分层作业(7)直线与平面的夹角以及二面角-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教B版）

■ 0□00□00 □口1口口1□ 分层作业（七） 2□2222 年级： 直线与平面的夹角以及二面角 卡信 学号后 33333 4□4口44口4☐ 班级： 5555I5 (满分：80分) 位 66☐6]66 姓名： 7077刀7刀7□ 8□8□88]8 9I99□99□ ·基础对点练· 5.(5分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方 形，AE⊥平面ABCD,若AE=1,则平面ADE 1.(5分)若直线1的一个方向向量u=(1,0,1), 与平面BCE所成的角为 () 平面a的一个法向量n=(0,一1,1)，则l与a 所成的角为 ( [N晋 o看或号 o1看或智 [A]45° [B]60° [c]120° [D]150° 2.(5分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 6.(5分)（教材改编题）如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB=2,AA1=3,F是棱BB1上的 点E是线段A,C1上任意一点，则AE与平面 ABCD所成角的正弦值不可能是 () 点，且BF=3BB1.则直线AC,与平面CFC, 所成角的余弦值为 2 3 [D]1 5 B 3.(5分)在正方体ABCD-A1B,C1D1中，二面角 7.(5分)在正方体ABCD-A,B1C1D1中，设 A1-BC-A的余弦值为 ( B1P=λB1C(0<A<1),若二面角B-A1P-B1 te 3 (o) 2 的半面角的正弦值为，则实数入的值 4.(5分)如图，已知四棱锥P 为 口 ABCD的底面ABCD是等腰 8.(5分)如图示，在四棱锥P-ABCD中，四边 梯形，AB∥CD,且AC⊥BD, 形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若 AC与BD交于点O,PO⊥底 ∠PBC=60°，则直线PB与平面ABCD所成 面ABCD,PO=2,AB=2√2，E,F分别是 的角0为 AB,AP的中点，则平面OEF与平面OAE所 成角的余弦值为 ( CA]一V3 3 3 o6 13 19876543210+0.5 11.(5分)等腰直角三角形ABC的斜边AB在平 9.(11分)在四棱锥P-ABCD 面a内，若AC与a成30°角，则△ABC斜边 中，底面ABCD是正方形， 上的中线CM与平面a所成的角为 侧面PAD是正三角形，平 口 面PAD⊥平面ABCD. 12.(5分)如图，已知在一个二面角的棱上有两个 (1)证明：AB⊥平面PAD; 点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两 (2)求平面PAD与平面PDB所成的二面角的 个面内，并且都垂直于棱AB,若AB=4cm, 正切值。 AC=6cm,BD=8cm,CD=2√17cm,则这个 二面角的大小为 19876543210+0.3 13.(13分)（创新拔高题）如 图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是平行四 边形，BC=4,∠ABC B =60°，△PAB是边长为2的等边三角形， PB⊥AC,E是线段PD的中点. ·能力提升练· (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD; (2)若P下=λPC(0<λ<1)，是否存在入，使得 10.(6分)（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底 平面BEF与平面PAD夹角的余弦值为亏？ 3 面ABCD为平行四边形，∠DAB-写，AB- 若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由. 2AD=2PD,PD⊥底面ABCD,则() [A]PA⊥BD [IPB与平面ABCD所成角为 [c]异面直线AB与PC所成角的余弦值 为调 [D]平面PAB与平面PBC所成角的余弦值 聘 14m=√）》+（←》+(）- 因为D1E·A1D=-1+0十1=0， 所以D1E⊥A1D,故D1E⊥A1D. 中异南直线5B与△C之间的延高为得 (2)由题意得DA1=(1,0,1),DE=(1,1,0). 11.ABC[因为AP.AB=-2-2+4=0,所以AP⊥AB, 设平面A1DE的一个法向量为n1=(x1y1z1), 所以AP⊥AB,故A正确； 则·DA=0, x1十之1=0， 即 因为AP·AD=-4十4+0=0，所以AP⊥AD,所以AP⊥ m1·DE=0,x1+y1=0. AD,故B正确； 取x1=1,则n1=(1,-1,-1). 因为AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,AB,ADC平面 因为BD1=(-1,-2,1),且BD1·n1=-1+2-1=0, ABCD,所以AP⊥平面ABCD,所以AP是平面ABCD的 所以BD1⊥n1 一个法向量，故C正确； 又因为BD1丈平面A1DE, BD=AD-AB=(2,3,4),AP与BD不平行，故D错误. 所以BD1∥平面ADE 故选ABC.] 分层作业（七） 12.A[设正方体的棱长为1，平面AEF的法向量为n=(x,y,z). 则A1,0,0),E(11,号)，F(01,子) 答案速对 所以花-(1，号)-(-10，）， 2 4 10 C B A ACD 则·A店=0，+ 32=0, 即 n.EF=0, 取x=1,则y=一1，z 6. √130 x+=0， 13 7或号 8.45°11.45°12.60° 3,故n=(1,-1,3).故选A.] 试题精析 13.-3[由题知OA=(-3,y,2), 因为OA⊥a,所以OA∥n,设OA=n(a∈R),则(-3，y,2) 1.A[设1与a所成角为0(0≤0≤)，因为直线1的一个方 =1(6,-2,z), 向向量u=(1,0,1),平面a的一个法向量n=(0,一1,1)，所 -3=6, 1 入= 2, 所以{y=一2λ，解得 所以y十之=一3.] 以sin0=cos(u,n〉|= 1 y=1, √2X√2 2周为00≤受，所以0 2=入z, z=-4, 14.证明：如图，取BC的中，点O,连接AO 2.C[以B为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 交BD于点E,连接PO 因为PB=PC,所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD,平面 E D PBC∩平面ABCD=BC,POC平 面PBC, 所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD内的射影为 AO. 设棱长为1，则B(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,0,1).设E(t,1-t,1), 在直角梯形ABCD中， 0≤t≤1， 由于AB=BC=2CD, 所以A正=(t-1,1-t,1),平面ABCD的法向量为BB=(0,0,1), 易知Rt△ABO≌Rt△BCD, 所以os(BB,A症1=JBB·A应 1 所以∠BEO=∠OAB十∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°， |BB1I|AE1√2(1-t)2+1 即AO⊥BD. 由三垂线定理，得PA⊥BD e图小， 15.证明：(1)由题意可得D1D⊥平面 则AE与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围 ABCD,以D为坐标原点，DA,DC, DD1所在直线分别为x抽、y轴、之 *停小 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 对比各选项，C项不可能.] Dxyz.则D(0,0,0),A1（1,0,1), 3.C[易知∠ABA为二面角A1-BC-A的平面角， D1(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0), 所以D1E=(1,1,-1),A1D=(-1,0,-1), 所以A,aM-侣-是] 7711 4.B[以O为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y 轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则sima=1cos(AC,Oi)1=A,·o」 3 A花，1oiV13X5 由题易得OA=OB=2, 则A(0,一2,0)，B(2,0,0),P(0,0,2) ,故c0sa= =130 W/13 √/13 13 ,E,F分别是AB,AP的中点， .E(1,-1,0),F(0,-1,1), 即直线AC,与平面CFC,所成角的余弦值为130 ∴.0E=(1,-1,0),0F=(0,-1,1). 设平面OEF的一个法向量为m=(x,y,之)， 元政号 [建立空间直角坐标系如图所示， 则m·0正-0即-y=0, m.0示=0，-y+x=0. 令x=1,可得m=(1,1,1). 易知平面OAE的一个法向量n=(0,0,1), D ..cos(mm3 m·n1√3 设正方体的棱长为1，则A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0), 平面OEF与平面OAE所成角的余孩值为 B1(1,0,1),C(1,1,0), 故选B.] 则B1C=(0,1,-1),A1B1=(1,0,0),A1B=(1,0,-1), 5.A[如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),C(1,1, A1P-A1B1+B1P=(1,0,0)+A(0,1,-1)=(1,入，-A), 0),E(0,0,1), 0<λ<1， 所以BC=(0,1,0),B2=(-1,0,1), 设平面BA1P,平面B1A1P的法向量分别为a=(x1,y1, 设平面BCE的法向量为n=(x,y,z), z1),b=(x2y2,22）, 则n·B驼-y=0, 取n=(1,0,1), |a·A1B=0,b·A1B1=0, n·BE=-x十z=0, 所以 a·A1产=0，b.A,产=0， 又平面ADE的一个法向量为m=(1,0,0), x2=0, 设平面ADE与平面BCE的夹角为0， 即121=0， (x1+入y1-λx1=0,x2+λy2-1z2=0, 到ou-, 分别令=1=1，则x=191=1-是x:=0y:=1, 又0°≤0≤90°，所以0=45 故a=(1,1-,1)b=(0,11D。 设二面商BAP8的面角为9，由血g-图得 D 1ms01-g, B 6.①30 13 [取BC,B1C1的中点分别为O,G,连接OA,OG,在 故cos1=aTb .a·b 邮得 2·√2+(1-) 正三棱柱ABC-A1B:C1中，△ABC为正三角形，故OA⊥ BC.因为OG∥BB1,BB1⊥平面ABC,所以OG⊥平面ABC, 1 则OA,OB,OG两两垂直.以O为坐标原点，OB,OA,OG所 8.45°[由题意得∠CBD=45°，∠PBD即为直线PB与平面 在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图所示， ABCD所成的角0.因为cos∠PBC=cos0·cos∠CBD, ↑C G B ∠PBC=60,即c0s60°=cos0·c0s45,所以c0s0= 2,即 0=45°.] 9.解：(1)证明：：平面ABCD是正方形， B --3 ∴.AB⊥AD, x A v ,:平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 国为AB=2,AA:=3,且BF=专BB,所以A0,5,0 ABC平面ABCD. .由面面垂直的性质定理得AB⊥平面PAD C1(-1,0,3),AC1=(-1,-√5,3)，已知OA⊥平面BCC1B1,即 (2)法一：由题意，△PBD在平面PAD上的射影为△PAD. OAL平面CFC1,故OA=(0,√3,0)为平面CFC1的一个法向 量.设直线AC1与平面CFC1所成的角为a, 设A0-aSa心， 178 在△PBD中，PD=a,BD=√2a,PB=√2a, 取y2=1,可得m=(0,1,W5). m·n_27 所以cos(m,n〉= 手西PAD与平面PDB所成的二而角的余孩值为， 即平面PAB与平面PBC所成角的余弦值为2， 7,故D 正确.门 .平面PAD与平面PDB所成的二面角的正切值为 3 11.45°[如图，作C0⊥a,0为垂足， -23 连接AO,MO,则∠CAO=30°， 3 ∠CMO为CM与平面a所成 法二：如图所示，取PD的中，点E,连接AE,BE 的角. P 在Rt△AOC中，设CO=1,则AC =2. 在等腰直角三角形ABC中，由AC=2,得CM=√2， D 在R△CM0中，sin∠CM0=CM店z1 C01√2 所以∠CM0=45°.则CM与平面a所成的角为45°.] 12.60°[设这个二面角为a. 设AD=a,则BD=PB=√2a, 所以AE⊥PD,BE⊥PD, 由题意得CD=CA+AB+BD,AC·AB=BD.AB=0, 所以∠AEB是平面PAD与平面PDB所成的二面角的平 因此CD2=CA:+AB+BD2+2CA1|BD1cos(x-a), 面角， 即(2√17)2=36+16+64-2×6×8×cosa, 在R△ABB中，AE-,AB=a,∠BAE=受 郎得cosa=号，即a=60.] 13.解：(1)证明：在△ABC中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC 所以tan∠AEB=E=a=2=2W5 -2AB·BCcos∠ABC=4+16-2X2X4X2-12, 所以AC2+AB2=BC2,即AC⊥AB. 10.ACD[对于A,由∠DAB=牙，AB=2AD及余孩定理得 因为PB⊥AC,AB,PBC平面PAB,且AB∩PB=B, BD=√3AD,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.由PD 所以AC⊥平面PAB. ⊥底面ABCD,可得BD⊥PD.图为AD∩PD=D,AD, 又ACC平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD. PDC平面PAD,所以BD⊥平面PAD,故PA⊥BD,故A (2)以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴，作 正确； Az⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系， 对于B,因为PD⊥底面ABCD,所以∠PBD是PB与平面 ABCD所成的角.因为tan∠PBD-品-写，所以∠PBD =合故B错误 对于C,显然∠PCD是异面直线PC与AB所成的角，易得 c∠rcD-0-2 2,故C正确； 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2√3,0)，D(-2,2√3,0)， 对于D,以D为原点，建立如图所示 P10,E(-w5,） 的空间直角坐标系Dxyz.设AD= 所以AP=(1,0W3),AD=(-2,23,0), 1,则A(1,0,0),B(0W3,0),C(-1, 3,0),P(0,0,1),所以AB=(-1, 成-(》 √5,0)，PB=(0,N3,-1),BC=(-1,0,0). B=(-1,0W3),P元=(-1,2W3,-√3)， 设平面PAB的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 所以B萨=B驴+P市=B驴+λP元=(-1,0,3)+ 则·i=0即x1+y,=0, 即 λ(-1,23，-√3)=(-1-λ，21，√3-√3λ). n·PB=0,W3y1-z1=0. 设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),则 n·BE=0, 取y1=1,可得n=(W3,1W3). n.BF=0, 设平面PBC的一个法向量为m=(x2y2,之2)， 5 mP市=0即5：=0 则 即 +y+=0, m·BC=0,-x2=0. (-1-λ)x+2√3λy+(W3-V3)z=0, 7911 取之=4以-1，则x=3(2入-1)，y=3λ-2，所以n=(W3(2入 C(2,0,0),A(0,4,0),P(0,0,4), -1),3λ-2,4入-1). 所以PC=(2,0,-4),PA=(0,4, 设平面PAD的法向量为m=(a,b,c), 一4).故，点C到直线PA的距离 则m·时=0脚十5c=0, m·AD=0,-2a+23b=0, d= PC1-（ P·PA) PA 取c=1,则a=-3,b=-1,所以m=(-5,-1,1). 因为平面BEF与平西PAD夹角的余孩位为号， =√/20-8=2√3.故选A.] 4.A[如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为 所以cos(m,n)l=m·nl x,y,z轴建立空间直角坐标系.因为M是AA1的中点，所以 mln |-3(2λ-1)-3λ+2+4λ-1 3 M(a0,2a）,A1(a,0,a,B(a,a,0,所以A立=(o,0, W5×V3(2x-1)2+(3x-2)+(4以-1)=5' 整理得8(26x2-11入-1)=0，即8(2入-1)(13入十1)=0，解 -a),D成-(a0,c）,D成=(a,a,0).这年西MBD的 一个法向量是n=(x,y,z), n·Di=ax+2ax=0'取x=1,得n=(1,-1,-2), 1 因为0<A<1,所以A=2, 则 n DB=ax+ay=0. 故存在入，使得平西BEF与平面PAD夹角的余孩值为， 故点A到平面MBD的距离d=A府·n n 1 此时入=2： (-2a)x(-2) √ 分层作业（八） √6 6a.故选A 2 答案速对 D. B 1 4 5: 6 7910 D A A B B A D M D 11.3 x A 试题精析 5.B[由AD⊥BD,AC⊥BC,可知AB为球的直径 设球的半径为R,则4πR2=16π，解得R=2,所以AB=2R 1.D[由题意，得PA=(-1,-1,一1)，因为直线1的方向向 =4, 量为n=(1,0,2),所以，点P(1,2,2)到直线1的距离为 因为∠DAB=∠CBA=30°，所以CB=AD=2√3，CA=BD -”）-音- =2, 2.故选D.] 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 2.C[如图，建立空间直角坐标系，则C(1,1,0),C1(1,1,1), C e(0,2),所以元-(1，g,-1,cC=00,1. 所以点C,到直线EC的距离 则A(0,2√3,0)，B(2,0,0),D(0,0,0) 故选C. CA2=x2+(y-2√3)2+2=4， A E 设C(x,y,z),则CB2=(x-2)2+y2+x2=12, CD2=x2+y2+x2=7, x三一4 解得=5v 4 3.A[如图，以B为坐标原点，BC,BA,BP的方向分别为x 轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0), 180