3.1不等式的基本性质课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式的基本性质，通过城市楼房高度、生活标志等情境导入，引出不等关系，衔接等式性质梳理不等式概念，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，如作差法比较大小的四步步骤（作差、变形、判号、定论），结合性质应用中的证明与求范围实例，培养学生思维。典型例题链接教材，自我诊断与跟踪训练结合，助力学生夯实基础，教师可高效落实核心素养。

3.1　不等式的基本性质 新课程标准解读 核心素养 1.理解相等关系、不等关系是数学中最基本的数量 关系 数学抽象、逻 辑推理 2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等 式的性质 逻辑推理 目录 数学·必修第一册（SJ） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 （1）如图，某城市的楼房有高、有矮，有的高度相同； 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）我们经常看到如下标志： 【问题】　它们的含义是什么？量与量之间的关系有哪些？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点一　实数大小比较的基本事实 文字表示 符号表示 当 a － b 为正数时，称 ⁠ a ＞ b ⇔ a － b ⁠0 当 a － b 为0时，称 ⁠ a ＝ b ⇔ a － b ⁠0 当 a － b 为负数时，称 ⁠ a ＜ b ⇔ a － b ⁠0 a ＞ b 　 ＞　 a ＝ b 　 ＝　 a ＜ b 　 ＜　 目录 数学·必修第一册（SJ） 【想一想】 在比较两实数 a ， b 大小的依据中， a ， b 两数是任意实数吗？ 提示：是. 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a ＞ b ⇔ b a 可逆 2 传递性 a ＞ b ， b ＞ c ⇒ a ＞ c 不可逆 3 可加性 a ＞ b ⇔ a ＋ c b ＋ c 可逆 ＜　 ＞　 目录 数学·必修第一册（SJ） 性质 别名 性质内容 注意 4 可乘性 c 的 符号 5 同向可加性 同向 ＞　 ＜　 ＞　 目录 数学·必修第一册（SJ） 性质 别名 性质内容 注意 6 同向同正可乘性 同向 同正 7 可乘方性 a ＞ b ＞0⇒ an ⁠ bn （ n ∈N*） 同正 ＞　 ＞　 提醒　（1）若 a ＞ b ＞0，则0＜ ＜ ；若 a ＜ b ＜0，则0＞ ＞ ； （2）不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 已知 a ＞ b ， c ＞ d ，且 c ， d 均不为0，那么下列不等式一定成立的 是（　　） A. ad ＞ bc B. ac ＞ bd C. a － c ＞ b － d D. a ＋ c ＞ b ＋ d 解析：　令 a ＝2， b ＝－2， c ＝3， d ＝－6，可排除A、B、C. 由不等式性质5知，D一定成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 设 a ＝3 x2－ x ＋1， b ＝2 x2＋ x ，则（　　） A. a ＞ b B. a ＜ b C. a ≥ b D. a ≤ b 解析：　 a － b ＝（3 x2－ x ＋1）－（2 x2＋ x ）＝ x2－2 x ＋1＝（ x －1）2≥0，所以 a ≥ b . 3. 已知 a ＋ b ＞0， b ＜0，那么 a ， b ，－ a ，－ b 从小到大依次排列 的顺序是 .（用“＜”连接） 解析：因为 a ＋ b ＞0，所以 a ＞－ b ， b ＞－ a ，又 b ＜0，则－ b ＞ 0，所以－ a ＜ b ＜－ b ＜ a . － a ＜ b ＜－ b ＜ a 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 作差法比较大小 【例1】　（链接教科书第53页例3）（1）比较两数（ a2－1）2与 a4－ a2＋1的大小； 解：因为（ a2－1）2－（ a4－ a2＋1）＝ a4－2 a2＋1－ a4＋ a2－1＝－ a2. 当 a ＝0时，－ a2＝0，所以（ a2－1）2＝ a4－ a2＋1； 当 a ≠0时，－ a2＜0，所以（ a2－1）2＜ a4－ a2＋1. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）已知： a ＞0， b ＞0，试比较 ＋ 与 的大小. 解：（ ＋ ）－ ＝ ，因为 a ＞0， b ＞0，所以 ＞0，所以 ＋ ＞ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 作差法比较大小的步骤 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若 y1＝2 x2－2 x ＋1， y2＝ x2－4 x －1，则 y1与 y2的大小关系是（　　） A. y1＞ y2 B. y1＝ y2 C. y1＜ y2 D. 随 x 值变化而变化 解析：　 y1－ y2＝2 x2－2 x ＋1－（ x2－4 x －1）＝ x2＋2 x ＋2＝ （ x ＋1）2＋1＞0，故 y1＞ y2.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知 a ≥1，试比较 M ＝ － 和 N ＝ － 的大小. 解：因为 a ≥1， 所以 M ＝ － ＞0， N ＝ － ＞0. 又 ＝ ＝ ＋ ， ＝ ＝ ＋ ， － ＝ － ＞0， 所以 ＞ ＞0，所以 M ＜ N . 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 不等式性质的应用 角度1　利用不等式性质判断命题的真假 【例2】　（多选）下列命题中为真命题的是（　　） A. 0＞ a ＞ b ⇒ a2＞ b2 B. a2＞ b2⇒ a ＞ b ＞0 C. 若 a ＜ b ＜0，则 a2＞ ab ＞ b2 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　对于A，由0＞ a ＞ b 可知，0＜－ a ＜－ b ，则由不等式性 质7可知，（－ b ）2＞（－ a ）2，即 b2＞ a2，故A为假命题；对于B， 不等式性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得 a2＞ ab .因为所以 ab ＞ b2，从而有 a2＞ ab ＞ b2，故C为真命 题；对于D，由 ＞ ，可知 － ＝ ＞0.因为 a ＞ b ，所以 b － a ＜ 0，于是 ab ＜0.又因为 a ＞ b ，所以 a ＞0， b ＜0，故D为真命题. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用不等式的性质判断命题真假的2种方法 （1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性 质证明；对于假命题只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条 件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代 表性. 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度2　利用不等式性质证明不等式 【例3】　（链接教科书第53页例2）已知 c ＞ a ＞ b ＞0，求证： ＞ . 证明：因为 a ＞ b ＞0⇒－ a ＜－ b ⇒ c － a ＜ c － b . 因为 c ＞ a ＞ b ＞0，所以0＜ c － a ＜ c － b . 上式两边同乘 ，得 ＞ ＞0. 又因为 a ＞ b ＞0，所以 ＞ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质证明不等式问题时，一定要在理解的基础 上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应 用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与 法则. 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度3　利用不等式性质求代数式的范围 【例4】　已知1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，试求2 a ＋3 b 与 a － b 的取值 范围. 解：∵1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，∴2＜2 a ＜8，6＜3 b ＜24. ∴8＜2 a ＋3 b ＜32. ∵2＜ b ＜8，∴－8＜－ b ＜－2. 又∵1＜ a ＜4，∴1＋（－8）＜ a ＋（－ b ）＜4＋（－2）， 即－7＜ a － b ＜2. 故2 a ＋3 b 的取值范围是（8，32）， a － b 的取值范围是（－7，2）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 （变设问）在本例条件下，求 的取值范围. 解：∵2＜ b ＜8， ∴ ＜ ＜ ，而1＜ a ＜4， ∴1× ＜ a · ＜4× ，即 ＜ ＜2. 故 的取值范围是（ ，2）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　利用不等式的性质求范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，利用不等式的 性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是 等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩 大其范围. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. （多选）已知 ＜ ＜0，则下列结论正确的是（　　） A. a ＜ b B. ab ＞ a ＋ b C. ｜ a ｜＜｜ b ｜ D. ab ＞ b2 解析：　由 ＜ ＜0可得 b ＜ a ＜0，显然选项A不正确；因为 b ＜ a ＜0，所以 ab ＞0， a ＋ b ＜0，所以 ab ＞ a ＋ b ，故选项B正 确；因为 b ＜ a ＜0，所以｜ b ｜＞｜ a ｜，故选项C正确；因为 b ＜ a ＜0，所以 b ＜0， a － b ＞0，可得 ab － b2＝ b （ a － b ）＜0，即 ab ＜ b2，故选项D不正确.故选B、C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知 a ＞ b ＞0，求证： ＞ . 证明：∵ a ＞ b ＞0，∴ ＞ ＞0.　① 又∵ a ＞ b ＞0，两边同乘正数 ，得 ＞ ＞0.　② 由①②得 ＞ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 已知 a ， b ， c 为不全相等的实数， P ＝ a2＋ b2＋ c2＋3， Q ＝2（ a ＋ b ＋ c ），那么 P 与 Q 的大小关系是（　　） A. P ＞ Q B. P ≥ Q C. P ＜ Q D. P ≤ Q 解析：　 P － Q ＝ a2＋ b2＋ c2＋3－2 a －2 b －2 c ＝（ a －1）2＋ （ b －1）2＋（ c －1）2≥0.∵ a ， b ， c 不全相等，∴ P － Q ＞0， ∴ P ＞ Q . 故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）对于任意实数 a ， b ， c ， d ，以下四个命题中为真命题的 是（　　） A. 若 a ＞ b ， c ＜0，则 ac ＜ bc B. 若 a ＞ b ＞0， c ＞ d ，则 ac ＞ bd D. 若 ac2＞ bc2，则 a ＞ b 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　当 c ＞0时， ac ＞ bc ，当 c ＜0时， ac ＜ bc ，故A正 确；取 a ＝2， b ＝1， c ＝－1， d ＝－2，则 ac ＝－2＝ bd ＝－2， 故B错误；取 a ＝1， b ＝－1，则 ＝1＞ ＝－1，故C错误；若 ac2 ＞ bc2，显然 c ≠0，故可得 c2（ a － b ）＞0，又 c2＞0，故可得 a ＞ b ，故D正确.故选A、D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 若1＜ a ＜2，－1＜ b ＜3，则 a － b 的取值范围是 ⁠. 解析：因为1＜ a ＜2，－1＜ b ＜3，所以－3＜－ b ＜1，所以－2＜ a － b ＜3. （－2，3）　 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 求解不等式 － ＞ ，并用不等式的性质说明理由. 解：去分母，得2（ x －1）－（ x ＋2）＞3（4＋3 x ）.（不等式性 质4） 去括号，得2 x －2－ x －2＞12＋9 x . 移项，得2 x － x －9 x ＞2＋2＋12.（不等式性质3） 合并同类项，得－8 x ＞16，即8 x ＜－16. 系数化为1，得 x ＜－2.（不等式性质4） 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $