3.1不等式的基本性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦不等式的基本性质这一核心知识点，以实数大小比较的作差原理为起点，系统梳理对称性、传递性、可加性等6条基本性质，构建“原理-性质-应用”的学习支架，助力学生掌握作差比较法判断代数式大小。 资料通过重难点表格化梳理与分知识点精练，突出“负变正不变”等易错点突破，培养学生数学思维的推理意识与数学眼光的抽象能力。课中辅助教师针对性教学，课后学生可通过详细解析巩固知识，弥补薄弱环节。

3.1 不等式的基本性质 2026 年高中数学暑期同步讲义 · 苏教版必修一 【学习目标】 理解实数大小比较的基本原理：通过作差 a−b 的符号判断 a, b 的大小； 掌握不等式的 6 条基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性、同向可加、同向正数可乘）； 能运用不等式的性质进行不等式的变形与证明； 掌握“作差比较法”，会比较两个代数式的大小； 体会“等价转化”与“分类讨论”思想在不等式中的运用。 【重难点梳理】（表格） 类别 内容要点 突破策略 重点 不等式的 6 条基本性质及简单运用 每条性质都从“a−b 的符号”出发理解 重点 作差比较法判断大小 作差→变形→与 0 比较，配方或因式分解 难点 不等式两边同乘（除）负数时变号 牢记“负变正不变”，易错点单独练 难点 利用性质进行证明与推理 步步注明依据哪条性质 易错 忽视字母取零或符号的陷阱（如 c²≥0） 看到 c² 先想能否为 0 一、教材知识点盘点（请先独立填写，再对照第四节答案） 1. 实数大小比较与不等式 对于任意两个实数 a, b，它们的差 a − b 的符号完全决定了二者的大小： a > b ⇔ a − b ___【1】___ 0；　a = b ⇔ a − b ___【2】___ 0；　a < b ⇔ a − b ___【3】___ 0。 （也就是说：要判断 a, b 的大小，只需看 a − b 与 0 比较的结果。） 2. 不等式的基本性质 性质1（对称性）：若 a > b，则 ___【4】___（即 b < a）。 性质2（传递性）：若 a > b，且 b > c，则 ___【5】___。 性质3（可加性）：若 a > b，则 a + c ___【6】___ b + c；由此可得移项法则：a + b > c ⇔ a > c − b。 性质4（可乘性）：若 a > b，c > 0，则 ac ___【7】___ bc；若 a > b，c < 0，则 ac ___【8】___ bc（乘负数要变号）。 性质5（同向不等式可加）：若 a > b，c > d，则 a + c ___【9】___ b + d。 性质6（同向正数不等式可乘）：若 a > b > 0，c > d > 0，则 ac ___【10】___ bd；特别地，a > b > 0 ⇒ a² ___【11】___ b²。 进一步可证：若 a > b > 0，n∈N*，则 aⁿ ___【12】___ bⁿ。 ▲ 图1：实数轴上 a 在 b 右侧 ⇔ a−b>0 ⇔ a>b ▲ 图2：不等式两边同加同一个实数 c，不等号方向不变 3. 比较两数大小的方法 比较两个实数（或代数式）大小，最常用的是___【13】___比较法：作差，将差与 0 比较。 若 M − N > 0，则 M ___【14】___ N；若 M − N = 0，则 M = N；若 M − N < 0，则 M < N。 ▲ 图3：作差比较法——两曲线之差非负，则前者不小于后者 二、随堂练习 1. 已知 a > b，下列不等式恒成立的是（　） A. a + c > b + c B. ac > bc C. > D. −a > −b 2. 已知 a > b > 0，c > d > 0，用不等式的性质证明：ac > bd。 3. 比较 (a + 3)(a − 5) 与 (a + 2)(a − 4) 的大小。 4. 解不等式 2x − 3 ≤ 7，并用不等式的性质说明理由。 5. 已知 a > b，c < d，求证：a − c > b − d。 三、分知识点精练 知识点1：实数比较与不等式概念 1. 下列命题正确的是（　） A. 若 a > b，则 a − c > b − c B. 若 a > b，则 ac > bc C. 若 a > b，则 a² > b² D. 若 a > b，则 < 2. 对于实数 a, b，则“a > b”是“a − b > 0”的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若 a − b > 0，则 a ___ b；若 a − b = 0，则 a ___ b；若 a − b < 0，则 a ___ b。 4. 比较 3x² − x + 1 与 2x² + x 的大小（作差法）。 5. 设 a = − 1，b = − ，比较 a 与 b 的大小。 6. 已知 a, b > 0，比较 a² + b² 与 2ab 的大小。 7. 已知 x < y < 0，比较 x² 与 y² 的大小，并说明理由。 知识点2：不等式的基本性质 8. 若 a > b，则一定成立的是（　） A. a² > b² B. < C. a + c > b + c D. ac² > bc² 9. 已知 a > b > 0，c < d < 0，比较 ac 与 bd 的大小。 10. 已知 a > b，则下列不等式正确的是（　） A. −2a > −2b B. a − 3 > b − 3 C. > （c ≠ 0） D. a² > b² 11. 解不等式：−3x + 5 > 2。 12. 已知 a > b，且 > ，试判断 a, b 的符号。 13. 若 a > b > 0，c > 0，由不等式性质说明 与 的大小关系。 14. 已知 a > b，c > d，能否推出 a − c > b − d？若能，说明理由；若不能，举反例。 知识点3：作差比较法 15. 比较 (x + 2)² 与 x² + 4x 的大小。 16. 比较 2x² − 3x + 4 与 x² − x + 3 的大小。 17. 已知 a, b∈R，比较 a² + b² 与 2ab 的大小。 18. 不用计算器，比较 99 × 101 与 100² 的大小。 19. 比较 (a + 1)³ 与 a³ + 1 的大小（a∈R）。 20. 已知 a, b∈R，比较 a² + b² 与 ab + a + b − 1 的大小。 21. 比较 () + () 与 的大小（a, b > 0）。 四、答案与解析 【教材知识点盘点·参考答案】 【1】 >　　解析：差为正，被减数大于减数。 【2】 =　　解析：差为 0，两数相等。 【3】 <　　解析：差为负，被减数小于减数。 【4】 b < a　　解析：对称性，大的反过来小。 【5】 a > c　　解析：传递性，a 比 b 大、b 比 c 大，则 a 比 c 大。 【6】 >　　解析：可加性，两边同加 c 不等号方向不变。 【7】 >　　解析：两边同乘正数 c，不等号方向不变。 【8】 <　　解析：两边同乘负数 c，不等号方向改变。 【9】 >　　解析：两个同向不等式两边分别相加，所得仍同向。 【10】 >　　解析：两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得仍同向。 【11】 >　　解析：性质6 取 a=c, b=d 的特例。 【12】 >　　解析：可归纳推广到正整数次幂。 【13】 作差　　解析：比较大小最根本的方法就是考察两数之差的符号。 【14】 >　　解析：差为正则前者大；差为 0 则相等；差为负则前者小。 【随堂练习】 1. A　　解析：B、C 需 c > 0 才成立；D 由 a > b 应得 −a < −b；只有 A 由性质3 恒成立。 2. 证明：因为 a > b > 0，c > 0，由性质4 得 ac > bc； 又 c > d > 0，b > 0，由性质4 得 bc > bd； 再由性质2 得 ac > bc > bd，故 ac > bd。 3. 解：作差 (a+3)(a−5) − (a+2)(a−4) = (a² − 2a − 15) − (a² − 2a − 8) = −7 < 0。 所以 (a+3)(a−5) < (a+2)(a−4)。 4. 解：2x − 3 ≤ 7，两边同加 3（性质3）得 2x ≤ 10； 两边同除以 2（性质4，2>0）得 x ≤ 5。 5. 证明：因为 c < d，由性质4（同乘 −1）得 −c > −d； 又 a > b，两式同向相加（性质5）得 a + (−c) > b + (−d)， 即 a − c > b − d。 【分知识点精练】 1. A　　解析：B 需 c>0；C 需 a,b 同为正；D 需 a,b 同号且不为零。A 由性质3 恒成立。 2. C　　解析：a>b ⇔ a−b>0，二者等价，故为充要条件。 3. >；=；<。 4. 解：(3x²−x+1) − (2x²+x) = x² − 2x + 1 = (x−1)² ≥ 0， 故 3x²−x+1 ≥ 2x²+x，当且仅当 x=1 时取等号。 5. 解：a = − 1 = ，b = − = 。 因为 + 1 < + ，所以 > ，即 a > b。 6. 解：(a²+b²) − 2ab = (a−b)² ≥ 0，故 a² + b² ≥ 2ab（当且仅当 a=b 时取等）。 7. 解：x² > y²。理由：由 x < y < 0，乘以负数 x（性质4）得 x² > xy； 再由 y < 0，xy > y²（同乘负数 y，不等号反向）。故 x² > xy > y²，即 x² > y²。 8. C　　解析：A 需 a,b 同正；B 需 a,b 同号且为正；D 同 A；C 由性质3 恒成立（c 可为任意实数）。 9. 解：ac < bd。理由：a>b>0 且 c<0，由性质4 得 ac < bc； 又 c<d<0 且 b>0，由性质4 得 bc < bd；故 ac < bd。 10. B　　解析：A 应为 −2a < −2b（乘负数）；C 需 c>0；D 需 a,b 同正；B 由可加性成立。 11. 解：−3x + 5 > 2，同加 −5 得 −3x > −3，同除以 −3（变号）得 x 任意？ 实际：−3x > −3 ⇒ x < 1。 12. 解：a, b 异号且 a > 0 > b。理由： > 移项无妨，作差 − = > 0； 已知 a > b 故 b − a < 0，要使分式 > 0 必须 ab < 0，即 a, b 异号；又 a > b，故 a > 0 > b。 13. 解：因为 a > b > 0，由性质4（同除以正数 ab）得 > ，即 > ，故 < 。 14. 解：不能。反例：a=3, b=1, c=5, d=0，则 a>b, c>d，但 a−c = −2，b−d = 1，−2 > 1 不成立。 15. 解：(x+2)² − (x²+4x) = x²+4x+4 − x² − 4x = 4 > 0，故 (x+2)² > x²+4x。 16. 解：(2x²−3x+4) − (x²−x+3) = x² − 2x + 1 = (x−1)² ≥ 0，故 2x²−3x+4 ≥ x²−x+3。 17. 解：(a²+b²) − 2ab = (a−b)² ≥ 0，故 a² + b² ≥ 2ab。 18. 解：99×101 = (100−1)(100+1) = 100² − 1 < 100²，故 99×101 < 100²。 19. 解：(a+1)³ − (a³+1) = a³+3a²+3a+1 − a³ − 1 = 3a(a+1)。 当 a>0 或 a<−1 时，差>0，前者大；当 −1<a<0 时，差<0，前者小；a=0 或 −1 时相等。 20. 解：(a²+b²) − (ab+a+b−1) = a² − ab + b² − a − b + 1 = ()[(a−b)² + (a−1)² + (b−1)²] ≥ 0，故 a²+b² ≥ ab+a+b−1。 21. 解：作差 (+) − = [(a+b)² − 4ab] / [ab(a+b)] = (a−b)² / [ab(a+b)] ≥ 0， 故 ()+() ≥ （当且仅当 a=b 时取等）。 学科网（北京）股份有限公司 $