第4讲有理数的加法与减法暑假预习讲义（知识点+题型精讲）2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第4讲 有理数的加法与减法 目录 知识点1 有理数加法法则 2 知识点2 有理数加法运算律 2 知识点3 有理数减法法则 2 知识点4 有理数加减混合运算 2 题型 1 有理数加法运算 3 题型 2 有理数加法中的符号问题 5 题型 3 有理数加法在生活中的应用 7 题型 4 有理数加法运算律 8 题型 5 有理数的减法运算 10 题型 6 有理数减法的实际应用 12 题型 7 有理数的加减混合运算 15 题型 8 有理数加减中的简便运算 17 题型 9 有理数加减混合运算的应用 20 题型 10 省略加法和括号的形式 23 解答题 24 1. 知识目标：熟记有理数加法、减法运算法则，掌握加法交换律、结合律，理解加减混合运算统一为加法的原理，掌握省略括号和加号的书写形式。 2. 能力目标：能精准完成有理数加减基础运算，规避符号易错点，熟练运用运算律简便计算，可解决生活中的加减实际应用题。 3. 素养目标：掌握“减法转化为加法”的数学转化思想，规范运算步骤，提升有理数运算准确率与简便运算思维。 知识点1 有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同符号，并把绝对值相加。 2. 异号两数相加：绝对值相等时和为0（互为相反数相加得0）；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。 3. 一个数与0相加，仍得这个数。 4. 运算核心顺序：先定符号，再算绝对值，分步运算不混淆。 知识点2 有理数加法运算律 1. 加法交换律：，交换加数位置，和不变。 2. 加法结合律：，优先结合凑整、凑零、同分母、同符号数，简化计算。 3. 常用简便组合：互为相反数结合、同号结合、凑整结合、分数小数统一后结合。 知识点3 有理数减法法则 1. 核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 。 2. 转化要点：减法变加法、减数变相反数，同时更改两处符号，被减数保持不变。 3. 注意：减法无交换律，被减数与减数位置不可随意调换。 知识点4 有理数加减混合运算 1. 统一转化：将所有减法全部转化为加法，算式变为纯加法运算。 2. 省略形式：统一为加法后，可省略所有括号和加号，只保留数字前面的性质符号。 3. 读法规范：可按省略符号后的算式依次读数，也可读作几数的代数和。 4. 运算顺序：从左至右依次计算，可结合运算律分组简便运算。 题型 1 有理数加法运算 解题技巧（先定符号、再算绝对值、分步运算） 1. 先判断两数是同号还是异号，严格遵循加法法则； 2. 同号相加：符号不变，绝对值直接相加； 3. 异号相加：大数定符号，大绝对值减小绝对值； 4. 遇0直接保留原数，遇相反数直接得0，简化运算步骤。 1．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 2．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 3．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 4．计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型 2 有理数加法中的符号问题 解题技巧（符号优先、精准判定、规避错号） 1. 加法运算第一步必判符号，符号错误整题出错； 2. 同号必同正或同负，结果符号与原数一致； 3. 异号看绝对值大小，结果符号跟随绝对值更大的数； 4. 多个数相加：先分组归类正负，分别求和，最后再合并定总符号。 5．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 6．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 7．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴． 8．若且a，b异号，，则a_______0． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行判断即可． 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 题型 3 有理数加法在生活中的应用 解题技巧（定正负、列算式、结合场景作答） 1. 先根据题意规定正负意义，如上升、收入、增加为正，下降、支出、减少为负； 2. 把生活中的变化量转化为正负数，列出加法算式； 3. 计算结果后，结合实际场景解释数值含义； 4. 结果正负对应最终变化趋势，0代表无变化、回归基准。 9．（正负数）以婷婷家为起点，向东走为正、向西走为负．如果婷婷从家走了米，又走了米，这时婷婷所在的位置是（    ）米 A．离家东20 B．离家西20 C．离家东80 D．离家西80 【答案】B 【详解】解：∵题目规定向东走为正，向西走为负， ∴米表示婷婷从家向东走米，米表示婷婷再向西走米， 计算总位置得：（米）， 负号表示方向向西，因此这时婷婷所在的位置是离家西20米． 10．春节假期期间某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：早晨气温为，中午上升了， 中午的气温为． 11．温度从℃上升了℃后，则温度计上显示的温度是________度． 【答案】 【详解】根据题意，得（℃）． 12．某潜水员先潜入水下56米，然后上升21米，再下潜16米，这时潜水员处在________的位置． 【答案】水下51米 【分析】本题考查用正负数表示相反意义的量及有理数加减运算． 解题关键是把水面记为0，用负数表示水下深度、正数表示上升，通过有理数加减计算最终位置．先规定水面为0，下潜为负、上升为正，依次列出各阶段位置变化，再通过有理数加减运算，算出潜水员最终的水下深度． 【详解】解：我们可以把水面看作0米，下潜记为负数，上升记为正数来计算∶ 先潜入水下56米∶ 位置为米，上升21米∶ 位置变为米 再下潜16米∶ 位置变为米 所以，这时潜水员处在水下51米位置． 题型 4 有理数加法运算律 解题技巧（灵活分组、四类凑数、简化运算） 1. 优先凑0：互为相反数的数优先结合相加； 2. 优先凑整：小数、整数可凑整的数优先结合； 3. 同类结合：同分母分数、同符号数字统一结合； 4. 合理运用交换律、结合律，打乱原有顺序，简化大数、复杂分数运算。 13．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 14．根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查加法交换律和加法结合律的应用． （1）利用加法交换律求解； （2）利用加法结合律求解； （3）利用加法交换律和结合律求解． 【详解】（1）解：根据加法交换律，两个数相加，交换加数的位置，和不变， 因此，， 故答案为； （2）根据加法结合律，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变， 为了计算简便，将负数结合：， 故答案为，； （3）观察发现，与相加得，与相加得， 因此， 故答案为,． 15．计算： 【答案】 【分析】利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项结合，将分数统一转化为小数形式后再进行简便计算． 【详解】， 原式 16．计算： 【答案】 【详解】解： ． 题型 5 有理数的减法运算 解题技巧（减变加、数变反、两步转化） 1. 所有减法统一转化为加法，严格执行“两变”规则：减号变加号，减数变相反数； 2. 被减数全程不变，只修改运算符号和减数符号； 3. 转化完成后，按照有理数加法法则计算； 4. 避坑：严禁被减数变号、严禁只改符号不换数。 17．比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的减法法则计算即可得出结果． 【详解】解：所求数为． 18．计算： ____________ 【答案】 【详解】解：． 19．计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2)7 (3)7 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确净胜球数的计算方法为：净胜球数进球数失球数，结合题目给出的甲队净胜球验证计算规则，再计算丙队的净胜球数即可得到答案． 【详解】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数进球数失球数， ∵甲队与乙队的比赛结果为，即甲队进球数为，失球数为， ∴甲队的净胜球数为，记作， ∵丙队与丁队的比赛结果为，即丙队进球数为， 失球数为， ∴丙队净胜球数为，即丙队的净胜球数应记作． 题型 6 有理数减法的实际应用 解题技巧（列式求差、对比变化、解读结果） 1. 温差、高差、盈亏差、变化差问题，统一用“大数-小数”或“末期-初期”列式； 2. 负数减法先转化为加法，再计算差值； 3. 结果为正表示增加、升高、盈利，结果为负表示减少、降低、亏损； 4. 答题必须结合题干场景说明差值含义。 22．一种饮料瓶身标注的净含量是，经检测，第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”，第二瓶饮料检测员记的是“”，那么第二瓶饮料的实际净含量是________． 【答案】295 【详解】解：∵第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”， 第二瓶饮料检测员记的是“”， ∴第二瓶饮料实际净含量为：． 23．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 24．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【答案】(1)10月2日游客的人数为4.4万人 (2)3日人数最多，7日人数最少，它们相差2.2万人 【分析】（1）将9月30日游客人数加上1日和2日增加的人数就是10月2日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； 【详解】（1）解：10月2日游客的人数为：（万人）； （2）解：10月1日有游客：（万人）； 10月2日游客的人数为（万人）； 10月3日游客的人数为（万人）； 10月4日游客的人数为（万人）； 10月5日游客的人数为（万人）； 10月6日游客的人数为（万人）； 10月7日游客的人数为（万人）； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差（万人）； 题型 7 有理数的加减混合运算 解题技巧（全转加法、统一形式、依次运算） 1. 第一步：将算式中所有减法转化为加法，化为纯加法算式； 2. 第二步：可省略括号和加号，简化式子； 3. 第三步：从左至右计算，或分组简便计算； 4. 分数、小数混合时，统一形式后再运算，避免计算失误。 25．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 26．计算： 【答案】 【详解】解：原式 . 27．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 8 有理数加减中的简便运算 解题技巧（分组凑整、分类合并、化繁为简） 1. 相反数凑0：抵消为0，减少计算量； 2. 整数小数凑整：优先组合得到整数、整十数； 3. 分数归类：同分母分数优先合并，异分母最后通分； 4. 正负分组：所有正数先求和、所有负数先求和，最后两数相加。 29．计算： 【答案】 【详解】解： ． 30．简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小题采用裂项相消法，将每个分数拆分为两个单位分数之差，中间项相互抵消后简化运算； （2）小题采用凑1拆分法，把每个真分数写成1减去一个单位分数，再结合等比数列裂项抵消计算剩余分数和． 【详解】（1）解： = = = =； （2）解： = = = = = = =． 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 32．先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 题型 9 有理数加减混合运算的应用 解题技巧（建模列式、分步求解、实际验证） 1. 读懂题意，梳理多次变化过程，每次变化对应一个正负数值； 2. 列出完整加减混合算式，统一转化加法后简便计算； 3. 求出最终结果，判断最终位置、状态、数量变化； 4. 必要时对比初始值，求解总变化量、最值等延伸问题。 33．泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解： 米， 所以下午的水位为米． 34．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，如果一组开锁密码为“，，”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算的实际应用，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 首先列式得到，得到标记线按顺时针转了格，进而求解即可． 【详解】解：∵一组开锁密码为“，，” ∴， ∴标记线按顺时针转了格， ∵ ∴锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故答案为：． 35．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 36．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 题型 10 省略加法和括号的形式 解题技巧（统一加法、去括号、规范书写） 1. 先将所有减法改成加法，把原式化为几个数的和； 2. 省略所有括号与加号，只保留每个数字的性质符号； 3. 书写规范：正数前符号可省略，负数前负号必须保留； 4. 读法两种：依次读写数字与符号、读作各数的代数和。 37．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 38．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 39．把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法法则进行变形，即可得到结果． 【详解】解：． 40．把写成省略括号的和的形式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法与减法法则，熟练掌握运算法则是解题关键．根据减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的减法转换为加法，并省略括号和加号，由此即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 解答题 41．有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 【答案】(1) (2)从左到右依次为，，，，，，， (3)总质量为198千克，平均每筐质量为千克． 【分析】（1）根据包装质量的要求，即可选出基准数． （2）将每个数减去基准数，即可求出每筐质量与基准数的相差数． （3）利用有理数的加法法则即可求出总质量，根据总质量筐数即可求出每筐的质量． 【详解】（1）解：包装质量为每筐26千克， 选取的恰当基准数为26． （2）解：选取的基准数为26千克， ，，，，，，，， 从左往右依次是，，，，，，，． （3）解：， 8筐水果的总质量为（千克）． 平均每筐的质量为（千克）． 42．习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为 (2)+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 43．某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的路上连续接送5批客人，行驶路程记录分别为：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）． (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向？距离公司多少千米？ (2)出租车在行驶的过程中，离公司最远的距离是多少？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米2元收费．在这个过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1) 在公司的东方，距离公司8千米 (2) 最远的距离是8千米 (3) 车费70元 【分析】（1）将5次行驶路程相加，根据结果的正负判断方向，结果的绝对值就是距离公司的距离； （2）依次计算每次接送完客人后驾驶员离公司的距离，比较大小即可得到最远的距离； （3）先得到每批客人的行驶路程，根据计价标准分别计算每批的车费，求和得到总车费即可． 【详解】（1）解：5次行驶路程相加得千米， ∵规定向东为正，向西为负，且， ∴接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的东方，距离公司8千米； 答： 接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的东方，距离公司8千米； （2）解：接送完第1批客人后，离公司距离为千米， 接送完第2批客人后，离公司距离为千米， 接送完第3批客人后，离公司距离为千米， 接送完第4批客人后，离公司距离为千米， 接送完第5批客人后，离公司距离为千米， 比较大小得 ， ∴离公司最远的距离是8千米； 答： 出租车离公司最远的距离是8千米； （3）解：由题意，5批客人行驶路程的绝对值分别为1千米，2千米，4千米，3千米，12千米， 路程不超过3千米的共3批，每批收费10元，共元， 第三批路程4千米，超过3千米千米，收费元， 第五批路程12千米，超过3千米千米，收费元， 总车费为元． 答： 在这个过程中该驾驶员共收到车费70元． 44．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量 (3)小明本周一共收入3585元 【分析】（1）根据最大正数和最小负数的差值得出结论即可； （2）根据所有差值的和的正负来判断即可； （3）根据售价运费得出收入即可． 【详解】（1）解：（斤）； （2）解：（斤）； 本周实际销售总量达到了计划数量； （3）解：（元）， 答：小明本周一共收入3585元． 45．随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)西边，米 (2)千瓦时 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的运算，熟练掌握相关运算和定义是解题的关键． （1）将5次运动的行走记录相加，即可求解； （2）将表格中所给数据的绝对值相加，求得总行走距离，再乘以每千米耗电量，即可得到总耗电量，注意单位换算． 【详解】（1）解：（米）， 该机器人第5次完成工作后在出发点的西边，距离出发点米． （2）解：（米）， 则（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 有理数的加法与减法 目录 知识点1 有理数加法法则 2 知识点2 有理数加法运算律 2 知识点3 有理数减法法则 2 知识点4 有理数加减混合运算 2 题型 1 有理数加法运算 3 题型 2 有理数加法中的符号问题 4 题型 3 有理数加法在生活中的应用 4 题型 4 有理数加法运算律 5 题型 5 有理数的减法运算 5 题型 6 有理数减法的实际应用 6 题型 7 有理数的加减混合运算 7 题型 8 有理数加减中的简便运算 8 题型 9 有理数加减混合运算的应用 9 题型 10 省略加法和括号的形式 10 解答题 11 1. 知识目标：熟记有理数加法、减法运算法则，掌握加法交换律、结合律，理解加减混合运算统一为加法的原理，掌握省略括号和加号的书写形式。 2. 能力目标：能精准完成有理数加减基础运算，规避符号易错点，熟练运用运算律简便计算，可解决生活中的加减实际应用题。 3. 素养目标：掌握“减法转化为加法”的数学转化思想，规范运算步骤，提升有理数运算准确率与简便运算思维。 知识点1 有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同符号，并把绝对值相加。 2. 异号两数相加：绝对值相等时和为0（互为相反数相加得0）；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。 3. 一个数与0相加，仍得这个数。 4. 运算核心顺序：先定符号，再算绝对值，分步运算不混淆。 知识点2 有理数加法运算律 1. 加法交换律：，交换加数位置，和不变。 2. 加法结合律：，优先结合凑整、凑零、同分母、同符号数，简化计算。 3. 常用简便组合：互为相反数结合、同号结合、凑整结合、分数小数统一后结合。 知识点3 有理数减法法则 1. 核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 。 2. 转化要点：减法变加法、减数变相反数，同时更改两处符号，被减数保持不变。 3. 注意：减法无交换律，被减数与减数位置不可随意调换。 知识点4 有理数加减混合运算 1. 统一转化：将所有减法全部转化为加法，算式变为纯加法运算。 2. 省略形式：统一为加法后，可省略所有括号和加号，只保留数字前面的性质符号。 3. 读法规范：可按省略符号后的算式依次读数，也可读作几数的代数和。 4. 运算顺序：从左至右依次计算，可结合运算律分组简便运算。 题型 1 有理数加法运算 解题技巧（先定符号、再算绝对值、分步运算） 1. 先判断两数是同号还是异号，严格遵循加法法则； 2. 同号相加：符号不变，绝对值直接相加； 3. 异号相加：大数定符号，大绝对值减小绝对值； 4. 遇0直接保留原数，遇相反数直接得0，简化运算步骤。 1．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 2．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 3．计算： (1)． (2)． (3)． 4．计算： (1)； (2) (3)； 题型 2 有理数加法中的符号问题 解题技巧（符号优先、精准判定、规避错号） 1. 加法运算第一步必判符号，符号错误整题出错； 2. 同号必同正或同负，结果符号与原数一致； 3. 异号看绝对值大小，结果符号跟随绝对值更大的数； 4. 多个数相加：先分组归类正负，分别求和，最后再合并定总符号。 5．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 6．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 8．若且a，b异号，，则a_______0． 题型 3 有理数加法在生活中的应用 解题技巧（定正负、列算式、结合场景作答） 1. 先根据题意规定正负意义，如上升、收入、增加为正，下降、支出、减少为负； 2. 把生活中的变化量转化为正负数，列出加法算式； 3. 计算结果后，结合实际场景解释数值含义； 4. 结果正负对应最终变化趋势，0代表无变化、回归基准。 9．（正负数）以婷婷家为起点，向东走为正、向西走为负．如果婷婷从家走了米，又走了米，这时婷婷所在的位置是（    ）米 A．离家东20 B．离家西20 C．离家东80 D．离家西80 10．春节假期期间某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 11．温度从℃上升了℃后，则温度计上显示的温度是________度． 12．某潜水员先潜入水下56米，然后上升21米，再下潜16米，这时潜水员处在________的位置． 题型 4 有理数加法运算律 解题技巧（灵活分组、四类凑数、简化运算） 1. 优先凑0：互为相反数的数优先结合相加； 2. 优先凑整：小数、整数可凑整的数优先结合； 3. 同类结合：同分母分数、同符号数字统一结合； 4. 合理运用交换律、结合律，打乱原有顺序，简化大数、复杂分数运算。 13．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 14．根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 15．计算： 16．计算： 题型 5 有理数的减法运算 解题技巧（减变加、数变反、两步转化） 1. 所有减法统一转化为加法，严格执行“两变”规则：减号变加号，减数变相反数； 2. 被减数全程不变，只修改运算符号和减数符号； 3. 转化完成后，按照有理数加法法则计算； 4. 避坑：严禁被减数变号、严禁只改符号不换数。 17．比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 18．计算： ____________ 19．计算： (1) ； (2) ； (3) ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 21．福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 题型 6 有理数减法的实际应用 解题技巧（列式求差、对比变化、解读结果） 1. 温差、高差、盈亏差、变化差问题，统一用“大数-小数”或“末期-初期”列式； 2. 负数减法先转化为加法，再计算差值； 3. 结果为正表示增加、升高、盈利，结果为负表示减少、降低、亏损； 4. 答题必须结合题干场景说明差值含义。 22．一种饮料瓶身标注的净含量是，经检测，第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”，第二瓶饮料检测员记的是“”，那么第二瓶饮料的实际净含量是________． 23．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 24．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 题型 7 有理数的加减混合运算 解题技巧（全转加法、统一形式、依次运算） 1. 第一步：将算式中所有减法转化为加法，化为纯加法算式； 2. 第二步：可省略括号和加号，简化式子； 3. 第三步：从左至右计算，或分组简便计算； 4. 分数、小数混合时，统一形式后再运算，避免计算失误。 25．计算：． 26．计算： 27．计算： (1) (2) (3) (4) 28．计算： (1)； (2)． 题型 8 有理数加减中的简便运算 解题技巧（分组凑整、分类合并、化繁为简） 1. 相反数凑0：抵消为0，减少计算量； 2. 整数小数凑整：优先组合得到整数、整十数； 3. 分数归类：同分母分数优先合并，异分母最后通分； 4. 正负分组：所有正数先求和、所有负数先求和，最后两数相加。 29．计算： 30．简便计算： (1)； (2) 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 题型 9 有理数加减混合运算的应用 解题技巧（建模列式、分步求解、实际验证） 1. 读懂题意，梳理多次变化过程，每次变化对应一个正负数值； 2. 列出完整加减混合算式，统一转化加法后简便计算； 3. 求出最终结果，判断最终位置、状态、数量变化； 4. 必要时对比初始值，求解总变化量、最值等延伸问题。 33．泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 34．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，如果一组开锁密码为“，，”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____． 35．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 36．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 题型 10 省略加法和括号的形式 解题技巧（统一加法、去括号、规范书写） 1. 先将所有减法改成加法，把原式化为几个数的和； 2. 省略所有括号与加号，只保留每个数字的性质符号； 3. 书写规范：正数前符号可省略，负数前负号必须保留； 4. 读法两种：依次读写数字与符号、读作各数的代数和。 37．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 38．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 39．把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 40．把写成省略括号的和的形式为_______________． 解答题 41．有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 42．习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 43．某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的路上连续接送5批客人，行驶路程记录分别为：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）． (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向？距离公司多少千米？ (2)出租车在行驶的过程中，离公司最远的距离是多少？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米2元收费．在这个过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 44．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 45．随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $