·阶段检测）（1）已知，，，，求证：，并说明等号成立的条件. （2）若，，且，求证：，并说明等号成立的条件. 题型 4：直接法求最值 例10．（2026·高一·福建莆田·期末）设、为正数，且，则的最大值为______． 例11．（2026·高一·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________． 例12．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为______. 变式9．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 变式10．（2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____． 变式11．（2026·高一·上海·期末）若实数、满足，则的最小值是__________. 题型 5：凑配法求最值 例13．（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）已知实数，则的最小值是__________. 例14．（2026·高一·江苏连云港·期末）函数的最小值为__________. 例15．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，函数取得最小值为______；此时的值为______. 变式12．已知，则的最大值为__________. 变式13．（2026·高一·内蒙古呼和浩特·期中）若，则的最大值是__________. 变式14．（2026·高一·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是______. 题型 6：消参法求最值 例16．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 例17．（2026·高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. 例18．（2026·高一·新疆巴州·期末）若正数满足，则的最小值是___________. 变式15．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值是_____. 变式16．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）若，，则的最小值为__________. 变式17．（2026·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 变式18．（2026·高一·湖北襄阳·期中）已知实数，满足，，则的最小值为______. 题型 7：换元法求最值 例19．（2026·高一·广东深圳·期中）若，且，则的最小值为__________. 例20．（2026·高一·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 例21．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 变式19．（2026·高一·浙江湖州·期末）已知实数满足，则的最小值为________. 变式20．（2026·高一·江苏南通·期末）设，则当取最小值时，______． 变式21．（2026·高一·河北唐山·期末）已知，则的最小值为______. 题型 8：“1” 的代换求最值 例22．（2026·高一·贵州贵阳·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 例23．（2026·高一·贵州六盘水·期末）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 例24．（2026·高一·贵州铜仁·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式22．（2026·高一·贵州毕节·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 变式23．（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 变式24．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式25．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 题型 9：条件等式求最值 例25．（2026·高一·江苏扬州·期末）设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 例26．（2026·高一·重庆渝中·期末）已知且，则的最小值是（   ） A．1 B．22 C．30 D．49 例27．（2026·高一·广西南宁·期末）已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式26．已知，则的 （　　） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 变式27．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式28．已知，若，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 变式29．已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 题型 10：基本不等式解恒成立问题 例28．（2026·高一·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 例29．（2026·高三·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例30．（2026·高一·安徽马鞍山·阶段检测）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式30．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知对任意正实数、，恒有，则实数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 变式31．（2026·高一·河北·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．6 D．-6 变式32．（2026·高三·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型 11：基本不等式实际应用 例31．（2026·高一·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 例32．（2026·高一·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 例33．（2026·高一·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 变式33．（2026·高一·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 变式34．（2026·高一·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 变式35．（2026·高一·河南洛阳·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 1．（2026·河北·三模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·福建福州·期末）若且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 3．（2026·高一·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 4．（2026·高一·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·江苏连云港·期末）若直角三角形的面积为，则两条直角边的和不可能是（      ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 7．（2026·高一·河北承德·期末）已知满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 8．（2026·高一·广东清远·期末）已知，且，则有（    ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值1 D．最小值1 9．（2026·高一·湖南长沙·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 11．（多选题）（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 12．（多选题）（2026·高一·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，则（   ） A． B．的最大值为16 C．的最小值为9 D．的最小值为3 13．（2026·高二·云南玉溪·期中）函数的最小值为________. 14．（2026·高一·贵州·期中）某同学使用一架两臂不等长的天平称质量为的铁屑，他先将的砝码放在天平左盘中，取出一些铁屑放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些铁屑放在天平左盘中使天平平衡.最终该同学称得的铁屑______.（从“小于”“等于”“大于”中选择一个填入） 15．（2026·高一·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 16．（2026·高一·全国·阶段检测）已知正数，满足． (1)求的最小值； (2)对于正数，，，有，当且仅当时，等号成立，现有一个直角三角形，其两直角边分别为，，斜边为． （ⅰ）求直角三角形面积的最大值； （ⅱ）求的最小值． 17．（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 18．（2026·高一·安徽·阶段检测）根据下列已知条件，求出相关最值: (1)已知，求的最小值； (2)已知是正数，且，求的最大值.(提示:若). 19．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）根据不等式的知识回答下列问题： (1)已知，，求的取值范围； (2)已知，，求y的最小值并求此时x的值； (3)已知，，且，求的最小值并求此时x，y的值． 20．（2026·高一·天津河北·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知，求的最大值． （3）已知正数满足，求的最小值． 21．（2026·高一·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 基本不等式 目录 01 思维导图与题型归纳 3 02 基础知识梳理 4 知识点一：基本不等式 4 知识点二：基本不等式的证明 4 知识点三：基本不等式的几何意义 5 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 6 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：基本不等式的理解与简单应用 7 题型 2：基本不等式比较大小 9 题型 3：基本不等式证明不等式 11 题型 4：直接法求最值 14 题型 5：凑配法求最值 15 题型 6：消参法求最值 17 题型 7：换元法求最值 19 题型 8：“1” 的代换求最值 22 题型 9：条件等式求最值 25 题型 10：基本不等式解恒成立问题 27 题型 11：基本不等式实际应用 30 04 过关测试 35 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 题型 1：基本不等式的理解与简单应用 例1．（2026·高一·福建福州·阶段检测）无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于是圆的直径，所以，圆的半径为， 而，由射影定理得. 在直角三角形中，， 由射影定理得， 由，所以. 故选：A 例2．（2026·高三·安徽·阶段检测）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，当且仅当即等号成立； 对B，当且仅当即等号成立； 对C，当且仅当即时等号成立； 对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立． 故选：D． 例3．给出条件①，②，③，，④，，其中能使成立的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由基本不等式可知，要使成立，则，所以，同号， 所以①③④均可以， 故选：C. 变式1．给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解析】①，根据基本不等式的知识可知①正确. ②，当时，，所以②错误. ③，根据基本不等式的知识可知③正确. 所以正确的为①③. 故选：B 变式2．在均值不等式中，令，，则得到的对应结论为（    ） A．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 B．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 C．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 D．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 【答案】D 【解析】当，根据均值不等式得，当且仅当时，等号成立； 令，，则，如果，都不为零，则 ，当且仅当时，等号成立． 故选：D 题型 2：基本不等式比较大小 例4．若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 【答案】≤ 【解析】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 例5．若，，则、、、中最大的一个是________． 【答案】 【解析】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 例6．比较大小：________2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 变式3．已知，其中，，其中，则之间的大小关系是______. 【答案】 【解析】因为,所以， 又因为， 所以，当且仅当时取等号， 由，得， 所以， 综上可知. 故答案为： 变式4．若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． 【答案】/ 【解析】，，，则，，， 综上所述：最大的一个是. 故答案为： 变式5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 【答案】 【解析】依题意， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为： 题型 3：基本不等式证明不等式 例7．（2026·高一·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【解析】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 例8．（2026·高一·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【解析】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 例9．（2026·高一·新疆·开学考试）（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：的充要条件是； 参考公式： 【解析】（1），，当且仅当时，等号成立. （2）充分性：因为，所以，又， 所以，即，充分性成立； 必要性：由， 又，故，即，必要性成立； 综上，的充要条件是. 变式6．设，都是正数．证明：； 【解析】由于，都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，得证. 变式7．（2026·高一·河北沧州·阶段检测）设，，，都是正数. (1)求证：； (2)若，求证：. 备注：，. 【解析】（1）证明：要证， 即证， 即证， 即证， 又因为， 当且仅当时等号成立， 所以，即得证； （2）由，则，故，同理， 又 ， 当且仅当时，等号成立，又，，即不可取等， 故， 则，即， 又，， 则，， 即有， 则， 又，则、， 故， 即，则， 即有，即得证. 变式8．（2026·高一·江西九江·阶段检测）（1）已知，，，，求证：，并说明等号成立的条件. （2）若，，且，求证：，并说明等号成立的条件. 【解析】（1） . 当且仅当时，等号成立. （2），，，将三式相加 ，即， ，，即， ， ，当且仅当时等号成立. 题型 4：直接法求最值 例10．（2026·高一·福建莆田·期末）设、为正数，且，则的最大值为______． 【答案】/ 【解析】， ，当且仅当时取等号. ， ，即，解得， 当时，取等号，故的最大值为． 例11．（2026·高一·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】/ 【解析】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号. 例12．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】8 【解析】因为，为正数，所以， 根据基本不等式可得，(当且仅当16，即时等号成立)； 则，即16， 因为16，所以，可得. 即的最大值为8. 故答案为：8 变式9．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 变式10．（2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____． 【答案】 【解析】因为，所以，等号成立时，， 故函数的最小值为． 变式11．（2026·高一·上海·期末）若实数、满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】因为实数、满足， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是 故答案为： 题型 5：凑配法求最值 例13．（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）已知实数，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 例14．（2026·高一·江苏连云港·期末）函数的最小值为__________. 【答案】 【解析】因为, 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为. 故答案为： 例15．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，函数取得最小值为______；此时的值为______. 【答案】 【解析】由，得. 将函数变形为. 由基本不等式，， 故. 当且仅当时等号成立， 解得，结合，得. 故答案为：9；5 变式12．已知，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 变式13．（2026·高一·内蒙古呼和浩特·期中）若，则的最大值是__________. 【答案】3 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是3. 故答案为：3. 变式14．（2026·高一·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是______. 【答案】 【解析】由于，则， 故，当且仅当，即时取到等号，故最大值为， 故答案为： 题型 6：消参法求最值 例16．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【解析】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 例17．（2026·高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 例18．（2026·高一·新疆巴州·期末）若正数满足，则的最小值是___________. 【答案】4 【解析】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是4. 故答案为：4. 变式15．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值是_____. 【答案】/ 【解析】因为，，，所以， 即，即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 变式16．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）若，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】∵，∴， ∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当，即时取等号， 当时，∴， ∴当，时，的最小值为. 故答案为：. 变式17．（2026·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】4 【解析】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 变式18．（2026·高一·湖北襄阳·期中）已知实数，满足，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】由，，得. 由，得， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 题型 7：换元法求最值 例19．（2026·高一·广东深圳·期中）若，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】设（），由基本不等式得. 由，得，因此. 整理得，因式分解为. 因，故，即. 验证等号成立条件：当时，代入， 得，解得（舍去），此时，. 故答案为： 例20．（2026·高一·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 例21．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】设，则， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即， 所以当时，的最小值． 变式19．（2026·高一·浙江湖州·期末）已知实数满足，则的最小值为________. 【答案】5 【解析】由，可得， 令， 则， 令，则， 则， 当且仅当时，取等号， 即当时，的最小值为5， 即当时，取得最小值5. 故答案为：5 变式20．（2026·高一·江苏南通·期末）设，则当取最小值时，______． 【答案】 【解析】令，则，即， 当且仅当时取等，即（负根舍去）取等号， 也即 故答案为： 变式21．（2026·高一·河北唐山·期末）已知，则的最小值为______. 【答案】/ 【解析】因为，则， 令，由可知，即， 所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为： 题型 8：“1” 的代换求最值 例22．（2026·高一·贵州贵阳·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 当且仅当即时取等号，此时联立可得， 故选：C. 例23．（2026·高一·贵州六盘水·期末）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】因为，所以， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A 例24．（2026·高一·贵州铜仁·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时取等号，此时，满足题设条件， 故的最小值为9. 故选：C 变式22．（2026·高一·贵州毕节·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由正数，且，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 故选：B 变式23．（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 设， 则，则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 变式24．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴ ， 当且仅当， 联立，解得，时取等号. 则的最小值为. 故选：A 变式25．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因，，满足，则， 于是 ，当且仅当时，即，等号成立， 故的最小值是. 故选：C 题型 9：条件等式求最值 例25．（2026·高一·江苏扬州·期末）设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为为正实数，故由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. 例26．（2026·高一·重庆渝中·期末）已知且，则的最小值是（   ） A．1 B．22 C．30 D．49 【答案】D 【解析】由于，则， 因为，所以，故， 即，解得：，即， 当且仅当，即，时等号成立， 则的最小值是， 故选：D 例27．（2026·高一·广西南宁·期末）已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，得：， 设（），则，不等式变为：， 整理得： ， 因为，所以，不等式等价于，解得， 因为，所以. 故选：C. 变式26．已知，则的 （　　） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】A 【解析】由题意知，则， 又由， 当且仅当，即时等号成立，所以最大值为. 故选：A. 变式27．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B. 变式28．已知，若，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】根据题意可得， 又，故 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故选：C. 变式29．已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由，得，令，则， 解得，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B正确. 故选：B. 题型 10：基本不等式解恒成立问题 例28．（2026·高一·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 例29．（2026·高三·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 例30．（2026·高一·安徽马鞍山·阶段检测）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因，则，等号成立时， 因，则，即， 解得，即， 因不等式恒成立，则，故实数的最小值是. 故选：D 变式30．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知对任意正实数、，恒有，则实数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为，则， 则，即， 又， 因为，所以，所以， 即，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，即实数的最小值是2. 故选：C 变式31．（2026·高一·河北·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．6 D．-6 【答案】C 【解析】因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得，所以的最大值为6. 故选：C. 变式32．（2026·高三·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 题型 11：基本不等式实际应用 例31．（2026·高一·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 例32．（2026·高一·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【解析】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 例33．（2026·高一·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【解析】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 变式33．（2026·高一·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【解析】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 变式34．（2026·高一·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【解析】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 变式35．（2026·高一·河南洛阳·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【解析】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 1．（2026·河北·三模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 2．（2026·高一·福建福州·期末）若且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】因为且， 所以； 当且仅当 ，即，时取等号. 所以的最小值为. 故选：C. 3．（2026·高一·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【答案】D 【解析】对A，因为，即，即，故A错误； 对B，当时，此时，故B错误； 对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对D，因为， 又因为，故成立，故D正确. 故选：D. 4．（2026·高一·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正实数a，b满足，则， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为. 故选：A. 5．（2026·高一·江苏连云港·期末）若直角三角形的面积为，则两条直角边的和不可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直角三角形的两条直角边分别为，， 直角三角形的面积为，，， ， 当且仅当时，等号成立， ，两条直角边的和不可能是选项B. 故选：B. 6．（2026·高三·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【解析】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 7．（2026·高一·河北承德·期末）已知满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【解析】由，得． 令，则，解得， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． 故选：D． 8．（2026·高一·广东清远·期末）已知，且，则有（    ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值1 D．最小值1 【答案】A 【解析】， 即， ，，当且仅当时取等， ， 解得，当且仅当时取等， 则有最大值，无最小值． 故选：A． 9．（2026·高一·湖南长沙·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为正数，所以， ， 当且仅当，即时取等号, 由和解得，此时取得最小值. 故选：A 10．（多选题）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【解析】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 11．（多选题）（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 【答案】AC 【解析】选项A：由基本不等式得，代入已知， 可得，移项得，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：由，结合得； 当趋近于0时，趋近于，趋近于2，小于4，故不成立，B错误； 选项C：，结合得， 又，故，当且仅当时等号成立，C正确； 选项D：，取代入已知等式得， 解得，此时，故D错误. 12．（多选题）（2026·高一·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，则（   ） A． B．的最大值为16 C．的最小值为9 D．的最小值为3 【答案】AC 【解析】因为是正实数， 所以由，所以，故A正确； 当，时，满足，而，故B错误； 由，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为9，故C正确； 因为为正数， 所以由，由，得，故D错误． 13．（2026·高二·云南玉溪·期中）函数的最小值为________. 【答案】3 【解析】，， 由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立. 14．（2026·高一·贵州·期中）某同学使用一架两臂不等长的天平称质量为的铁屑，他先将的砝码放在天平左盘中，取出一些铁屑放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些铁屑放在天平左盘中使天平平衡.最终该同学称得的铁屑______.（从“小于”“等于”“大于”中选择一个填入） 【答案】大于 【解析】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（铁屑在右盘）称得的铁屑为克， 第二次操作（铁屑在左盘）称得的铁屑为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 15．（2026·高一·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 16．（2026·高一·全国·阶段检测）已知正数，满足． (1)求的最小值； (2)对于正数，，，有，当且仅当时，等号成立，现有一个直角三角形，其两直角边分别为，，斜边为． （ⅰ）求直角三角形面积的最大值； （ⅱ）求的最小值． 【解析】（1）由题，于是， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为7． （2）（ⅰ）注意到，即，当且仅当时，等号成立， 而直角三角形面积，得直角三角形面积最大值为1． （ⅱ） ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 17．（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 【解析】（1）因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 故的最大值为6． （2）因为，所以， 解得，则， 当且仅当时，取得最大值，当且仅当时，取得最小值． 故的最大值为，最小值为． 18．（2026·高一·安徽·阶段检测）根据下列已知条件，求出相关最值: (1)已知，求的最小值； (2)已知是正数，且，求的最大值.(提示:若). 【解析】（1），可得， 等式两边同时乘以“”得， 当且仅当时，等号成立. 令，，解得 (舍去)或， 当等号成立时，，即，将代入原方程：， 化简得，解得，因为，所以， 因此. （2）因为， ， ， 以上各式相加得： ， 又，所以，即， 当且仅当时，等号成立. 19．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）根据不等式的知识回答下列问题： (1)已知，，求的取值范围； (2)已知，，求y的最小值并求此时x的值； (3)已知，，且，求的最小值并求此时x，y的值． 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 得到，则 （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4,此时； （3）∵，，， ∴， 当且仅当，又，即，时，上式取等号． 故当，时，． 20．（2026·高一·天津河北·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知，求的最大值． （3）已知正数满足，求的最小值． 【解析】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由，即，解得， 当或时，可得； 当时，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 21．（2026·高一·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【解析】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $