7.2　直线、平面平行的判定与性质专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦线面、面面平行判定与性质，通过分层训练构建从基础判定到综合应用的知识逻辑链，强化空间观念与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础强化练|8题|命题真假判断、正方体展开图线线平行、动点轨迹与线面平行|以判定定理（线线平行推线面平行、面面平行推线面平行）为核心，结合正方体等基础几何体，构建"概念辨析-简单应用"逻辑| |综合提升练|4题|容器倾斜线面平行判断、三棱锥垂心证明、直三棱柱动态体积与二面角|以性质定理为延伸，通过复杂几何体（三棱台、直四棱柱）动态问题，形成"综合应用-空间建模"进阶逻辑|

7.2　直线、平面平行的判定与性质 基础强化练 1.(2026浙江金丽衢十二校联考一)已知直线a,b与平面α,β,则下列选项可使得a∥α的是 (　 　) A.a∥b,b⊂α　　B.a⊂β,β∥α C.a∥b,b⊥α　　D.a⊥β,β⊥α 2.(2026江苏九校联考)已知两条直线m,n和平面α,则下列命题为真命题的是 (　 　) A.若m∥n,m∥α,则n∥α B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m⊥α,m∥n,则n⊥α D.若m⊥n,m∥α,则n⊥α 3.(2026湖北恩施质检二)下图是一个正方体的展开图,若将它还原为正方体,则 (　 　) A.AB∥CD　　B.EF∥AB C.GH∥AB　　D.GH∥EF 4.(2026福建三市联考)设α,β是两个不重合的平面,则α∥β的充要条件是 (　 　) A.存在无数条直线与α,β都平行 B.存在无数个平面与α,β都垂直 C.对任意的直线l⊂α,都存在直线m⊂β,使得l∥m D.对任意的直线l⊂α,都存在直线m⊂β,使得l⊥m 5.(2026湖北十一校质检)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是A1D1的中点,点N是侧面B1BCC1上的一个动点,满足MN∥平面A1BD,则线段MN长度的最大值为 (　 　) A.2　　B.　　 C.　　D. 6.(多选)(2026广东深圳一模)在正三棱台ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则 (　 　) A.A1D∥AB　　B.AD∥平面A1B1C1 C.AD⊥A1C1　　D.BC⊥平面AA1D 7.(多选)(2026山东济南开学联考)正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BC的中点,则下列条件中,能使PQ∥平面A1BD的有 (　 　) A.Q为A1B1的中点　　B.Q为CC1的中点 C.Q为DD1的中点　　D.Q为A1D1的中点 8.(2026安徽皖南八校质检)如图,四边形ABCD为直角梯形,且∠BAD=∠ADC=90°,DA=DC=2,AB=4,点P满足PA⊥平面ABCD. (1)若E为PB上靠近点P的三等分点,证明:PD∥平面ACE; (2)若PA=2,点F满足=,求直线BD与平面ABF所成角的余弦值. 综合提升练 1.(2026天津十二区重点学校联考一)如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜.随着倾斜度的不同,下面命题错误的是 (　 　) A.有水的部分始终呈棱柱形 B.棱A1D1始终与水面所在平面平行 C.水面EFGH所在四边形的面积为定值 D.当容器倾斜如图3所示时,BE·BF是定值 2.(多选)(2026浙江Z20名校联盟第二次联考)在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,顶点P在底面ABC上的投影为O(O在△ABC内部,不含边界),点M在PO上,则下列说法正确的有 (　 　) A.O为△ABC的垂心 B.若PA=PB=PC,则△ABC是等边三角形 C.△ABC可能是直角三角形 D.直线AB与直线CM的夹角可能为 3.(2026四川省金堂中学等校联考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=BB1,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF. (1)若A1C1∥平面B1EF,判断点E在何位置,并证明你的结论; (2)当三棱锥B-B1EF的体积取得最大值时,求平面B1EF与平面BEF的夹角的余弦值. 4.(2026安徽滁州二模)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,下底面ABCD为平行四边形,AB=AA1=AD=1,∠BAD=60°,P,Q分别是上、下底面所在平面内两点,点N在棱B1C1上,且点P是以B1为圆心的圆弧上的动点,点Q是半圆弧上的动点(不包括端点). (1)若点P在A1D1上,证明:PB∥平面D1DN; (2)设三棱锥P-BCQ的外接球的半径为R,求R的取值范围. 参考答案 基础强化练 1.(2026浙江金丽衢十二校联考一)已知直线a,b与平面α,β,则下列选项可使得a∥α的是 (　B　) A.a∥b,b⊂α　　B.a⊂β,β∥α C.a∥b,b⊥α　　D.a⊥β,β⊥α 2.(2026江苏九校联考)已知两条直线m,n和平面α,则下列命题为真命题的是 (　C　) A.若m∥n,m∥α,则n∥α B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m⊥α,m∥n,则n⊥α D.若m⊥n,m∥α,则n⊥α 3.(2026湖北恩施质检二)下图是一个正方体的展开图,若将它还原为正方体,则 (　B　) A.AB∥CD　　B.EF∥AB C.GH∥AB　　D.GH∥EF 4.(2026福建三市联考)设α,β是两个不重合的平面,则α∥β的充要条件是 (　C　) A.存在无数条直线与α,β都平行 B.存在无数个平面与α,β都垂直 C.对任意的直线l⊂α,都存在直线m⊂β,使得l∥m D.对任意的直线l⊂α,都存在直线m⊂β,使得l⊥m 5.(2026湖北十一校质检)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是A1D1的中点,点N是侧面B1BCC1上的一个动点,满足MN∥平面A1BD,则线段MN长度的最大值为 (　A　) A.2　　B.　　 C.　　D. 6.(多选)(2026广东深圳一模)在正三棱台ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则 (　BD　) A.A1D∥AB　　B.AD∥平面A1B1C1 C.AD⊥A1C1　　D.BC⊥平面AA1D 7.(多选)(2026山东济南开学联考)正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BC的中点,则下列条件中,能使PQ∥平面A1BD的有 (　ACD　) A.Q为A1B1的中点　　B.Q为CC1的中点 C.Q为DD1的中点　　D.Q为A1D1的中点 8.(2026安徽皖南八校质检)如图,四边形ABCD为直角梯形,且∠BAD=∠ADC=90°,DA=DC=2,AB=4,点P满足PA⊥平面ABCD. (1)若E为PB上靠近点P的三等分点,证明:PD∥平面ACE; (2)若PA=2,点F满足=,求直线BD与平面ABF所成角的余弦值. 解析　(1)证明:如图,设BD与AC交于点O,连接OE, ∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD, ∴==, ∴O为BD上靠近点D的三等分点, ∵E为PB上靠近点P的三等分点, ∴在△PBD中,OE∥PD, ∵OE⊂平面ACE,PD⊄平面ACE, ∴PD∥平面ACE. (2)∵CD=AD=2,AD⊥CD,∴AC=2, ∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,则以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),P(0,0,2),B(0,4,0),D(2,0,0),C(2,2,0). 从而=(2,-4,0),=(0,4,0),=(2,2,-2), ∵=, ∴==, ∴点F的坐标为, 则=, 设平面ABF的法向量为n=(x,y,z), 则即 则y=0,令z=1,可得x=-2, ∴n=(-2,0,1), 设直线BD与平面ABF所成角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|===, ∴cos θ==. 即直线BD与平面ABF所成角的余弦值为. 综合提升练 1.(2026天津十二区重点学校联考一)如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜.随着倾斜度的不同,下面命题错误的是 (　C　) A.有水的部分始终呈棱柱形 B.棱A1D1始终与水面所在平面平行 C.水面EFGH所在四边形的面积为定值 D.当容器倾斜如图3所示时,BE·BF是定值 2.(多选)(2026浙江Z20名校联盟第二次联考)在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,顶点P在底面ABC上的投影为O(O在△ABC内部,不含边界),点M在PO上,则下列说法正确的有 (　AB　) A.O为△ABC的垂心 B.若PA=PB=PC,则△ABC是等边三角形 C.△ABC可能是直角三角形 D.直线AB与直线CM的夹角可能为 3.(2026四川省金堂中学等校联考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=BB1,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF. (1)若A1C1∥平面B1EF,判断点E在何位置,并证明你的结论; (2)当三棱锥B-B1EF的体积取得最大值时,求平面B1EF与平面BEF的夹角的余弦值. 解析　(1)若A1C1∥平面B1EF,则E为AB的中点. 证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC, ∵A1C1∥平面B1EF,AC⊄平面B1EF,∴AC∥平面B1EF, 又∵平面ABC∩平面B1EF=EF, 故AC∥EF, ∴=,又∵AB=BC,∴AE=CF, 又∵AE=BF,∴CF=BF, 即F为BC的中点,从而E为AB的中点,故当A1C1∥平面B1EF时,E为AB的中点. (2)不妨设AB=1,BF=t(0<t<1), 则==·S△BEF·BB1=·BE·BF=≤=, 当且仅当t=1-t,即t=时取“=”, 此时,E,F分别为AB,BC的中点, 过点B作BG⊥EF于点G, 可知G为EF的中点,连接B1G, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,EF⊂平面ABC,∴EF⊥BB1, ∵BB1∩BG=B,BB1,BG⊂平面B1BG, ∴EF⊥平面B1BG,∵B1G⊂平面B1BG,∴EF⊥B1G, ∴∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角, 由图知,∠B1GB即为平面B1EF与平面BEF的夹角, ∵BB1=1,BG=, ∴B1G===, 则cos∠B1GB==, 故当三棱锥B-B1EF的体积取得最大值时,平面B1EF与平面BEF的夹角的余弦值为. 4.(2026安徽滁州二模)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,下底面ABCD为平行四边形,AB=AA1=AD=1,∠BAD=60°,P,Q分别是上、下底面所在平面内两点,点N在棱B1C1上,且点P是以B1为圆心的圆弧上的动点,点Q是半圆弧上的动点(不包括端点). (1)若点P在A1D1上,证明:PB∥平面D1DN; (2)设三棱锥P-BCQ的外接球的半径为R,求R的取值范围. 解析　(1)证明:如图,作出符合题意的图形.连接PB1,PB, ∵A1B1=B1P,∠PA1B1=60°, ∴△PA1B1是等边三角形,∴A1P=A1B1,∴A1P=D1P,∴P是A1D1的中点, 又N是B1C1的中点, ∴PD1∥B1N,且PD1=B1N, ∴四边形PB1ND1是平行四边形, ∴PB1∥D1N, 又PB1⊄平面D1DN,D1N⊂平面D1DN, ∴PB1∥平面D1DN, 又∵BB1∥DD1,且BB1⊄平面D1DN,DD1⊂平面D1DN,∴BB1∥平面D1DN, 又∵PB1∩BB1=B1,PB1,BB1⊂平面PBB1,∴平面PBB1∥平面D1DN, 又∵PB⊂平面PBB1,∴PB∥平面D1DN. (2)连接BD,在△ABD中,AB=1,AD=2,∠BAD=60°,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=12+22-2×1×2×=3,则AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD,因为BB1⊥平面ABCD,AB,BD⊂平面ABCD,所以BB1⊥AB,BB1⊥BD, 则AB,BD,BB1两两垂直, 如图,以B为原点建立空间直角坐标系, 则B(0,0,0),C(,-1,0),C1(,-1,1), ∵BC的中点坐标为, ∴可设球心O的坐标为, 则=, ∵P在以B1为圆心、1为半径的圆弧上, ∴P(cos θ,sin θ,1),θ∈. 则=cos θ-,sin θ+,1-t, 由||=||⇒++t2=cos2θ-cos θ++sin2θ+sin θ++1-2t+t2, 化简得t=1+sin,∵θ∈,∴θ-∈, 故t=1+sin∈,∴R2==1+t2∈,∴R∈. 1 学科网（北京）股份有限公司 $