第一章 集合与常用逻辑用语 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高一数学人教版A版必修一第一章“集合与常用逻辑用语”单元复习卷，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合交并补、充分必要条件|基础概念辨析，如集合运算（题1-3）、命题否定（题5）| |多选题|3/18|子集关系、命题真假判断|多选项设计考查逻辑严谨性，如“链”的性质（题11）| |填空题|3/15|补集、集合元素个数|简洁考查运算能力，如含参数集合（题13）| |解答题|5/77|集合参数问题、创新定义|分层设问，如“好子集”（题19）体现数学建模，条件选择（题18）考查应用意识|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年高一单元测试—集合与常用逻辑用语 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版A版必修一第一章—集合与常用逻辑用语 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（本题5分）下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 6．（本题5分）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 8．（本题5分）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下列命题中，正确的是（   ） A．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“，”是真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 11．（本题6分）对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其构成集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数为时，下列说法正确的是（    ） A．当时，集合的最长“链”的长度为4 B．如果一条“链”同时包含空集和全集，则这条链的长度至少为 C．对于集合的任意两个不同子集和，若，则存在一条链同时包含和 D．任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链（即从空集到全集的链） 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知全集，集合，则________． 13．（本题5分）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 14．（本题5分）已知集合，，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数，则________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 16．（本题15分）已知，. (1)求和； (2)已知全集，求. 17．（本题15分）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 18．（本题17分）已知集合． (1)若，且，求的取值范围． (2)若集合满足条件_________（三个条件中任选一个作答），求实数的取值范围. （条件①；②是的充分条件；③，使得） (3)若，求实数的取值范围． 19．（本题17分）已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年高一单元测试—集合与常用逻辑用语 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版A版必修一第一章—集合与常用逻辑用语 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，， 则. 2．（本题5分）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，故. 3．（本题5分）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用交集定义计算求解. 【详解】解不等式得，即，与无公共元素， 故. 4．（本题5分）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 5．（本题5分）下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【答案】C 【分析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，保持条件不变、否定结论，据此判断选项即可. 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 6．（本题5分）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 7．（本题5分）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 8．（本题5分）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 10．（本题6分）下列命题中，正确的是（   ） A．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“，”是真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】使用全称量词命题，命题的否定，充分条件与必要条件的判断方法求解. 【详解】“至少有一个x，使成立”是特称量词命题，A选项错误； 命题“，”的否定是“，”，B选项正确； 当时，，，，C选项错误； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； 11．（本题6分）对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其构成集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数为时，下列说法正确的是（    ） A．当时，集合的最长“链”的长度为4 B．如果一条“链”同时包含空集和全集，则这条链的长度至少为 C．对于集合的任意两个不同子集和，若，则存在一条链同时包含和 D．任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链（即从空集到全集的链） 【答案】ACD 【分析】根据链的定义进行探索研究，可以判选项. 【详解】由于两两不同，且， 则它们的元素个数各不相同且依次递增， 对于集合，从起，依次添加任意一个新元素构成新集合， 所得集合即可构成集合的一条“链”， 则一条最长链可为，长度为. A：当 时，其最长链的长度为 4，故A正确； B：链的长度不超过，故B错误； C：若 且 ，则可直接构造链 ，故C正确； D：对于集合的一条长度为2的链， 对于集合任取一条最长链， 对于集合且，依次添加其中的一个新元素到构成新集合，直至得到， 对于集合且，依次添加其中的一个新元素到，直至得到， 则此过程所得集合即可扩展为一条最长链, 则任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链. 故选：ACD. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知全集，集合，则________． 【答案】 【分析】根据补集的定义，在全集中剔除集合的所有元素，即可求得的补集 【详解】已知全集，集合， 则，即 13．（本题5分）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 14．（本题5分）已知集合，，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数，则________． 【答案】 【分析】分两类讨论：（i）整除的有个；（ii）整除：再分三种情况：①整除；②整除；③整除，共有个，再去掉两类重复的三个可得. 【详解】因为表示集合所含元素的个数，其中， （i）整除的有，，，，共个． （ii）整除的有：①整除的有个；②整除的有个；③整除的有个． 其中重复的有，，共个． 所以． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设易得，结合可得，进而求得，可得，，进而求得，再进行检验即可； （2）先求出，再分、、、四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题设，显然，又，所以， 所以，解得， 则，因此， 所以，解得， 则，此时，符合题意， 故. （2）若，则， 又，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 当时，，无解. 综上所述，的取值范围是. 16．（本题15分）已知，. (1)求和； (2)已知全集，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解不等式化简集合B，进而求交集和并集； （2）先根据补集求，进而求交集. 【详解】（1）因为，且， 所以，. （2）因为全集，，则， 且，所以. 17．（本题15分）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 18．（本题17分）已知集合． (1)若，且，求的取值范围． (2)若集合满足条件_________（三个条件中任选一个作答），求实数的取值范围. （条件①；②是的充分条件；③，使得） (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解不等式，得到，,并求出, （2）若选①，则可知，据此列出不等式求解；；若选②，则可知，同①求解即可；若选③，则可知，同①求解即可. （3）根据，得到在中有解，令，根据对称轴，分三种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 设, 则, 所以，解得, 所以， . （2）选择①. 或， ， 当时满足，此时，解得， 当时，或， 不等式的解集为 因为， 所以，解得， 综上所述. 选择选②是的充分条件. 因为是的充分条件，所以，解法同①； 选择③，使得 因为，使得，所以，解法同①； （3）， 在中有解， 对称轴为， ①当，即时， ，显然不成立,不满足条件； ②当，即时， 或， ； ③当，即时，， . 综上，实数a的取值范围是. 19．（本题17分）已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)不是的3元好子集，是的3元好子集. (2)20 (3)证明见解析，等号成立的条件为，且 【分析】（1）根据“好子集”的定义，检查集合中两个元素的和在不超过时是否仍属于该集合． （2）设，其中，按的取值分类讨论，求和的最小值． （3）先证明对任意，都有，再两两相加得到不等式．最后根据等号成立时的结构推出必为等差形式，并验证该形式满足条件． 【详解】（1）①因为，但，所以不是的元好子集． ②集合中，两数之和不超过的情况只有． 且，所以是的元好子集． （2）设. 若，则由好子集的定义可得. 再由. 可知至少含有这个元素，与是元集合矛盾． 故. 若，则，所以． 又，所以． 再由，得． 故. 因为是元集合，所以. 此时，并且满足好子集的定义，所以可以取到． 若，若，则由于中元素互不相同且递增，只可能有或. 当时，，但，不符合好子集的定义． 当时，，但，也不符合好子集的定义． 故当时，必有. 综上，的最小值为． （3）设. 先证明对任意，都有. 假设存在某个，使得. 则对，均有. 由好子集的定义可知都属于． 这些数两两不同，并且都大于，所以它们都只能出现在中． 但是前者共有个不同的数，后者只有个数，矛盾． 故. 于是 所以. 下面讨论等号成立的条件．若等号成立，则对任意，都有. 特别地，对，因为且为整数，所以. 由好子集的定义可知这个数两两不同，并且都大于，所以它们恰好是. 又因为随的增大而增大，所以. 于是，由，得. 所以. 因此等号成立时，必须有. 反过来，若，记. 任取，若. 则，由于为整数，得. 于是. 故是的元好子集，且. 所以等号成立的条件正是. 学科网（北京）股份有限公司 $