第三章 函数的概念与性质 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷聚焦高一数学函数概念与性质单元，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合汽车利润建模等现实情境与“阶稳区间”新定义问题，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|定义域、幂函数图像辨析|第3题图像比较体现数学眼光，基础概念与图像直观结合| |多选题|3/18|函数图像变换、奇偶性与周期|第10题综合偶函数性质与周期，考察逻辑推理能力| |填空题|3/15|幂函数奇偶性、函数性质综合|第14题结合奇偶性与对称性，强化数学思维严谨性| |解答题|5/77|解析式求法、图像应用、汽车利润建模、新定义“阶稳区间”|第17题经济情境建模体现数学语言表达现实世界，第19题新定义问题培养创新意识|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年高一单元测试—函数的概念与性质 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版A版必修一第三章—函数的概念与性质 一、选择题（共40分） 1．（本题5分）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 2．（本题5分）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，令，则，因为，则， 则， 所以. 3．（本题5分）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 4．（本题5分）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 5．（本题5分）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 6．（本题5分）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得的图象关于直线对称，由解析式可得在上单调递增，进而可得结论． 【详解】由可知，函数的图象关于直线对称， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 因为，所以，即． 7．（本题5分）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 8．（本题5分）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义，利用赋值法求出解析式，进而判断选项． 【详解】取，得， 又，故； 取，得，即， 对正整数x，， 累加，得，故． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得． 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 10．（本题6分）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 【答案】BD 【分析】对于A，利用是定义在上的偶函数和，将转化至区间内求解.对于B，由得到，得到函数的一个周期为4对于C，利用的函数解析式，结合可以得到的函数解析式对于D，利用函数的周期性得到 【详解】当时，，则； 对于B选项，由可知， 所以，即， 故函数的一个周期为4.故B选项正确. 对于A选项，因为函数的一个周期为4， 所以， 又因为，所以，故A选项错误. 对于C选项，设，则， 所以. 所以.所以C选项错误. 对于D选项，由函数的一个周期为4，且是定义在上的偶函数可知 ， 由可知，. 由时，，且函数的一个周期为4可知， . 所以. 又因为函数的一个周期为4，所以 ， 所以 ， 故D选项正确. 11．（本题6分）已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 【答案】ACD 【分析】令可判断A；设，利用，结合单调性定义得的单调性，再利用单调性解得可判断B；令得，代入已知得，根据求出的范围可判断C；结合选项C，分别求出与可判断D. 【详解】对于A，令，得， 因为时，有，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，所以， ， 因为 ，且，所以， 所以，所以在上是单调递增函数， 由，得，解得， 因为是的真子集，则是 的必要不充分条件，故B错误； 对于C，令，得 ，所以， 代入得， 可得 ，即， 因为，所以 ， 则 ， ，即 ，故C正确； 对于D，任意， ， ， 而 ， 因 ，所以 ， 所以，故D正确. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 13．（本题5分）函数是奇函数．若函数，则___________． 【答案】28 【分析】由函数奇偶性建立等式，代入，求得，代入，求得. 【详解】由题意可知，所以. 因为，且，所以， 所以. 14．（本题5分）已知定义在上的函数满足是偶函数，且是奇函数，设，则_________． 【答案】 【分析】利用函数奇偶性推导的周期，求出对应函数值后代入计算得. 【详解】由是偶函数，得，即，是偶函数， 由是奇函数，得，且令得， 即，同时可知关于点对称， 结合是偶函数，， 由奇函数性质得：，换元得， 进一步可得：，因此的周期为， 由得， 又，因此， 代入得：. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复合函数的定义写出解析式． 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 16．（本题15分）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 17．（本题15分）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 19．（本题17分）对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 【答案】(1)区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； (2) (3) 【分析】（1）当时，函数单调递增，且，则是的阶稳区间； （2）对区间，分别讨论，可得时，的所有有限长度的阶稳区间； （3）先证明内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间，再对，对作分类讨论. 【详解】（1）略 （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年高一单元测试—函数的概念与性质 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版A版必修一第三章—函数的概念与性质 一、选择题（共40分） 1．（本题5分）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 4．（本题5分）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 6．（本题5分）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 11．（本题6分）已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 13．（本题5分）函数是奇函数．若函数，则___________． 14．（本题5分）已知定义在上的函数满足是偶函数，且是奇函数，设，则_________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 16．（本题15分）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 17．（本题15分）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 19．（本题17分）对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $