第二章 直线与圆的方程 单元自测-2026-2027学年高二数学上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学第二章直线与圆的方程单元自测基础卷，120分钟150分，覆盖直线与圆核心知识，注重基础巩固与能力梯度，适配新授课教学检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|直线斜率、对称点、圆的位置关系|结合几何直观，考查概念辨析（如第3题平行条件的充要性）| |填空题|3/18|圆外切、公共弦长、光线反射|体现空间观念，注重运算能力（如第14题光线反射与圆的位置关系）| |解答题|5/74|圆的方程、切线方程、弦长计算|层次递进，综合考查推理与模型观念（如第15题三问从基础到应用）|

第二章 直线与圆的方程（单元自测·基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系、直线过定点问题 【分析】对A：整理方程后令的系数为即可得；对B：整理方程后令的系数为即可得；对C：令，解出即可得；对D：由直线所过定点即可得. 【详解】对A：直线可化为， 令，则，此时，斜率不存在，故A正确； 对B：直线可化为， 令，解得，故恒过定点，故B错误； 对C：令，解得， 此时直线，斜率为，倾斜角为，故C正确； 对D：由B知，恒过定点，故恒过第一象限，故D正确. 故选：B. 2．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 3．“”是直线：与直线：平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【分析】先根据求出a，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由：与：平行， 则，解得或， 当时，，即，，满足； 当时，，即，，两直线重合，不符合题意. 所以“”是直线：与直线：平行的充要条件. 故选：C. 4．若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、两圆的公共弦长 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 5．若圆与的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】先求出两圆圆心，根据线段的垂直平分线即为直线，进而求解即可. 【详解】由圆，即， 则圆心为，半径为， 由圆，即， 则圆心为，半径为， 由于线段的垂直平分线即为直线， 而，则直线的方程为，即. 故选：D 6．光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A． B．4x+5y-1=0 C．3x-4y+1=0 D．3x-4y-1=0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线综合 【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则 解得：A′（﹣4，﹣3）． 由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•，即4x﹣5y+1＝0． 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题． 7．圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】计算两圆的圆心距并与两圆半径之和比较，即可得答案. 【详解】由题知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 所以，所以圆与圆外切. 故选：C. 8．已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意转化为函数的图象和的图象有两个交点，而函数的图象为半圆，利用直线与圆相交的位置关系求解. 【详解】已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上， 关于直线的对称直线为， 故题意等价于函数的图象和的图象有两个交点， 令，即， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以的取值范围是． 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知两直线与，则（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．当时， D．当时，与之间的距离为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】对于A，运用消去参数，对于B，运用截距概念；对于C，运用两直线垂直时，斜率之积为；对于D，两直线平行时，斜率相等，结合平行线距离公式计算.我们将根据这些性质来逐一分析每个选项. 【详解】对于选项A，对于直线，当时，，解得. 所以直线过定点，选项A正确. 对于选项B，对于直线，令，则，解得. 所以直线在轴上的截距为，选项B错误. 对于选项C，直线，其斜率；直线，其斜率.当时，，即， ，解得，选项C正确. 对于选项D，当时，，解得. 此时，即. 两平行直线与之间的距离公式为. 对于与，距离，选项D错误. 故选；AC. 10．已知等腰直角的直角顶点为，若点，则过点且与边所在直线平行的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由两条直线平行求方程 【分析】根据题意求出点B的坐标，再利用直线的平行关系结合直线的点斜式即可求得答案. 【详解】设点坐标为，根据题意知， 即，解得或， 当点的坐标是时，过点且与边所在直线平行的直线方程是，即； 当点的坐标是时，过点且与边所在直线平行的直线方程是，即. 故选：AC. 11．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C．曲线与曲线恰有三条公切线，则 D．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、切点弦及其方程、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点，判断错误；求出直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误. 【详解】对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误； 对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为， 两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，， 令，，解得，，故直线经过定点，正确； 对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得， 曲线化为标准式得， 所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确； 对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题． 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．若圆与圆外切，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解． 【详解】由题意可得：圆的圆心分别为，半径分别是， 因为圆外切，所以， 则，解得． 故答案为：. 13．已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】联立两圆方程，求得公共弦所在直线方程，根据圆心到公共弦所在直线的距离，由几何法求得公共弦长. 【详解】圆与圆相交于，两点， 所以，两点坐标均满足两圆方程. 由，可得，即， 故两圆公共弦所在的直线方程为； 因为圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则公共弦的长为4． 14．一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.5 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先求出反射光线所在直线的方程，然后求出圆心到的距离的表达式，然后根据题意列出不等式，求解不等式的解集即可. 【详解】当时，反射光线所在直线方程为，该直线与圆不相交，不符合题意； 当时，由题可知反射光线所在直线经过点， 则直线的方程为，即． 依题意得圆的圆心到的距离，解得． 故的取值范围为． 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知圆C的圆心为，且圆C经过点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； (3)求过点且与圆C相切的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）利用待定系数法可求得圆的方程； （2）利用圆中的弦长公式求解即可； （3）分过点的直线斜率是否存在两种情况讨论，存在时，设过与圆相切的直线方程为，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）因为圆C的圆心为，所以设圆的标准方程为：， 又圆C经过点，所以，解得， 所以圆C的标准方程为； （2）圆心到直线的距离， 弦长； （3）因为，所以在圆外； 当过点的直线斜率存在时，设过与圆相切的直线方程为， 即， 因为直线与圆相切，所以，整理得， 两边平方得，解得， 所以切线方程为或； 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，过圆心显然与圆不相切； 综上所述：过点且与圆C相切的直线方程为或．    16．已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据直线经过圆心，即可根据直径为6求解， （2）根据圆心到直线的距离与半径相等，即可求解. 【详解】（1）的标准方程为，故圆心为， 由于直线恒过定点，故直线经过圆心， 因此为圆的直径，故，，则，故 （2）， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得，故方程为， 综上所述切线方程为：或 17．已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】(1)x＝4或3x＋4y-8＝0. (2) 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程； （2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长. 【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0， 则圆心到直线的距离为即，解得， 所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0. （2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0， 圆心到直线l的距离 故所求弦长为：. 18．已知直线，圆 (1)若，求直线l截圆M所得的弦长; (2)已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 【答案】(1)4 (2)，或 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可求圆心到直线l的距离，再利用圆的弦长公式即可求解； （2）根据直线方程可得定点坐标，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，即可解k，从而得切线方程. 【详解】（1）当时，直线， 圆M的圆心为，半径为3， 则圆心M到直线l的距离为， 则直线l截圆M所得的弦长为； （2）由得，所以定点， 由题意得切线的斜率存在， 则设切线的方程为，即， 所以， 解得， 故所求切线方程为，即或 19．已知圆的圆心在直线上，与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，若的面积为，求该直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据给定条件，求出经过切点的半径所在直线方程，再求出圆心坐标即可得解. （2）根据给定条件，利用点到直线的距离公式及弦长公式，列式计算即得. 【详解】（1）依题意，过点且垂直于直线的直线方程为， 则圆的圆心在直线上，由，解得， 即点，因此圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离，， 于是的面积，解得或， 所以直线的方程为或，即或. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线与圆的方程（单元自测·基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 2．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．“”是直线：与直线：平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 5．若圆与的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A． B．4x+5y-1=0 C．3x-4y+1=0 D．3x-4y-1=0 7．圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 8．已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知两直线与，则（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．当时， D．当时，与之间的距离为 10．已知等腰直角的直角顶点为，若点，则过点且与边所在直线平行的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C．曲线与曲线恰有三条公切线，则 D．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．若圆与圆外切，则________． 13．已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 14．一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知圆C的圆心为，且圆C经过点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； (3)求过点且与圆C相切的直线方程． 16．已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 17．已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 18．已知直线，圆 (1)若，求直线l截圆M所得的弦长; (2)已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 19．已知圆的圆心在直线上，与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，若的面积为，求该直线的方程. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $