2.5.1.2直线与圆的方程的应课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的方程的应用，通过台风侵袭范围的实际问题导入，衔接直线与圆方程的基础知识点，以实例搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于以圆拱桥支柱高度、轮船触礁判断等实际问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过坐标法“三部曲”训练数学思维，用方程语言精准表达几何关系。采用数学建模教学，课堂小结归纳知识与方法，助力学生提升应用能力，为教师提供丰富实例与系统训练资源。

直线与圆的方程的应用 第二章　2.5.1　第2课时 学习目标 1.能正确理解直线与圆的方程. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 3.体会用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”. 当前台风中心P在某海滨城市O向东300 km处生成，并以40 km/h的速度向北偏西45°方向移动.已知距离台风中心250 km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台风侵袭大概持续多长时间？ 导语 3 内容索引 01 02 直线与圆的方程的实际应用 圆的方程的实际应用 04 随堂演练 03 课时对点练 01 圆的方程的实际应用 　(课本例3)如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m). 例1 解： 建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上. 由题意，点P，B的坐标分别为(0，4)，(10，0). 设圆心坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2. 下面确定b和r的值. 因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2+(y-b)2=r2. 6 　(课本例3)如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m). 例1 解： 于是，得到方程组 解得b=-10.5，r2=14.52. 所以，圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52. 把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52， 即y+10.5=(P2的纵坐标y>0，平方根取正值). 所以y=-10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 答：支柱A2P2的高度约为3.86 m. 7 　一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是 A.13米 B.14米 C.15米 D.16米 √ 例1 8 解析： 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-6，-2)，B(6，-2)， 设圆的方程为x2+(y+m)2=m2(m>0)，将A点坐标代入圆的方 程，则有m=10， 故圆的方程为x2+(y+10)2=100， 令y=-4，则x=±8，故|EF|=16(米). 9 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题. 反思感悟 10 　一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过 A.1.4米 B.3.0米 C.3.6米 D.4.5米 跟踪训练1 √ 11 解析： 方法一　可画出示意图如图所示，以O为原点，OD所在的 直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意得， 圆O的方程为x2+y2=4.52，设C(-2.7，y0)，y0>0，所以(-2.7)2 +=4.52，解得y0=3.6， 故这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过3.6米. 方法二　可画出示意图如图所示，由勾股定理得OD===3.6(米). 12 02 直线与圆的方程的实际应用 　(课本例4)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 例2 解： 以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示 的直角坐标系. 为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所 在位置的坐标为(0，3)，轮船所在位置的坐标为(4，0). 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2+y2=4； 轮船航线所在直线l的方程为+=1， 14 　(课本例4)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 例2 解： 即3x+4y-12=0. 联立直线l与圆O的方程，得 消去y，得25x2-72x+80=0. 由Δ=(-72)2-4×25×80<0，可知方程组无解. 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 15 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，1千米 为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. (1)求圆C的方程； 例2 由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0， 则解得 ∴圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0. 解： 16 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40 千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触 礁的危险？ 例2 该船初始位置为点D，则D(-20，-20)， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航线所在直线为直线l：x-y+20-20=0， 由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r=10， 由于圆心C到直线l的距离d==10<10， 故该船有触礁的危险. 解： 18 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)建系：审题，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (2)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知量. (3)还原：将运算结果还原到实际问题中去. 反思感悟 19 　某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为 A.1分钟 B. 分钟 C.2分钟 D. 分钟 跟踪训练2 √ 20 解析： 以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，则A(50，0)，B(0，50)，可得lAB∶x+y=50，圆O：x2+y2=10 000. 记从N处开始被监测，到M处监测结束，因为O到lAB的距离为|OO'|= =50(米)， 所以|MN|=2=100(米)， 故监测时长为=2(分钟). 21 课堂小结 1.知识清单： (1)圆的方程的实际应用. (2)直线与圆的方程的实际应用. 2.方法归纳：数学建模、坐标法. 3.常见误区：不能正确进行数学建模. 22 03 随堂演练 1 2 3 4 1.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为 A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米 解析： 以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线 为y轴，建立平面直角坐标系如图所示. 易知半圆所在的圆的方程为x2+y2=3.62，由图可知，当货 车恰好在隧道中间行驶时车篷最高，则将x=0.8代入x2+y2=3.62，得y≈3.5(负值舍去). √ 2.经测得某圆拱索桥(如图)的跨度|AB|=100米，拱高|OP|=10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约为(注：≈3.162) A.6.48米 B.4.48米 C.2.48米 D.5.48米 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 解析： 以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系， 由题意可知，点A的坐标为(-50，-10)， 设圆拱桥所在圆的半径为r， ∵|OP|=10， 由勾股定理可得(r-|OP|)2+|OA|2=r2， 即(r-10)2+502=r2，解得r=130， 所以圆心坐标为(0，-130)， 1 2 3 4 解析： 则圆的方程为x2+(y+130)2=1302， 将x=-30代入圆的方程得 (y+130)2=1302-(-30)2=16 000， ∵y>-10，解得y=40-130， ∴|MN|=(40-130)-(-10) =40-120≈40×3.162-120=6.48(米). 1 2 3 4 3.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村外 一小路方程可用x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是　　　 . -2 解析： 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，-3)到直线x-y+2=0的距离减去圆的半径2，即-2=-2. 1 2 3 4 4.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它 　　　(填“会”或“不会”)受到台风的影响.  不会 1 2 3 4 解析： 如图，以台风中心为原点O，以正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2+y2=9； 轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0. 又圆心O到直线l的距离为=>3，可知直线与 圆相离， 故轮船不会受到台风的影响. 04 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A A AD BD 1 1.22 题号 9 答案 5 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由题意得A(-5，0)，B(5，0). 在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a 元/km，a>0， 则从B地运货到P地的运费为a 元/km. 若P地居民选择在A地购买此商品， 则2a<a， 整理得+y2<， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 即点P在圆C：+y2=的内部. 可得圆C内的居民应在A地购物， 同理可得圆C外的居民应在B地购物，圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系Oxy. 由条件知，A(0，60)， C(170，0)，直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-. 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB=. 设点B的坐标为(a，b)， 则kBC==-， ① 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 kAB==， ② 联立①②解得a=80，b=120. 所以|BC|==150. 因此新桥BC的长为150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m， |OM|=d m(0≤d≤60). 由条件知，直线BC的方程为y=-(x-170)， 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切， 故点M(0，d)到直线BC的距离是r， 即r==. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 所以即 解得10≤d≤35. 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 故当d=10时，r=最大，即圆的面积最大. 所以当|OM|=10 m时，圆形保护区的面积最大. 11. 一、单项选择题 1.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40 海里处有一个小岛A，距离小岛10 海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，1海里为单位长度，则暗礁所在区域边界的方程为 A.(x+20)2+(y+20)2=100 B.(x-20)2+(y-20)2=100 C.(x+20)2+(y+20)2=100 D.(x-20)2+(y-20)2=100 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B(图略)，则∠AOB=30°， ∵|OA|=40， ∴|AB|=20，|OB|==20， ∴暗礁所在区域边界方程为 (x-20)2+(y-20)2=100. 2.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形储备基地(如图)，它的附近有一条平直的公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专线DE，则DE的最短距离为 A.6 km B.(4-1)km C.(4+1)km D.4 km √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 以O为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)， 则圆O的方程为x2+y2=1， 因为点B(8，0)，C(0，8)， 所以直线BC的方程为x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为-1=(4-1)km. 3.小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米.当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 A.4 米 B.3 米 C.2 米 D. 米 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 设圆的半径为R，则R2=(R-5)2+202， 解得R=，则R-5=，+4=， 所以当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 2=4(米). 4.现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)，已知弦|AB|=30 cm，弓形高|CD|=3 cm，则阴影部分的面积约为 A.56.99 cm2 B.55.35 cm2 C.57.37 cm2 D.58.39 cm2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 连接OD，OA，OB(图略)，设半径为r cm. 由题意知|AD|=15 cm，则|OD|=(r-3)cm， 在Rt△OAD中，|OA|2=|AD|2+|OD|2， 即r2=152+(r-3)2，解得r=39， 则sin∠AOC==，所以∠AOC≈22.5°， 则∠AOB≈2×22.5°=45°， 所以扇形OAB的面积S1≈=≈596.99(cm2)， △OAB的面积S2=×30×36=540(cm2)， 所以阴影部分的面积为S1-S2≈596.99-540=56.99(cm2). 二、多项选择题 5.如图所示，一个圆形探测仪可视为圆C，其保护罩半径为，圆心C从点开始以每秒个单位长度的速度沿着y轴向下运动，下方有一条斜管道可视为直线l：y=x-4，则探测仪向下运动的过程中保护罩恰好碰到管道所需要的时间可能为 A.6秒 B.8秒 C.10秒 D.16秒 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 设当圆C与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)， 则圆心到直线l的距离为=， 得m=-或m=-， 所以所需要的时间为=6(秒)或=16(秒). 6.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台O的正南方向200 m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则 A.观测点A，B之间的距离是280 m B.圆C的方程为x2+y2+240x-320y=0 C.小汽车行驶路线所在直线的方程为y=-x+200 D.小汽车会进入安全预警区 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 由题意，得A(40，40)，B(-240，0)， 所以|AB|==200， 即观测点A，B之间的距离是200 m，故A错误； 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为圆C经过O，A，B三点， 所以解得 所以圆C的方程为x2+y2+240x-320y=0，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 小汽车行驶路线所在直线的斜率为-1，又点P的坐标是(0，-200)， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y=-x-200，故C错误； 圆C化成标准方程为(x+120)2+(y-160)2=40 000，圆心为C(-120，160)，半径r=200， 圆心C到直线y=-x-200的距离d==120<r， 所以直线y=-x-200与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确. 三、填空题 7.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为　　h. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面 直角坐标系， 则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内时 城市B处于危险区， 即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程 表示为y=x，则圆心B(40，0)到直线y=x的距离d==20，可求得|MN|=2=20， 所以城市B处于危险区的时间为=1(h). 8.某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m.现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，则船身至少降低　　　m，船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01 m) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.22 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 以水位未涨前的水面AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为 x2+(y-b)2=r2(r>0)， ∵圆经过点B(10，0)，C(0，4)， ∴解得 ∴圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52， 令x=4.5，得y≈3.28， 故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5-(3.28-3)=1.22(m)，船才能安全通过桥洞. 9.如图，灯塔P到航道l的距离为20海里，且该灯塔的照明半径为25海里.为确保航道安全，需要在Q处新建一座灯塔，其中PQ=30海里，且PQ∥l.若要两座灯塔在航道l上的照明距离不低于70海里，则新建灯塔的照明半径至少为　　　　海里. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 如图，设直线l与圆P的交点为M，N，与圆Q的一个交点为B， 设新建灯塔的照明半径为r时，|MB|=70，分别过P，Q作PC⊥ l，QD⊥l，垂足分别为C，D， 则|PC|=|QD|=20，|PQ|=|CD|=30， 如图，灯塔P在航道l上的照明范围为|MN|， 因为圆P的半径为25，所以|MN|=2=2×=30，由图分析可知当圆Q刚好过点N时，则|DN|=15， 此时|MB|=60，即两座灯塔在航道l上的照明距离为60海里，不符合题意， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 所以圆Q半径需增大，则|BD|min=70-30-15=25， 此时|QB|===5，所以新建灯塔 的照明半径至少为5海里. 四、解答题 10.有一种大型商品，在A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从 两地之一购得商品运回来，A地每千米的运费是B地的两倍，A，B两 地相距10千米，以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，线段AB 的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.若顾客选择在这种商品的运费和价格的总费用较低的地点购买，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由题意得A(-5，0)，B(5，0). 在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a 元/km，a>0， 则从B地运货到P地的运费为a 元/km. 若P地居民选择在A地购买此商品， 解： 四、解答题 10.有一种大型商品，在A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从 两地之一购得商品运回来，A地每千米的运费是B地的两倍，A，B两 地相距10千米，以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，线段AB 的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.若顾客选择在这种商品的运费和价格的总费用较低的地点购买，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 则2a<a，整理得+y2<， 即点P在圆C：+y2=的内部. 可得圆C内的居民应在A地购物， 同理可得圆C外的居民应在B地购物，圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物. 解： 11.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)， tan∠BCO=. (1)求新桥BC的长； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解： 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系Oxy. 由条件知，A(0，60)， C(170，0)，直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-. 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB=. 11.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)， tan∠BCO=. (1)求新桥BC的长； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解： 设点B的坐标为(a，b)， 则kBC==-， ① kAB==， ② 联立①②解得a=80，b=120. 11.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)， tan∠BCO=. (1)求新桥BC的长； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解： 所以|BC|==150. 因此新桥BC的长为150 m. 11.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)， tan∠BCO=. (2)当OM为多长时，圆形保护区的面积最大？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解： 设保护区的边界圆M的半径为r m， |OM|=d m(0≤d≤60). 由条件知，直线BC的方程为y=-(x-170)， 即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切， 11.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)， tan∠BCO=. (2)当OM为多长时，圆形保护区的面积最大？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解： 故点M(0，d)到直线BC的距离是r， 即r==. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 11.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)， tan∠BCO=. (2)当OM为多长时，圆形保护区的面积最大？ 解： 所以即解得10≤d≤35. 故当d=10时，r=最大，即圆的面积最大. 所以当|OM|=10 m时，圆形保护区的面积最大. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 THANKS 本课结束 $