3.1.1 第2课时 与椭圆有关的轨迹问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆轨迹问题，分层设计从定义直接应用到综合几何条件推理，通过选择、填空、解答题梯度进阶，强化数学建模与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|椭圆定义直接应用、斜率关系|选择1-5直接考查定义与标准方程，强化概念理解| |中档|垂直平分线、坐标转移法|填空7-9结合向量、坐标转移，培养几何直观| |综合|动圆相切、多步几何推理|解答题10综合几何条件求轨迹，提升数学思维与表达|

3.1.1 椭圆及其标准方程 第2课时 与椭圆有关的轨迹问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.在△ABC中，B（－2，0），C（2，0），｜AB｜＋｜AC｜＝6，则顶点A的轨迹方程是（　 ） A.＋＝1（x≠±3） B.＋＝1（x≠±2） C.＋＝1（x≠±3） D.＋＝1（x≠±2） 2.已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－5，0），（5，0），边AC，BC所在直线的斜率之积等于－，则顶点C的轨迹方程为（　 ） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1（y≠0） D.＋＝1（y≠0） 3.已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是（　 ） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4.设A1，A2是椭圆＋＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（　 ） A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 5.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且｜AB｜＝5，＝＋，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为（　 ） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 6.（多选）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝81，动圆C与C1，C2都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为（　 ） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 二、填空题 7.若动点P到点（1，0）的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是 . 8.已知P是椭圆＋＝1（a＞0，b＞0，a≠b）上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是 . 9.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，＝.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是 . 三、解答题 10.如图所示，Rt△ABC的顶点A（－2，0），直角顶点B（0，－2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点. （1）求边BC所在直线的方程； （2）M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程； （3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程. 解析版 一、选择题 1.在△ABC中，B（－2，0），C（2，0），｜AB｜＋｜AC｜＝6，则顶点A的轨迹方程是（　A　） A.＋＝1（x≠±3） B.＋＝1（x≠±2） C.＋＝1（x≠±3） D.＋＝1（x≠±2） 解析：在△ABC中，B（－2，0），C（2，0），｜AB｜＋｜AC｜＝6＞｜BC｜＝4，由椭圆的定义知顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（不含长轴端点）且a＝3，c＝2，b＝，所以顶点A的轨迹方程是＋＝1（x≠±3）. 2.已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－5，0），（5，0），边AC，BC所在直线的斜率之积等于－，则顶点C的轨迹方程为（　C　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1（y≠0） D.＋＝1（y≠0） 解析：设点C（x，y）， 则kAC·kBC＝＝（y≠0）， 所以＝－（y≠0）， 化简得＋＝1（y≠0）. 3.已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是（　C　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4.设A1，A2是椭圆＋＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（　C　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：设交点为P（x，y），A1（－3，0），A2（3，0），P1（x0，y0），P2（x0，－y0）， ∵A1，P1，P共线，∴＝， ∵A2，P2，P共线，∴＝. 两式相乘得＝.（*） ∵P1（x0，y0）在椭圆＋＝1上， ∴＋＝1，∴＝4（1－）， 将代入（*）式得＝－＝， ∴点P的轨迹方程为－＝1. 5.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且｜AB｜＝5，＝＋，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为（　A　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：设M（x，y），A（x0，0），B（0，y0）， 由＝＋， 可得（x，y）＝（x0，0）＋（0，y0）， 则解得 因为｜AB｜＝5， 所以＋＝（x）2＋（y）2＝25， 即＋＝1. 6.（多选）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝81，动圆C与C1，C2都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为（　AB　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由题知，圆C1的圆心为C1（－3，0），半径为1，圆C2的圆心为C2（3，0），半径为9， 设动圆C的半径为r， 当圆C与圆C1外切时，可得｜CC1｜＝r＋1，当圆C与圆C2内切时，可得｜CC2｜＝9－r， 故｜CC1｜＋｜CC2｜＝10＞｜C1C2｜＝6，可得C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，且长轴长为10，焦距为6，短轴长为8，可得方程为＋＝1；当圆C与圆C1内切时，可得｜CC1｜＝r－1，当圆C与圆C2内切时可得｜CC2｜＝9－r， 故｜C1C｜＋｜CC2｜＝8＞｜C1C2｜＝6，可得C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，且长轴长为8，焦距为6，短轴长为2， 可得方程为＋＝1.故选AB. 二、填空题 7.若动点P到点（1，0）的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是　＋＝1　. 解析：设点P的坐标为（x，y）， 则由题意得＝， 整理得2x2＋3y2＝6，即＋＝1， 所以动点P的轨迹方程是＋＝1. 8.已知P是椭圆＋＝1（a＞0，b＞0，a≠b）上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是　＋＝1（a＞0，b＞0，a≠b）　. 解析：设Q（x，y）， ∵＝＋， ∴＝－＝（－，－）. ∵P是椭圆上的任意一点， ∴＋＝1， ∴＋＝1（a＞0，b＞0，a≠b）. 9.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，＝.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是　＋＝1　. 三、解答题 10.如图所示，Rt△ABC的顶点A（－2，0），直角顶点B（0，－2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点. （1）求边BC所在直线的方程； （2）M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程； （3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程. 解：（1）∵kAB＝－，AB⊥BC， ∴kCB＝. ∴边BC所在直线的方程为y＝x－2，即x－y－4＝0. （2）∵边BC所在直线的方程为x－y－4＝0， ∴令y＝0，得C（4，0）. 由题可知M为线段AC中点， ∴圆心M（1，0）. 又∵｜AM｜＝3， ∴圆M的方程为（x－1）2＋y2＝9. （3）∵动圆N过点P（－1，0）， ∴｜PN｜是该圆的半径. ∵动圆N与圆M内切， ∴｜MN｜＝3－｜PN｜， 即｜MN｜＋｜PN｜＝3＞2＝｜PM｜. ∴点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆， 且2a＝3. ∴a＝，c＝1，b＝＝＝. ∴圆心N的轨迹方程为x2＋y2＝1. 页 学科网（北京）股份有限公司 $