第15章轴对称与等腰三角形单元达标测试题 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

2025-2026学年沪科版八年级数学上册《第15章轴对称与等腰三角形》 单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 3．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，，则（　　　） A． B． C． D． 5．如图，作边的垂直平分线，交于D点，交于E点，连接，若，，则的周长是（） A． B． C． D． 6．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 8．如图所示，已知和都是等边三角形，下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（满分24分） 9．若点与点关于轴对称，则 ． 10．一个等腰三角形的一个内角等于，则这个三角形的顶角应该为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的函数关系为 ． 12．如图，在中，，，，交于点D，若，则的长是 ． 13．如图，在中，于点，将沿翻折得到，已知，则的长是 ． 14．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为 ；的度数为 ． 15．如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为 ． 16．在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．则当 时，以点B，P，D为顶点的三角形与全等． 三、解答题（满分72分） 17．如图，在中，，，，分别为，的垂直平分线，点E，G分别为垂足． (1)求的度数． (2)若的长为70，求的周长． 18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出的面积是_____； (2)若点P为y轴上一动点，使得的值最小，请画出P点，并直接写出P点坐标____． 19．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 20．如图，在中，，点在上，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 21．如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，． (1)求的长； (2)若，求证：． 22．如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． (1)当是等腰三角形时，求出的度数； (2)求证：； (3)当是等腰三角形时，求出的度数． 23．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 24．【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系 （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点F，请直接写出与的数量关系： ． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，猜想并证明的数量关系． 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】解：、该图形是轴对称图形，符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 2．B 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、B，根据等边对等角和垂直的定义可判断选D．由已知条件无法判断选项C． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分， ∴，， 故选项A、B正确， ∴， ∵，， ∴， 故选项D正确， 由已知条件无法得到， 故选项C中说法不一定正确． 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理（三角形内角和为外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)以及等腰三角形的性质（等边对等角）通过作辅助线构造等腰三角形，利用这些性质和定理来找出角之间的关系是解题的关键．在延长线上取一点,使得,连接，先证，，再证，最后根据等边对等角即可求解． 【详解】解： ,, 在延长线上取一点,使得,连接， ∵, ∴， ， ∴， ∴， ∵， ， , ∴， ∴， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等．利用线段垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式计算可得到的周长． 【详解】解：垂直平分线段， ， ，， 的周长， 故选：B． 6．D 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值 ， ， ， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键； 由可证明，从而可判断①正确；证明得，结合可判断⑤正确；由得，当时，，从而，否则，可判断②错误；由⑤及可判断③正确；分别是△和△的外角，结合，，可得，进而判断④正确． 【详解】解：① 和都是等边三角形， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ⑤ ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， △是等边三角形， 故结论⑤正确； ②∵， ∴， 当时，， ∴， 当不垂直时，， ∴， 故结论②错误； ③△是等边三角形， ， ， ， 故结论③正确； ④是△和△的外角， ， 又， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④⑤，共4个． 故选：． 9． 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ∴， 则． 故答案为：． 10．/110度 【分析】该题考查了等腰三角形和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，讨论是顶角或底角的情况． 【详解】解：设等腰三角形的顶角为，底角为，则． 若是顶角，即，则，，三角形角度为、、，符合条件． 若是底角，即，则，不成立． 因此，只能是顶角． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键. 根据文中的作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，进而根据角平分线的性质得出点P的横坐标与纵坐标的关系最终得出答案即可. 【详解】解：由题意可得：点P在第二象限的角平分线上， ∴， ∴， 故答案为. 12．9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．根据等腰三角形性质得，则，再根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即BC的长是9． 故答案为：9． 13．5 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，掌握30度所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，再根据折叠的性质即可解答． 【详解】解：∵在中， ， ∴， ∵将沿翻折得到，， ∴． 故答案为：5． 14． /76度 /52度 【分析】先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，可得，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练运用这些性质与定理是解题的关键． 15．5 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．证明是等腰三角形，得到，证明，根据全等三角形的性质结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵； ∴． 故答案为：5 16．2或4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 当时，，， ∵， ∴； 当时， ∴． 故答案为：2或4． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：，， ， ，分别为，的垂直平分线， ，， ，， ； （2）由（1）可知，， 的周长． 18．(1)见解析；6 (2)见解析； 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可；利用分割法求三角形的面积即可． （2）连接交轴于点，则点即为所求；设点的坐标为，则可列方程为，求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 的面积是． 故答案为：6； （2）解：如图，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 如图，连接， 设点的坐标为， 则， ， 解得， 点的坐标为． 故答案为：． 19．(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据证明，得出，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）首先根据可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上可证结论成立； （2）证明得出，结合，进而根据线段之间的关系，即可得证． 【详解】（1）证明： 于点， ， ， ， 在和中， ， ， 平分． （2）证明：， ， 在中， ∴ ∴， 又∵， ∴ 即 21．(1)8 (2)证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解含的直角三角形，等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． （1）先利用等腰三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质并通过解直角三角形得到的值，根据已知条件证得是等边三角形，进而求得结果； （2）先根据已知条件并利用角度的和差关系得出，证明得到，再利用等边三角形的性质及线段的等量关系求得相关证明结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即． 22．(1) (2)见解析 (3)的大小为或或 【分析】本题主要考查了等边三角形和全等三角形． （1）根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． （2）根据等边三角形性质得，，，得． （3）根据是等腰三角形，其中，若，则，得；若，则，得；若，则，得． 【详解】（1）解：由题意可知，， 为等边三角形， 又是等边三角形， ． 是边上的高， ， ． 是等腰三角形， ． ． ． （2）证明：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，，， ． 在和中， ； （3）解：的大小为或或； 理由如下： 当是等腰三角形时， 分三种情况讨论： 时， ， ， ， 时， 则， ， 时， 则． ． 综上，的大小为或或． 23．(1)①；；②结论仍然成立，理由见解析 (2)16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键． （1）①先证，再证，则可得，，进而可得；②结论仍然成立，方法同①即可证明； （2）过点作，交于点，构造等腰直角三角形，再同（1）中方法证明得到，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，过点A作于G，则都是等腰直角三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；； ②结论仍然成立，理由如下： ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴结论仍然成立； （2）解：∵，且， ∴； 如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于G，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 24．（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得，再由角性质得到，则． 【详解】解：（1）∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $