分层练52空间直线、平面的平行专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以分层训练构建空间平行判定与性质的系统方法体系，通过基础巩固到能力提升的梯度设计，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|A级1-3题|线面/面面平行判定定理辨析|从定义出发，明确判定定理的充要条件| |性质应用|A级4-7题|中位线法、面面平行性质转化|线线平行→线面平行→面面平行的递进推导| |综合证明|A级11-12题、B级16题|辅助线构造（如连接中点）、动态问题转化|结合几何体特征，实现定理的综合迁移应用|

分层练52空间直线、平面的平行 【A级基础巩固】 1.设为两个平面,则的充要条件是( ) A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.平行于同一条直线 D.垂直于同一平面 2.如果是不在同一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在此平面内 D.平行或相交 3.下列命题中正确的是( ) A.若，是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面 B.若直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线和平面满足,则 4.已知为所在平面外一点,平面平面,且交线段于点,若,则等于( ) A2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25 5.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点,分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线与平面不平行的是( ) A B C D 6. (多选)如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在上,且,则( ) A.BD//平面 B.平面 C.平面 D.直线交于一点 7.(多选)如图,透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水,固定容器一边于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜程度的不同,有下面几个结论,其中正确的是( ) (1) (2) (3) A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值 C.随着容器倾斜程度的不同，始终与水面所在平面平行 D.当容器倾斜如图(3)所示时，，为定值 8.设是三个不同的平面，是两条不同的直线，在命题“，.且_____，则”中的横线处填入下列三组条件中的一组.使该命题为真命题. ①，；②，；③，，可以填入的条件有_____.(填序号) 9.如图所示，在正四棱柱中、、、、分别是棱的中点,是的中点,点在四边形EFGH及其内部运动,则只需满足条件_____时，就有平面.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况) 10.如图，在正方体中,,点为的中点,点在上.若平面,则线段的长等于_____. 11.(2023·郑州调研)如图，在直三棱柱中，点分别为,的中点,线段与线段交于点. (1)求证:平面平面; (2)若，求三棱锥的体积. 12.如图,四边形与四边形ADEF均为平行四边形,分别是的中点.求证: (1)BE//平面； (2)平面平面. 【B级能力提升】 13.如图,四棱柱中,四边形为平行四边形,,分别在线段上，且在线段上且平面平面,则( ) A. B. C. D. 14.(多选)如图,在直三棱柱中,分别是棱的中点,则下列结论中正确的是( ) A.平面 B.平面 C.EF//平面 D.平面 15.(多选)已知正方体中,点是底面的中心,点是侧面内的一个动点(含边界),且平面,则以下关系一定正确的是( ) A. B. C. D. 16.如图,正方体中,分别为的中点.(1)当点在棱上运动时,是否都有平面,证明你的结论;(2)若是的中点，若是的四等分点，且,求证:平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1.B[若,则内有无数条直线与平行，当内无数条直线互相平行时，与可能相交若、平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交;若,垂直于同一个平面,则与可以平行也可以相交，故A、C、D中条件均不是的充要条件.根据两平面平行的判定定理知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行、则两平面平行,反之也成立.因此中条件是的充要条件.] 2. A[如图,把这三条线段放在正方体内，可得平面,平面,故平面.] 3.中,可以在过的 平面内;中,与内的直线也可能异面C中,两平面可相交;中,由直线与平面平行的判定定理知，故D正确.] 4.D["平面平面，,又,。1125.] 5.D[对于A，AB//NQ，ABC平面MNQ，NQC平面MNQ，所以直线与平面MNQ平行，所以A不符合题意； 对于B，C，AB//MQ，ABC平面MNQ，MQC平面MNQ，所以直线与平面MNQ平行、所以B、C不符合题意: 对于D,由正方体的性质可知,体对角线与平面相交,所以直线与平面不平行,所以符合题意.故选.] 6.因为,所以.又分别为的中点,所以,且,则.易知平面与为相交直线,故正确,错误; 因为,且,所以四边形为梯形,所以与必相交,设交点为,而平面平面,则点在平面与平面的交线上,又平面平面,所以,即直线交于一点,故D正确.] 7.AD[根据棱柱的特征(有两个面互相平行。其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行),结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知错误；因为平面平面-，所以平面，当平面-不平行于平面时,不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的。所以棱柱的体积为定值，又，所以不变，所以也不变，即-为定值，故D正确.] 8.①或③[由面面平行的性质定理可知，①正确;当时,和可能平行或并面.②错误，当时，和准同一平面内,且没有公共点,所以，③正确。] 9.点在线段上(或点与点重合)[连接(图略),则,且,平面平面，只需.则平面FHN.∴MN//平面.] 10.[因为平面平面，平面平面，所以，所以，为的中点，故 11.(1)证明如图，因为在三棱柱中、、分别为的中点,所以,且， 则四边形是平行四边形, 故, 又平面,,平面,所以平面, 因为在三棱柱中,分 别为的中点, 所以,且, 所以四边形是平行四边形, 所以， 又平面,平面,所以平面, 又平面平面,且, 所以平面平面. (2)解因为，所以.过点作于点, 连接，由题可知平面平面,所以, 又平面,所以平面. 因为分别是的中点, 所以,且, 所以, 其中, 所以. 易知是等腰直角三角形. 所以 , 故三棱锥的体积为. 12.证明(1)如图，连接，则必过与的交点，因为四边形为平行四边形, 所以为的中点, 连接,则为的中位线,所以, 又平面,平面,所以平面. (2)因为分别为平行四边形的边的中点，所以， 又平面平面,所以平面, 因为为的中点,为的中点,所以为的中位线, 所以, 又平面平面,所以平面, 又与为平面内的两条相交直线, 所以平面平面. 13.B[如图所示，延长交于点,进,则. 所以. 因为平面平面,平面几乎面，平面平面，所以.又四边形是平行四边形,所以,所以,因为,所以,因为,所以,所以,故选B.] 14.[在直三棱柱中,因为平面平面，所以平面，A正确； 因为平面平面平面,所以平面正确; 取中点，连接，(图略)，因为，分别是棱的中点，所以量，且，所以,所以四边形为平行四边形,所以平面平面,所以平面,C正确; 取中点，连接(图略)，易证得四边形为平行四边形,所以与平面相交,所以与平面相交,D不正确.故选ABC.] 15.[对于,如图,连接,由正方体的性质可得平面平面,因为平面,且点是侧面内的一个动点,所以点在线段上, 所以与不一定平行,故错误;对于,由选项知平面.由线面平行的性质可知点与点到平面的距离相等,故，故B正确: 对于，因为点为中点，点在线段上，所以与不一定垂直。故C错误; 对于，根据正方体性质易知平面平面，所以，故D正确。 16.(1)解当点在棱上运动时，都有平面、证明如下:连接,在正方形中,为的中位线，可得， 由正方体的截面性质可得四边形为矩形,则, 可得， 又平面平面,则平面. (2)证明取的中点，连接，，取的中点，连接， 由,, 可得, 即四边形为平行四边形, 可得, 由为的中点，且, 可得为的中点，且. 由为平行四边形,可得,即有. 又平面平面, 则平面, 又平面,平面, 则平面平面. $