高中数学单元测试——第三章函数的概念与性质（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第三章函数的概念与性质单元复习较难卷，通过分层题型设计，覆盖函数定义、性质及应用，注重数学思维与应用能力考查，适配单元巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义域、奇偶性、单调性（如第2、5题）|基础概念辨析，考查数学抽象| |多选题|3/18|函数图象、幂函数性质（如第10题）|选项分层，培养批判性思维| |填空题|3/15|函数值域、分段函数（如第13题）|简洁设问，检测数学表达| |解答题|5/67|幂函数、阶梯水价应用、抽象函数（如16、17题）|综合情境与推理证明，体现数学应用与逻辑思维|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据函数的表达式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域. 【详解】由题可知且，所以函数的定义域为． 故选：D． 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】函数定义域为，值域为， 对于A，函数的定义域为，且，与的对应法则相同，A是； 对于B，函数的定义域为，值域为，与的值域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，与的定义域不同，C不是； 对于D，函数的定义域为，与的定义域不同，D不是. 故选：A 4．（本题5分）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 5．（本题5分）已知函数是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由函数为偶函数可得，从而可求得. 【详解】由函数是偶函数，则，可得， 所以，. 故选：A. 6．（本题5分）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用置换求出，换元法研究的最大值. 【详解】因为，① 用置换得，② ①-②得. 设当时， 当时，可转化为函数， 又因为， 所以当时，，， 当时，，， 所以当，即时，取得最大值， 对应地，当时，取得最大值. 综上，函数的最大值为， 故选：A. 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 8．（本题5分）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的定义及定义域与值域的概念直接判断. 【详解】A选项中的值域不满足，D选项不是函数的图象， 由函数的定义可知，选项B，C正确． 故选：BC 10．（本题6分）已知函数，则（   ） A．可能是单调递增的幂函数 B．可能是单调递减的幂函数 C．当m为偶数时，在定义域上一定具有单调性 D．的图象可能是开口向下的抛物线 【答案】AD 【分析】根据幂函数得出参数判断A，B，应用特殊值法结合单调性判断C，应用特殊值法结合抛物线性质判断D. 【详解】由函数，则若函数是幂函数， 则，所以或， 当时，是单调递增的幂函数，A选项正确； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在整个定义域上不具有单调性，B选项错误； 当时，定义域为， ，，所以在定义域上不具有单调性，C选项错误； 当且，即时，图象是开口向下的抛物线，D选项正确； 故选：AD. 11．（本题6分）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】利用奇函数概念可判断A，利用定义域可判断B，利用奇偶性求出，可判断C和D. 【详解】因为是奇函数，所以，故A正确； 因为，所以的定义域中肯定没有元素，故B错误； 由是奇函数，是偶函数， 可得：， ， 两式相减得：， 所以，解集为，故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为______． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 13．（本题5分）已知函数，若当时，，则的最大值是_____. 【答案】5 【分析】根据分段函数解析式，分别确定函数的单调性以及确定和时的值，从而可得当时，时，得的取值范围，从而得的最大值. 【详解】当时，为增函数，则，且， 当时，，则在上递减，上递增， 且，， 当时，，则，， 故的最大值是. 故答案为：5. 14．（本题5分）已知函数为奇函数，，若函数与图象的交点为，，，则________． 【答案】 【分析】根据函数的对称性直接计算. 【详解】由已知函数为奇函数， 则函数关于点中心对称， 又当时，，， 所以此时， 即函数关于点中心对称， 所以两函数的交点也关于点中心对称， 即，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数过点. (1)求的解析式，判断的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性并证明. 【答案】(1)，奇函数，证明如下： 因为为幂函数，且过点，所以，解得 所以，所以该函数为奇函数. 理由：定义域为，因为都有， 且，所以该函数为奇函数. (2) 函数在上单调递减. ，且，则 ，，又因为，，即. ，即 在上单调递减. 【分析】（1）由幂函数的定义及经过的点可得函数解析式，并用奇偶性的定义判断可得； （2）直接根据幂函数性质判断并用单调性的定义证明可得. 【详解】（1）略 （2）略 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1) (2)立方米 【分析】（1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 17．（本题15分）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）合理赋值即可证明是奇函数； （2）结合（1），先说明的单调性，再求出其最大值，最后对于关于的一次函数恒成立问题，列不等式求解即可. 【详解】（1）令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 在区间上单调递增. 设任意，，且， 则， ∵，，且，∴，，， 若，则；若，则； 若，显然有. 所以，，时，，， ∴，即，即， 故在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）将已知条件代入，结合函数的奇偶性求解即可，若用特殊值，则需要检验； （2）定义法证明函数单调性的步骤为：设值，作差，变形，定号，写结论；要注意变形要变为可以判断正负的几个因式乘积的形式； （3）移项，根据奇偶性和单调性得出不等式组，求解即可. 【详解】（1）由题意可知，即，解得， ∴，是奇函数，符合题意， 所以，. （2）略 （3）∵是定义域为的奇函数， 则，不等式可化为， 由（2）可得， ，解得， ∴不等式的解集为. 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据函数的定义求出解析式； （2），数形结合求出最小值； （3）令，求出，根据两段函数在上的最值即可求解. 【详解】（1）根据已知， 可得. （2）由题可知， 由，解得或；由，解得， 故当或时；当时， 作出函数的图象： 由图可得； （3）令，解得， 所以 因为，所以． 因为恒过定点，所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D．4 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知函数是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（本题5分）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 8．（本题5分）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则（   ） A．可能是单调递增的幂函数 B．可能是单调递减的幂函数 C．当m为偶数时，在定义域上一定具有单调性 D．的图象可能是开口向下的抛物线 11．（本题6分）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为______． 13．（本题5分）已知函数，若当时，，则的最大值是_____. 14．（本题5分）已知函数为奇函数，，若函数与图象的交点为，，，则________． 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数过点. (1)求的解析式，判断的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性并证明. 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 17．（本题15分）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求关于x的不等式的解集. 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $