第二章《2.5.2圆与圆的位置关系》课件-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种类型，通过几何法（圆心距与半径关系）和代数法（联立方程判别式）两种判定方法，结合公共弦方程推导，构建完整知识体系。课堂导入先回顾直线与圆知识，再联系生活中圆的组合情境，引导学生类比迁移，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过小组合作分析圆心距与半径关系，结合例5用两种方法判断圆的位置关系、例6推导轨迹方程，发展直观想象和逻辑推理素养。采用例练结合与分层作业，帮助学生深化数形结合思想，提升数学运算能力，教师可借助动态演示和多元测评优化教学，高效达成教学目标。

人教A版2019选择性必修第一册 第二章 直线与圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 一、创设情境，引入新课 章节回顾 直线和圆的方程 直线的倾斜角与斜率 直线的方程 直线的交点坐标与距离公式 圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 生活中圆与圆的组合随处可见，这些场景里的圆，位置关系各不相同。 那么，从数学角度看，应该如何用数学语言精准描述呢？ 一、创设情境，引入新课 二、新知探究，整体认知 问题1 按照两个圆的公共点个数来划分，两个圆之间有哪些位置关系？ 圆与圆的位置关系有五种： 外离、外切、相交、内切、内含. 外离 外切 相交 内切 内含 0个 1个 2个 1个 0个 二、新知探究，整体认知 问题2 类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？ 直线和圆的位置关系 几何方法 代数方法 圆和圆的位置关系 几何方法 代数方法 类比 猜想 二、新知探究，整体认知 问题2 类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？ 判断直线与圆位置关系 求圆心坐标及 半径r 圆心到直线的距离d (点到直线距离公式) 几 何 角 度 几 何 角 度 两圆心坐标及半径 圆心到圆心之间的距离d （两点间距离公式） 比较d和 ， 的 关系，下结论 判断圆与圆位置关系 二、新知探究，整体认知 活动： 小组合作，讨论圆与圆的位置关系分别为外离、外切、相交、内切、内含时对应的圆心距与半径的关系. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           d与r1，r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 r1-r2<d<r1+r2 d=r1－r2 0≤d<r1－r2 若圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=r12，圆C2：(x-x2)+(y-y2)=r22，则两圆的圆心分别为C1(x1,y1)，C2(x2,y2)，半径分别为r1，r2. 圆心距 r2 r1 C1 C2 r2 r1 C1 C2 r2 r1 C1 C2 r1 C1 C2 r2 r1 C1 C2 r2 二、新知探究，整体认知 活动： 小组合作，讨论圆与圆的位置关系分别为外离、外切、相交、内切、内含时对应的圆心距与半径的关系. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           d与r1，r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1－r2| 0≤d<|r1－r2| 若圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=r12，圆C2：(x-x2)+(y-y2)=r22，则两圆的圆心分别为C1(x1,y1)，C2(x2,y2)，半径分别为r1，r2. 圆心距 r2 r1 C1 C2 r2 r1 C1 C2 r2 r1 C1 C2 r1 C1 C2 r2 r1 C1 C2 r2 二、新知探究，整体认知 问题2 类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？ 判断直线与圆位置关系 代数角度 类比 猜想 判断圆与圆位置关系 代数角度 消去x或y后得一元二次方程 消去x或y后得一元二次方程 三、应用新知，深化概念 例5 解法1: 将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①-②，得 联立①③，消去y，可得 ∴方程④有两个不相等的实数根x1，x2. 把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2. 因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2) ，这两个圆相交. 学生作答 三、应用新知，深化概念 例5 学生作答 y x A B C2 C1 解法2: 把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2相交. 三、应用新知，深化概念 例5 思考1： 本例中，是否有必要求出圆C1与圆C2的交点的坐标？ 本题只要判断画出圆C1与圆C2圆是否有公共点，以及公共点的个数。所以并不需要求出公共点的坐标，因此不必解出方程④，具体求出两个实数根，借助△的正负性判断根的个数即可。 思考2：圆C1与圆C2的交点分别为A、B，则线段AB为两圆的公共弦，你能求出圆C1与圆C2公共弦所在的方程吗？ 解得 ，公共弦所在的直线方程： ⑤. A B 三、应用新知，深化概念 例5 思考3： 观察方程③和方程⑤，你发现了什么？你能说明为什么吗? 公共弦所在的直线方程： ⑤. 三、应用新知，深化概念 分析： 设圆 与圆 的交点为 则 ， 同理得 ， 所以 都在直线 上， 又因为两点确定唯一一条直线， 所以 就是公共弦所在的直线方程. A B 当两圆相交时，两圆方程相减，所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线的方程。 三、应用新知，深化概念 问题3 如果两圆方程联立消元后得到的方程的 ，它说明什么?你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？当 时，两圆是什么位置关系？ 当∆＝0时, 方程组只有一组解, 此时两圆相切, 但不能确定两圆是内切还是外切. 追问：当∆<0时，两圆是什么位置关系? 若d=r1+r2，则两圆外切； 若d=|r1-r2| ，则两圆内切； 当∆< 0时, 方程组没有解, 此时两圆无公共点，但不能确定两圆是外离还是内含. 若d>r1+r2 ，则两圆外离； 若0≤d<|r1-r2| ，则两圆内含． 三、应用新知，深化概念 问题4 对比判断圆与圆位置关系的两种方法，你能说说它们各自的优势与劣势吗？ 代数法 几何法 优点 不足 能准确求出两圆的交点 能够准确判断两圆的位置关系 当 Δ < 0 或 Δ = 0 时， 不能判断出两圆的确切的位置关系 不能求出两圆的交点 三、应用新知，深化概念 例6 已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. ①建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中几何要素 ②通过代数计算，解决代数问题 ③把运算结果转化成几何结论 坐标法“三部曲” 建 设 限 代 化 三、应用新知，深化概念 例6 已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 如图示，以线段AB的中点O为原点建立平面直角坐标系. 所以点M的轨迹是以P(6, 0)为圆心，半径为 的一个圆. M x y O • A B 由AB=4，得A(一2, 0)，B(2, 0). 建 设 限 代 化 三、应用新知，深化概念 例6 已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. • P x y O • A B M 所以点M的轨迹是以P(6, 0)为圆心， 半径为 的一个圆. 四、总结测评，作业布置 1、课堂小结 思想方法 类比思想 转化与化归 数形结合 圆与圆的 位置关系 五种位置关系 相离 外离 内含 相交 相切 外切 内切 判断位置关系的方法 代数法 求交点、求公共弦所在直线方程 几何法 精准判断 位置关系 四、总结测评，作业布置 2、目标检测 B C 四、总结测评，作业布置 3、作业布置 谢 谢 教 学 阐 释 第二章 直线与圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 说课流程 内容解析 目标设置 学情分析 策略分析 过程分析 设计反思 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 《2.4.1圆的标准方程》是人教版高中数学选择性必修第一册中第二章《直线与圆的方程》第五节《直线与圆、圆与圆的位置关系》的第三课时。 （1）教学内容解析 —— 明定位，抓重点 解析几何 代数语言 几何图形 描述 代数运算 几何问题 解决 核 心 新授课 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 一、教学内容解析 —— 明定位，抓重点 教学内容 圆与圆位置关系的五种类型， 圆与圆位置关系的两种判定方法， 两圆相交时公共弦所在直线方程， 结合实际问题应用圆与圆位置关系解决问题. 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 一、教学内容解析 —— 明定位，抓重点 是学生此前所学直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等知识的自然延伸. 为后续圆锥曲线的学习奠定了 “坐标法” 的理论基础. 通过探究圆与圆的五种位置关系以及判断方法，有效帮助学生形成用代数解决几何问题的思路. 渗透数形结合、转化与化归、类比、由特殊到一般等思想方法. 知识体系 思想层面 圆与圆的位置关系及判断方法. 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 二、教学目标设置 —— 定方向，育素养 通过观察动画、归纳特征，学生能清晰阐述圆与圆位置关系的五种类型，发展直观想象和数学抽象素养. 目 标 设 置 1 2 3 通过探究圆心距与两圆半径的关系、联立方程判断判别式，学生能熟练掌握圆与圆位置关系的两种判定方法，深化对坐标法的理解，提升逻辑推理和数学运算素养. 通过推导两圆相交时公共弦所在直线方程、解决轨迹与圆的位置关系问题，学生能应用圆与圆位置关系解决实际问题，发展数学建模和问题解决能力. 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 三、教学问题诊断 —— 知学情，破难点 会判断直线与圆的位置关系 初步理解解析几何 “坐标法” 的思想. 具备的基础 几何关系转代数关系意识薄弱； 数形结合应用不灵活； 合适方法的选择困难. 存在的问题 圆与圆位置关系的应用 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 四、教学策略分析 —— 助理解，提效率 问题驱动 类比迁移 技术辅助 多元测评 几何画板动态演示 结合 自主探究圆与圆的五种位置关系 引发 递进式问题串 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 四、教学策略分析 —— 助理解，提效率 问题驱动 类比迁移 技术辅助 多元测评 例练结合 + 多元测评的方式 通过 核心素养目标真正落地 确保 及时反馈 学生的学习效果 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 四、教学策略分析 —— 助理解，提效率 类比分析 合作探究 信息技术融合 教学 策略 教学方法 合作学习 学习方法 合作能力 表达能力 归纳能力 自主-合作-探究 独学-对学-群学 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 五、教学过程设计 —— 重驱动，强测评 3 4 创设情境 引出课题 激发学生 学习兴趣 1 情境引入 任务引领 主动思考 环环相扣 课堂推进 应用深化 总结测评 课堂总结 方法归纳知识升华 启发思维 2新知探究 学习致用 知识巩固 举一反三 当堂反馈 问题衔接 思维递进 素养 导向 测评 跟进 问题 驱动 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 从单元整体出发，明确学习任务，自然地引出本节课的内容，同时让学生联系生活实际，激发学生的学习兴趣 设计意图 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 新知探究，突破教学重点——问题链 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 类比 圆与圆位置关系 相离 相切 相交 直线与圆位置关系 相离 相切 相交 外离 内含 外切 内切 符合学生从整体到局部的认知规律，培养学生的观察能力和归纳总结能力，为后续代数刻画奠定几何基础. 设计意图 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 新知探究，突破教学重点——问题链 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 建立知识迁移 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 新知探究，突破教学重点——问题链 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 培养学生的合作交流能力和逻辑推理能力. 加深对知识的理解和记忆.从而有效突出重点。 学生自主得到结论 小组 展示补充 教师 点评引导 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 深化应用，破解教学难点 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 让学生分别用几何法和代数法解题，推导公共弦方程并解释逻辑 依托 用坐标法 “三步曲” 解决轨迹问题，结合几何画板验证，突破难点 载体 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 深化应用，破解教学难点 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 点评时强调代数法无需算出具体交点，判断 Δ 符号即可 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 深化应用，破解教学难点 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 引导学生发现两圆方程相减的方法，并推导逻辑，以此突破方程相减必然的难点。 设计意图 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 深化应用，破解教学难点 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 引导学生在分析总结方法的过程中发现通过方程的解的个数判断圆的位置关系不够精确，对外切与内切、外离与内含无法进一步区分。 设计意图 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 深化应用，破解教学难点 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 总结优劣 在面对具体问题情境时作出合适方法的选择 优化答题策略 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 深化应用，破解教学难点 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 几何画板生成轨迹 验证推导结果 强化数形结合思想 解决轨迹问题步骤衔接的难点 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 总结测评，作业布置 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 构建完整 认知框架 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 总结测评，作业布置 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 实现教学评的一致性 及时测评学生的目标达成情况 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 总结测评，作业布置 01 情境引入 02 新知探究 03 深化应用 04 总结测评 体现因材施教 分层作业 适配不同学情 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 六、教学反思 —— 促改进，求完善 问题驱动 类比迁移 让学生主动参与知识建构过程 体会其中蕴含的 数学思想 培养从几何到代数 的转化能力 符合数学知识螺旋上升的新课程理念 知识掌握 方法迁移 素养提升 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 六、教学反思 —— 促改进，求完善 但后续需进一步关注学生答题过程中的运算细节和书写规范 在实际教学中，需注意避免技术过度依赖。 技术应作为思维的辅助，而非替代学生的自主推理与思考 分层作业与多元测评虽能适配不同学情 几何画板的动态演示有效突破了抽象思维障碍 内容解析/目标设置/学情分析/策略分析/过程分析/设计反思 六、教学反思 —— 促改进，求完善 让课堂真正成为学生素养发展的舞台 优化问题 设计的梯度 平衡技术辅助与思维训练的关系 时刻关注 学生的发展 谢 谢 geogebra_thumbnail.png geogebra_javascript.js function ggbOnInit() {} geogebra_defaults2d.xml geogebra_defaults3d.xml geogebra.xml geogebra_thumbnail.png geogebra_javascript.js function ggbOnInit() {} geogebra_defaults2d.xml geogebra_defaults3d.xml geogebra.xml $