专题2.1 随机事件及简单随机事件的概率（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦随机事件及概率核心知识点，系统梳理事件分类（必然、不可能、随机事件）、概率定义与取值范围，通过列举法（列表、树状图）计算简单随机事件概率，构建从概念到应用的学习支架。 资料以生活实例（如古诗、成语、航天任务）引入，培养数学眼光观察现实世界，多样题型（即学即练、典例变式）提升数学思维推理能力，结合数据分析强化数学语言表达，课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固查漏。

专题2.1 随机事件及简单随机事件的概率 教学目标 1. 理解概率的定义，能区分必然事件、不可能事件和随机事件，掌握概率的取值范围。 2. 熟练运用列举法（列表、树状图）计算简单随机事件的概率，能解决生活中的概率问题。 3. 通过试验与分析，体会频率与概率的关系，提升数据分析和逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）核心是概率的基本概念，明确三类事件的区别，掌握概率的意义和取值范围。 （2）关键是用列举法（列表法、树状图法）计算两步及以上简单随机事件的概率。 2.难点 （1）难点在于理解频率与概率的关系，明确频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 （2）复杂随机事件中，如何不重复、不遗漏地列举所有等可能结果，准确计算事件概率。 知识点01 事件的分类 1. 必然事件 定义：在一定条件下必然会发生的事件，其概率 P = 1。 示例：太阳从东方升起。 2. 不可能事件 定义：在一定条件下必然不会发生的事件，其概率 P = 0。 示例：掷骰子得到点数7。 3. 随机事件 定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率 0 < P < 1。 【即学即练】1．古诗“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（     ） A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件 【答案】C 【分析】必然事件是一定条件下一定发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，确定事件包含必然事件和不可能事件，根据定义求解即可. 【详解】解：∵“小荷才露尖尖角”时，蜻蜓可能立在上头，也可能不立在上头，事件发生具有不确定性， ∴该描述对应的事件是随机事件. 2．成语是中国传统文化的一大特色．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（     ） A．拔苗助长 B．一箭双雕 C．水中捞月 D．水涨船高 【答案】B 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义判断各选项，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件． 【详解】解：A、“拔苗助长”一定不会成功，是不可能事件，A错误； B、“一箭双雕”可能发生也可能不发生，是随机事件，B正确； C、“水中捞月”一定不会实现，是不可能事件，C错误； D、“水涨船高”水涨后船一定升高，是必然事件，D错误． 3．“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；水中捞月描述的场景为________事件（选填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”）． 【答案】 不可能事件 【分析】本题考查事件的分类，在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，必然不发生的事件称为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，判断“水中捞月”所属的事件类型，即可求解． 【详解】解：水中捞月描述的场景为不可能事件． 知识点02 概率 1. 概率的定义 表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，记为 P。 2. 等可能事件概率公式 3. 概率计算方法 - 列举法：包括列表法（适用于两步试验）和树状图法（适用于两步及以上试验），可不重不漏列出所有等可能结果。 - 频率估计法：当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用频率估计概率。 【即学即练】1．某校九年级有300名学生，体育测试中某项目的成绩分布如下：成绩优秀的有90人，良好的有120人，及格的有75人，不及格的有15人．从中任意抽取一名学生，该生成绩及格或良好的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出符合条件“成绩及格或良好”的总人数，再用概率公式计算即可． 【详解】解：∵总学生数为，成绩良好的有人，及格的有人， ∴成绩及格或良好的总人数为 ， ∴任意抽取1名学生，该生成绩及格或良好的概率为 ． 2．一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从口袋中随机摸出1个球，记下标号后放回，再随机摸取1个球，则两次所得标号之和为奇数的概率为___________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中和为奇数的有4种情况， ∴两次所得标号之和为奇数的概率为． 3．为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种． (1)小慧选择玉米的概率是_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可知，共有3种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有1种 因此小慧选择玉米的概率为； （2）解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有6种， ∴小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是． 题型01 事件的分类 【典例1】（25-26七年级下·江西吉安·期末）下列成语所描述的事件是不可能事件的是（     ） A．旭日东升 B．水中捞月 C．瓜熟蒂落 D．守株待兔 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，不可能事件是指一定条件下一定不会发生的事件，结合成语含义，逐一判断各选项的事件类型即可得到答案． 【详解】解：∵旭日东升是自然规律，一定发生，属于必然事件，∴A选项不符合要求． ∵水中月亮是月亮的倒影，实际无法捞到，该事件一定不会发生，属于不可能事件，∴B选项符合要求． ∵瓜熟蒂落是自然规律，一定发生，属于必然事件，∴C选项不符合要求． ∵守株待兔中兔子撞死在树桩可能发生也可能不发生，属于不确定事件（随机事件），∴D选项不符合要求． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列事件为必然事件的是（     ） A．某彩票的中奖机会是，买1张彩票不会中奖 B．掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数不超过6 C．从只有红球的袋子中摸出一个黄球 D．打开微信视频号，正在播比赛 【答案】B 【详解】解：A．中奖机会为的彩票，买1张可能中奖也可能不中奖，属于随机事件，不符合要求； B．普通正方体骰子的点数为1到6，所有点数都不超过6，该事件一定发生，属于必然事件，符合要求； C．只有红球的袋子中不可能摸出黄球，属于不可能事件，不符合要求； D．打开微信视频号，可能播放比赛也可能播放其他内容，属于随机事件，不符合要求． 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）诗句“晚来天欲雪”，描述的是________事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）． 【答案】随机 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义对题干描述的事件进行判断. 【详解】解：根据定义，一定条件下必然发生的事件是必然事件，一定条件下一定不发生的事件是不可能事件，一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件. “晚来天欲雪”描述傍晚即将下雪的情况，下雪可能发生，也可能不发生，符合随机事件的定义，因此该事件是随机事件. 【变式3】（25-26六年级下·上海虹口·期末）“二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．在“清明”这个节气会下雨是__________事件（填“确定”或“不确定”）． 【答案】不确定 【分析】根据事件的分类概念，判断该事件能否事先确定发生，即可得出结论． 【详解】解：在“清明”这个节气会下雨可能发生，也可能不发生，无法事先确定是否发生， 因此属于不确定事件． 题型02 判断事件发生的可能性的大小 【典例1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）下列事件中，发生的概率最大的是（     ） A．朝霞不出门，晚霞行千里 B．种瓜得瓜，种豆得豆 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．大雁不过九月九，小燕不过三月三 【答案】B 【分析】结合生活常识和规律，比较各事件发生的可能性大小即可得到结果． 【详解】解：A、“朝霞不出门，晚霞行千里”，是气象经验总结，并不一定每次都应验，发生概率小于1； B、“种瓜得瓜，种豆得豆”由生物遗传规律决定，种下瓜必然收获瓜，种下豆必然收获豆，是必然发生的事件，概率为1； C、“乌云脚底白，定有大雨来”， 是气象经验总结，并不一定每次都应验，发生概率小于1； D、“大雁不过九月九，小燕不过三月三”是对候鸟迁徙规律的总结，受气候变化等因素影响，并非每次都严格应验，发生概率也小于1； 故发生的概率最大的是B． 【变式1】（25-26六年级下·上海·期末）下列情况中，摸球一次，摸到红球可能性最小的是（     ） A．8个白球，2个红球，3个绿球 B．3个红球，6个黄球，4个绿球 C．9个白球，3个黑球，1个红球 D．2个白球，4个红球，7个绿球 【答案】C 【分析】根据当所有球的总个数相同时，红球的个数越少，摸到红球的可能性越小，只需比较各选项红球个数即可求解． 【详解】解：先计算每个选项的总球数： A选项总球数：，红球个数为； B选项总球数：，红球个数为； C选项总球数：，红球个数为； D选项总球数：，红球个数为； ∵四个选项总球数相同，且， ∴C选项红球个数最少，摸到红球可能性最小， 故摸到红球可能性最小的是C选项． 【变式2】（24-25六年级下·上海崇明·期末）一个盒子里有20个只有颜色不同的球，其中有12个白球、6个红球、2个绿球，从中任意摸出一个球，摸到______球的可能性最小． 【答案】绿 【分析】根据不同颜色球的数量多少，即可判断摸到哪种球的可能性最小． 【详解】解：由题意可知，盒子中绿球的数量最少，因此摸到绿球的可能性最小． 【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】根据摸到球的可能性大小与球的数量的关系，得到的取值范围，结合三种球数量互不相等，为正整数即可求解． 【详解】解：根据可能性的意义，球的数量越多，摸到该种球的可能性越大， 摸到红球的可能性最大，红球有5个，黑球有3个，白球有个， ，，即， 摸到黑球的可能性最小， ， 即， 又三种球的数量互不相等，为正整数， ∴． 题型03 概率的意义理解 【典例1】（2026·内蒙古·中考真题）阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（   ） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 【答案】D 【分析】考查概率的意义．概率表示事件发生的可能性大小，不代表确定性结果．成活率意味着成活的可能性很大，但具体到每一次种植，结果是不确定的． 【详解】解：成活率表示在大量重复试验中，成活的可能性为，属于随机事件，并非必然事件或不可能事件 ．种植棵梭梭，不一定有棵成活，故A错误； 种植棵梭梭，成活数量不确定，故B错误； 种植棵梭梭，可能成活也可能不成活，故C错误，D正确． 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【答案】C 【详解】解：对于选项A，∵不太可能发生的事是概率很小的随机事件，不可能事件是一定不发生的事件，二者概念不同，∴A错误． 对于选项B，∵投掷质地均匀的骰子共6种等可能结果，点数中质数为2，3，5共3种，∴掷出点数为质数的概率为，∴B错误． 对于选项C，∵中奖概率为，概率值很小，说明中奖的可能性很小，符合概率的意义，∴C正确． 对于选项D，∵概率表示事件发生的可能性大小，不代表多次试验中一定会发生对应次数，∴摸5次不一定有2次摸到红球，∴D错误． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【答案】① 【分析】先判断三个事件的类型，得到各事件发生的概率范围，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：根据事件的分类可知， ①水往低处流是必然事件，发生概率为， ②东边日出西边雨是随机事件，发生概率满足， ③歪打正着是随机事件，发生概率满足， 比较概率大小可得，大于任意满足的概率，因此发生概率最大的事件是①． 【变式3】（25-26九年级上·四川广元·期末）将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是________． 【答案】 【分析】本题考查概率的基本性质，注意独立事件概率不会因为之前的实验结果发生改变．硬币抛掷是独立事件，每次正面朝上的概率均为，与前次结果无关． 【详解】解：∵硬币质地均匀， ∴每次抛掷正面朝上的概率均为， ∵各次抛掷相互独立， ∴第5次正面朝上的概率为． 故答案为：． 题型04 根据概率公式计算概率 【典例1】（25-26七年级下·山西晋中·期末）2026年4月15日，山西五大文脉旅游线路发布，分别是：华夏之根，土木华章，晋魂春秋，雄关万里，表里山河．某自媒体创作者计划从这五条线路中随机选择一条进行实地探访，则他选中“华夏之根”线路的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数出所有等可能结果数和所求事件的结果数，然后利用概率公式，即可计算． 【详解】∵从5条线路中随机选择1条，共有5种等可能的结果，选中“华夏之根”线路的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，选中“华夏之根”线路的概率为． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）将分别标有“人”“文”“陕”“西”“大”“美”“三”“秦”汉字的八个小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外其余都相同，搅匀后从袋中随机摸出一球，摸到标有“秦”字小球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】随机事件的概率等于该事件包含的等可能结果数除以所有可能的结果总数，代入数据即可求解． 【详解】解：∵ 口袋中共有8个除汉字外其余完全相同的小球，所有等可能的摸球结果总数为8，摸到“秦”字小球的结果只有1种， ∴ 摸到标有“秦”字小球的概率是． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 【答案】 【分析】先求出区域对应的圆心角，用区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可． 【详解】解：区域对应的圆心角为：， ∴指针落在区域的概率是． 【变式3】（25-26七年级下·河南郑州·期末）某学校在开展“端阳有信•香囊藏香”的主题活动时，准备了25个颜色、外形、大小完全一致的香囊，其中有15个是菖蒲香囊，有10个是艾草香囊．若小丽从中随机抽取1个香囊，则抽到艾草香囊的概率为______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能结果的总数，再确定抽到艾草香囊的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：所有等可能结果总数，抽到艾草香囊包含的结果数， ∴． 题型05 已知概率求数量 【典例1】（25-26九年级下·浙江温州·期中）一个不透明的袋子里装有个红球和6个白球，这些球只有颜色不同，若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为．则的值是（     ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】根据概率公式列出关于的方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵袋子中共有个球，每个球被摸到的可能性相等，摸出红球的情况有种，且摸出红球的概率为， ∴根据概率公式可得， 整理得，， 解得，， 经检验，当时，原方程有解， ∴． 【变式1】（2026·河北沧州·三模）某中学为提升学生阅读兴趣，在图书馆设置“盲选好书”专区．专区内共有A，B两类书籍，其中A类是文学名著，B类是科普读物．学生随机抽取1本书，抽到A类书的概率为．已知专区内B类书有36本，则该专区内书籍的总数量为（     ） A．60本 B．54本 C．48本 D．30本 【答案】A 【分析】先根据抽到A类书的概率得到抽到B类书的概率，再结合B类书的实际数量计算书籍总数量． 【详解】解：设该专区内书籍总数量为本，依题意得： ，解得． ∴总数量为60本． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的盒子中装有4个白球，m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则m＝_____． 【答案】1 【分析】本题考查概率的计算与分式方程的求解，根据摸出白球的概率，结合概率公式列分式方程求解即可，掌握概率公式与分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：从中随机摸出一个球是白球的概率为， ， 解得 ， 检验，当时，，原分式方程有意义 是原分式方程的解． 【变式3】（2026·河南平顶山·一模）掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有“你”“我”“他”中的一个字），若向上一面出现“你”的概率为，出现“我”的概率为，则该木块六个面上的字分别是______． 【答案】三个“你”，两个“我”，一个“他” 【分析】根据概率公式，结合总面数为6，分别计算出“你”“我”“他”三个字的数量，即可得到结果． 【详解】解：质地均匀的正方体木块共有6个面， 根据概率公式可得，“你”字的个数为， “我”字的个数为， “他”字的个数为． 题型06 几何概率 【典例1】（25-26七年级下·江西九江·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何概率的定义，指针落在空白区域的概率等于空白区域圆心角与周角度数的比值，即可求解． 【详解】解：空白区域的圆心角为，周角为， 故指针落在空白区域的概率为． 【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为，求出大正方形的面积和阴影面积，利用概率公式求出小球停留在阴影区域的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为， 大正方形的面积为，空白图形的面积为， 阴影的面积为， 小球停留在阴影区域的概率为． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）某商场周年庆开展感恩回馈促销活动，顾客可凭消费小票参与幸运大转盘抽奖，现场设置了一个如图所示材质均匀的圆形转盘，转盘上划分出不同奖项区域．转盘停止后，顾客可领取指针所指区域对应的奖品（指针落在分割线时重新转动），那么顾客转动一次转盘获得三等奖的奖品的概率为________． 【答案】 【分析】根据周角的定义求出三等奖对应的扇形圆心角度数，再利用几何概率公式求解. 【详解】解：由图可知，一等奖对应的圆心角为，二等奖对应的圆心角为， 三等奖对应的扇形圆心角度数为， 顾客转动一次转盘获得三等奖的奖品的概率为． 【变式3】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】利用阴影部分的面积除以正方形的面积，即可得出结果. 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的面积为，以正方形各边为直径的半圆的半径为，四个半圆的面积和为 ， 阴影部分的面积等于四个半圆的面积和减去正方形的面积： ， ∴这个点取在阴影部分的概率是. 题型07 列举法求概率 【典例1】（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先列举出从4个素数中随机选取两个不同的数所有等可能结果，再找出和小于的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：∵不超过10的素数为，，，，共4个，随机选取两个不同的数，所有等可能的结果为：，，，，，，共6种，其中和小于10的结果有：，，，，共种， ∴所求概率为． 【变式1】（2026·河南南阳·模拟预测）在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据物理变化的定义判断出4种图案中属于物理变化的有2种，然后列出所有等可能的结果，找出抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵镁条燃烧生成氧化镁，面包发霉生成新物质，均属于化学变化；玻璃破碎、钢条折弯只是形状改变，均属于物理变化， ∴4张卡片中，属于化学变化的有2张，属于物理变化的有2张，设2张化学变化的卡片分别为，2张物理变化的卡片分别为 ， 从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果有：共6种， 其中抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的结果只有这1种， ∴抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率． 【变式2】（2026·宁夏银川·三模）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响、小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查用列举法求概率，先找出抽取两张卡片的所有等可能结果，再统计出含“指南针”的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针、火药四张卡片分别记为，，，，从四张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，，，，共种，其中两张卡片中含有“指南针”的结果为：，，，共种； ∴根据概率公式可得，所求概率为． 【变式3】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）学校元旦联欢会设置盲盒抽奖游戏，盲盒内放有三枚纪念币，分别刻有数字5，15，25．参与者一次性抽取两枚纪念币，抽到的两枚纪念币数字之和为40的概率是_________． 【答案】 【分析】先列举一次性抽取两枚纪念币所有等可能的结果， 再找出数字之和为的结果个数， 最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，一次性抽取两枚纪念币，所有可能的结果为：，，，共种， 其中两枚纪念币数字之和为的结果只有种，根据概率公式可得． 题型08 列表法或树状图法求概率 【典例1】29．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， P（甲、乙两人恰好都从同一入口进入）=． 【变式1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）中国航天事业取得了举世瞩目的成就，某校科技节选取了最新的四项航天任务：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人试验，供学生对其进行深入了解，将四项任务分别写在四张大小、质地相同的不透明卡片正面上，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，李明随机抽取一张后，张华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，两人均按照所抽取的卡片上的任务进行深入了解． (1)李明抽到的卡片是“A．天舟十号货运补给”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式计算，总共有4种等可能结果，符合条件的结果为1种，即可得到概率； （2）通过列表法列出所有等可能结果，找出两人都抽到载人飞行任务的结果数，再根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】（1）共有4张大小质地相同的卡片，抽到每张卡片的可能性相等，抽到A的结果共1种， 因此李明抽到A的概率为． （2）根据题意，列表表示所有等可能的结果如下： 李明　　　张华 A B C D A -- B -- C -- D -- 所有等可能的结果共12种，由题意可知，B，C是载人飞行任务，其中两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的结果有共2种，因此所求概率为． 【变式2】（2026·吉林·中考真题）第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 【答案】 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，再得出小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：短道速滑、冰壶、冰球这三个项目分别用A、B、C表示，画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果有3种， ∴小冰和小雪被分配到同一项目组的概率为 ． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图，先得到同时抽取枚邮票的所有可能结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵共枚邮票，其中邮票“勾股定理”有枚， ∴从中抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是； （2）解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带的邮票分别记作，，，， 画树状图如图， 共有种可能的结果，其中恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的结果有种， ∴恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）“明天温州市最高气温为25℃”这一事件是（    ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 【答案】B 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，熟练掌握是解题的关键． 该事件涉及天气预测，具有不确定性，可能发生也可能不发生，因此属于随机事件． 【详解】∵ 明天温州市最高气温可能为25℃，也可能不为25℃，该事件是否发生无法提前确定； ∴ 这一事件是随机事件． 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件是必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C．在地球上，太阳东升西落 D．打开电视，正好在播放新闻 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件和随机事件，一定会发生的事件是必然事件，可能发生的事件是随机事件，据此判断即可求解，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、是随机事件，该选项不合题意； B、是随机事件，该选项不合题意； C、是必然事件，该选项符合题意； D、是随机事件，该选项不合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）兴趣小组利用计算器进行模拟试验，来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，下表是他们试验中获得的数据．通过该小组试验估计，“6个人中有2个人生肖相同”的概率约为（精确到0.01）（    ） 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “6人中有2个人生肖相同”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “6人中有2个人生肖相同”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 A．0.76 B．0.77 C．0.78 D．0.79 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，试验次数较大时，频率稳定在某个值附近，该值可作为概率的估计值，从数据看，频率稳定在0.781附近，精确到0.01即为0.78，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵试验次数达到1000以上时，频率稳定在0.781附近， ∴估计概率为0.781，精确到0.01即为0.78， 故选：C． 4．（25-26九年级上·山西晋城·月考）在利用正方体骰子进行频率估计概率的试验中，小悦同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（   ） A．朝上的点数是1的概率 B．朝上的点数是偶数的概率 C．朝上的点数小于5的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．分别计算各选项的概率，再对比统计图即可． 【详解】解：A、朝上的点数是1的概率为，不符合题意，选项错误； B、朝上的点数是偶数的概率为，不符合题意，选项错误； C、朝上的点数小于5的概率为，不符合题意，选项错误； D、朝上的点数是3的倍数的概率为，符合题意，选项正确； 故选：D． 5．（25-26九年级上·山西长治·月考）在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，正确列举出所有的可能组合数，利用概率公式求概率是解题的关键． 根据题意列出所有的可能组合数，其中两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，从而计算概率即可． 【详解】解：从四瓶溶液中随机抽取两瓶，可能的组合为： （稀硫酸，氧化钠）、（稀硫酸，稀盐酸）、（稀硫酸，碳酸钠）、（氧化钠，稀盐酸）、（氧化钠，碳酸钠）、（稀盐酸，碳酸钠）， 则总共可能组合数有6种，其中，两瓶都是酸性溶液的只有一种组合， 因此这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是， 故选：A． 二、填空题 6．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人分配到同一组的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 小刚小利 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人分配到同一组的结果数有3种， ∴参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）在相同条件下对新品小麦种子进行发芽试验．统计发芽种子数，获得的数据如下表： 试验种子总数 50 100 500 1000 2000 3000 发芽种子总数 47 96 475 951 1906 2853 发芽频率 0.940 0.960 0.950 0.951 0.953 0.951 根据上表数据，估计种植一粒该新品小麦种子，种子发芽的概率为 ．（结果精确到0.01） 【答案】 【分析】本题主要考查频率估算概率，本题通过频率估计概率，当试验次数足够大时，频率的稳定值即为概率的估计值． 【详解】解：观察表格中发芽频率数据，当试验种子总数较大时，发芽频率在0.95附近波动，且趋于稳定，因此估计该新品小麦种子发芽的概率为0.95， 故答案为：0.95． 9．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂，并画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可. 【详解】解：将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂， 画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果，其中可配成紫色的结果数有种， 所以配成紫色的概率是 ． 故答案为： ． 10．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个不透明的盒子里装有黄色、白色两种颜色的乒乓球共40个，小辰通过多次试验发现，摸出黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中白色乒乓球有 个． 【答案】12 【分析】本题主要考查用频率估计概率、概率的应用等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键． 根据频率稳定在左右，用频率估计概率，得到黄色乒乓球的概率约为，从而计算黄色乒乓球数量，最后求白色乒乓球数量即可． 【详解】解：∵摸出黄色乒乓球的频率稳定在左右， ∴摸到黄色乒乓球的概率大约为， ∴黄色乒乓球的数量为， ∴白色乒乓球数量． 故答案为12． 三、解答题 11．（25-26九年级上·四川达州·月考）甲、乙两人各自从（八台山景区）、（龙潭河）、（大面山）和（红军公园）这四个景点中随机选择一个景点参观游玩．假设两人选择到哪个景点参观游玩都不受任何因素影响，且上述四个景点被选到的可能性相同． (1)甲选择到红军公园参观游玩的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人选择到同一个景点参观游玩的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的计算，解题的关键是利用古典概型的概率公式，结合树状图或列表法列举所有可能结果． （1）直接利用古典概型概率公式，用“红军公园”的个数除以总景点数； （2）通过列表法列出甲、乙选择景点的所有可能结果，找出两人选择同一景点的结果数，再用概率公式计算． 【详解】（1）解：总景点数为4，红军公园是其中1个， ∴ 甲选择到红军公园的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能结果，其中两人选择同一景点的结果有4种， ∴ 两人选择到同一个景点的概率为， 答：甲、乙两人选择到同一个景点参观游玩的概率为． 12．（25-26九年级上·甘肃白银·月考）有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片． (1)从中任意取出1张卡片，图案为“哪吒”的概率为多少？ (2)取出第一张卡片不放回再取一张，两次取出的卡片图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“哪吒”、“敖丙”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”、“敖丙”的结果有：，，一共2种， ∴取出的2张卡片为“哪吒”、“敖丙”的概率为． 13．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)400，60，D，图见解析 (2)估计该校成绩优秀的学生有人 (3) 【分析】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键。 （1）用C组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，由此即可求出m的值，进而根据中位数的定义判断其范围范围，再根据总人数及已知各组人数，计算出E组的人数，从而补全直方图； （2）根据样本中优秀人数占比即可估计2000人中成绩优秀的数量； （3）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为（名）； ∴B组的人数为（名），即； ∵所抽取学生成绩的中位数是第200和第201个成绩的平均数，且， ∴所抽取学生成绩的中位数落在D组， E组的人数为：（人）， 补全学生成绩频数分布直方图如下： 故答案为：400，60，D； （2）解：（人）， 答：估计该校成绩优秀的学生有人； （3）解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，抽取过程如图所示， 共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 14．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 15．（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图1，在计数器的十位上画了一颗珠子，个位上画了四颗珠子，则表示数“14”．如图2，在计数器的十位上画了一颗珠子． (1)如果在图2计数器上再画一颗珠子，则表示的数为11属于______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件； (2)如果在图2计数器上再画两颗珠子，用列表法或画树状图法求表示的数为奇数的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题关键． （1）根据事件的分类，结合题意判定即可； （2）运用列表法或画树状图法求随机事件的方法计算即可． 【详解】（1）解：在这个计数器上再画一颗珠子，可以画在个位，表示11，也可以画在十位，表示20， ∴表示的数为11属于随机事件， 故答案为：随机． （2）解：画树状图如下： 由树状图可知有4种等可能的结果，表示的数为奇数的有2种， ∴P（表示的数为奇数）． 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列四个随机事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一个质地均匀的骰子，朝上的点数是3 C．从52张扑克牌（无大小王）中随机抽一张，抽到红桃 D．从1~10这10个整数中随机抽一个，抽到数字6 【答案】D 【分析】分别计算四个选项中事件发生的概率，概率越小，发生可能性越小，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：A、抛质地均匀的硬币共有2种等可能结果，正面朝上为1种，∴； B、掷质地均匀的骰子共有6种等可能结果，朝上点数为3是1种，∴； C、52张无大小王的扑克牌中红桃共13张，抽牌共有52种等可能结果，抽到红桃是13种，∴； D、1~10共10个整数，抽数共有10种等可能结果，抽到6是1种，∴， ， 最小， 选项事件发生的可能性最小． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）下列事件是随机事件的是（   ） A．一个三角形中有两个内角是钝角 B．从只装有白球的袋子中，任意摸出一个球，是白球 C．五个人分成四组，这四组中有一组是两个人 D．在一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃6 【答案】D 【分析】在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵三角形内角和为，两个钝角的和大于， ∴一个三角形中有两个内角是钝角是不可能事件，不符合题意． B、∵袋子中只装有白球， ∴任意摸出一个球一定是白球是必然事件，不符合题意． C、五个人分成四组，必然有一组是两个人，则该事件是必然事件，不符合题意． D、在一副扑克牌中随机抽取一张，可能抽到红桃6，也可能抽不到，则该事件是随机事件，符合题意． 3．（2026·江西抚州·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据七巧板的结构特点，设最小的等腰直角三角形面积为，分别表示出七巧板的总面积和阴影部分（小猫头部）的面积，再利用几何概率公式计算即可． 【详解】解：设七巧板中最小的等腰直角三角形面积为， ∵七巧板由个小等腰直角三角形、个正方形、个平行四边形、个中等腰直角三角形和个大等腰直角三角形组成， ∴正方形面积为，平行四边形面积为，中等腰直角三角形面积为，大等腰直角三角形面积为， ∴七巧板拼成的小猫图案总面积为， ∵小猫头部（阴影部分）由个小等腰直角三角形和个正方形组成， ∴阴影部分的面积为， ∴小球停在阴影部分的概率． 4．（2026·河北邯郸·三模）某校准备从《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》三首歌曲中随机选择两首进行排练，参加即将举办的“建班制合唱”选拔赛，那么恰好选中前面两首歌曲的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：用A、B、C分别表示《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》， 由题意，可画树状图为： 由树状图，可知共有6种等可能的结果，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种， ∴恰好选中前面两首歌曲的概率为． 5．（25-26六年级下·上海虹口·期末）如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① 【答案】B 【分析】指针落在阴影区域内的可能性是：，比较灰色部分的面积即可． 【详解】解：由图可知：①“指针落在灰色区域内”的可能性为；②“指针落在灰色区域内”的可能性为；③“指针落在灰色区域内”的可能性为； 因为， 所以指针落在灰色区域内的可能性从大到小的顺序为：②①③． 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）把三角板切去一个角，使它成为四边形，这件事是________事件(填“确定”或“随机”)． 【答案】随机 【分析】根据切去一个角的不同切法，得到的图形边数不一定为四边形，结合确定事件与随机事件的定义进行判断即可． 【详解】解：三角板原图形为三角形，切去一个角时，不同切法可得到不同边数的图形：切去一个角时，不同切法可得到不同边数的图形：若切线经过一个顶点和对边上的非顶点位置，则得到三角形；若切线与被切角的两条边均交于非顶点位置，则得到四边形， 因此把三角板切去一个角使之成为四边形，这件事可能发生，也可能不发生，是随机事件． 7．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）一个不透明的袋子中有个红球，个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是_________． 【答案】 【分析】本题考查简单随机事件概率的计算，先计算袋中球的总个数，再确定摸出白球的可能结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵袋中总球数为，白球有个， ∴根据概率公式，摸出白球的概率为． 8．（25-26七年级下·山东威海·期末）在一个不透明袋子中装有3个红球和2个蓝球，它们除颜色外其它都相同．要使摸到红球的概率为，则需再向袋子中加入_____个红球． 【答案】1 【分析】求出此时摸到蓝球的概率，进而求出总球数，即可得到答案． 【详解】解：要使摸到红球的概率为，则摸到蓝球的概率为， ∵有2个蓝球， ∴总球数， ∴需再向袋子中加入个红球． 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在的棋盘内已有四个棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一个棋子），如果有三个棋子在同一直线上，我们称之为“三连珠”．现随机放入一个棋子，出现“三连珠”的概率是________． 【答案】 【详解】解：由题意，共有5种等可能的结果，其中出现“三连珠”的情况有4种（放在第2行从左往右第3个方格中不能形成）， 故. 10．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是__________． 【答案】 【分析】由几何概率模型的求法直接求解即可． 【详解】解：图中共有个小等边三角形，其中阴影区域包含个小等边三角形，则击中阴影区域的概率是． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ (1)买一张彩票，中奖． (2)在10个同类产品中，有9个合格品、1个次品．从中一次性任意抽出2个进行检验，抽到的都是次品． (3)将花生油滴入水中，油会浮在水面上． 【答案】(1) 随机事件 (2) 不可能事件 (3) 必然事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，逐一判断每个事件的所属类型即可. 【详解】（1）解： 买一张彩票，中奖结果不确定，可能中奖也可能不中奖，因此该事件是随机事件； （2）已知10个同类产品中只有1个次品，从中任意抽出2个，不可能抽到2个次品，该事件一定不会发生，因此该事件是不可能事件； （3）花生油密度小于水，因此将花生油滴入水中，油一定会浮在水面上，该事件一定发生，因此该事件是必然事件 12．（25-26七年级下·江西抚州·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黄三种颜色的球，其中红球有4个，白球有7个，黄球有若干个，若从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是． (1)求盒子中黄球的个数； (2)求任意摸出一个球是黄球的概率； (3)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为？若能，请写出如何调整白球的数量；若不能，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)能，减少2个 【分析】（1）根据题意求得球的总个数为，进而求得黄球的个数； （2）根据概率公式求解即可； （3）根据任意摸出一个球是红球的概率为，盒子中球的总个数为个，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵红球有4个，白球有7个，黄球有若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴球的总个数为（个）， ∴盒子中黄球的个数为（个）． （2）任意摸出一个球是黄球的概率为； （3）能．∵任意摸出一个球是红球的概率为， ∴盒子中球的总个数为（个）， ∴可以将盒子中的白球拿出（个）． 13．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）为迎接陕西省第十八届运动会，渭南全城加速蝶变，天更蓝、路更畅、城更美．现有正面分别写有“最”“美”“渭”“南”的不透明卡片共20张，这些卡片除正面所写文字不同外，其余完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“渭”字的卡片有4张，写有“南”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有“南”字”的卡片为____________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)从这些卡片中随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“渭”字的卡片（与上述卡片相同），混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“渭”字卡片的概率为，求的值． 【答案】(1)随机 (2) (3) 【分析】（1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式构造方程求解即可． 【详解】（1）解：“已知写有“南”字的卡片共有3张， 随机抽取3张卡片， 可能出现全是“南”字的情况， 也可能不出现； 故从这20张卡片中随机抽取3张，全是写有“南”字的卡片”为随机事件； （2）解：写有“美”字的卡片数量为：， 抽到写有“美”字卡片的概率为：； （3）解：∵ 取出m张写有“最”字的卡片， 放入m张写有“渭”字的卡片后， 总卡片数仍为20张， 此时写有“渭”字的卡片数量为张， 由题意知， 解得， ∴m的值为4． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为激励学生向航天工作者学习，增强学生崇尚科学的意识，某校举办名为“弘扬航天精神·拥抱星辰大海”的艺术作品征集活动．某班级同学们上交的各类作品（每个人只交一件作品）数量如表所示． 作品类型 书法 摄影 绘画 创意手工制作 其他 数量（件） 10 12 16 6 6 请根据上表提供的信息，解答下列问题： (1)如果从这个班的所有作品中，随机选择一件作品进行点评，那么正好选中“创意手工制作”作品的概率是多少？ (2)如果准备在“书法”“摄影”和“绘画”这三种作品中随机选择一件，求正好选中“绘画”作品的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】先根据表格数据分别求出所有等可能的结果总数，再求出所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】（1）解：计算班级所有作品的总数量（件），其中创意手工制作作品数量为件， 因此随机选一件正好选中创意手工制作作品的概率为； （2）解：计算书法，摄影，绘画三种作品的总数量（件）， 其中绘画作品数量为件， 因此从三种作品中随机选一件正好选中绘画作品的概率为． 15．（2026·四川巴中·中考真题）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图； (2)该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数； (3)学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)25，补全条形统计图如下： (2)112人 (3) 【分析】（1）根据统计图先求出被抽查的总人数，然后根据题意得到B类男生人数和A类女生人数，进而问题可求解； （2）根据题意可直接列式进行求解； （3）由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，然后根据列表法进行求解概率即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：本次抽样调查中，学校一共抽取了学生人数为（名）， ∴（名），即B类男生人数为（名）， A类女生人数为（名）， 补全条形统计图略； （2）解：由（1）可得：（人）， 答：对活动“非常喜欢”的学生人数112人； （3）解：由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，则可列表如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的有6种等可能的结果，所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 随机事件及简单随机事件的概率 教学目标 1. 理解概率的定义，能区分必然事件、不可能事件和随机事件，掌握概率的取值范围。 2. 熟练运用列举法（列表、树状图）计算简单随机事件的概率，能解决生活中的概率问题。 3. 通过试验与分析，体会频率与概率的关系，提升数据分析和逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）核心是概率的基本概念，明确三类事件的区别，掌握概率的意义和取值范围。 （2）关键是用列举法（列表法、树状图法）计算两步及以上简单随机事件的概率。 2.难点 （1）难点在于理解频率与概率的关系，明确频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 （2）复杂随机事件中，如何不重复、不遗漏地列举所有等可能结果，准确计算事件概率。 知识点01 事件的分类 1. 必然事件 定义：在一定条件下必然会发生的事件，其概率 P = 1。 示例：太阳从东方升起。 2. 不可能事件 定义：在一定条件下必然不会发生的事件，其概率 P = 0。 示例：掷骰子得到点数7。 3. 随机事件 定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率 0 < P < 1。 【即学即练】1．古诗“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（     ） A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件 2．成语是中国传统文化的一大特色．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（     ） A．拔苗助长 B．一箭双雕 C．水中捞月 D．水涨船高 3．“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；水中捞月描述的场景为________事件（选填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”）． 知识点02 概率 1. 概率的定义 表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，记为 P。 2. 等可能事件概率公式 3. 概率计算方法 - 列举法：包括列表法（适用于两步试验）和树状图法（适用于两步及以上试验），可不重不漏列出所有等可能结果。 - 频率估计法：当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用频率估计概率。 【即学即练】1．某校九年级有300名学生，体育测试中某项目的成绩分布如下：成绩优秀的有90人，良好的有120人，及格的有75人，不及格的有15人．从中任意抽取一名学生，该生成绩及格或良好的概率是（     ） A． B． C． D． 2．一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从口袋中随机摸出1个球，记下标号后放回，再随机摸取1个球，则两次所得标号之和为奇数的概率为___________． 3．为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种． (1)小慧选择玉米的概率是_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率． 题型01 事件的分类 【典例1】（25-26七年级下·江西吉安·期末）下列成语所描述的事件是不可能事件的是（     ） A．旭日东升 B．水中捞月 C．瓜熟蒂落 D．守株待兔 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列事件为必然事件的是（     ） A．某彩票的中奖机会是，买1张彩票不会中奖 B．掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数不超过6 C．从只有红球的袋子中摸出一个黄球 D．打开微信视频号，正在播比赛 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）诗句“晚来天欲雪”，描述的是________事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）． 【变式3】（25-26六年级下·上海虹口·期末）“二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．在“清明”这个节气会下雨是__________事件（填“确定”或“不确定”）． 题型02 判断事件发生的可能性的大小 【典例1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）下列事件中，发生的概率最大的是（     ） A．朝霞不出门，晚霞行千里 B．种瓜得瓜，种豆得豆 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．大雁不过九月九，小燕不过三月三 【变式1】（25-26六年级下·上海·期末）下列情况中，摸球一次，摸到红球可能性最小的是（     ） A．8个白球，2个红球，3个绿球 B．3个红球，6个黄球，4个绿球 C．9个白球，3个黑球，1个红球 D．2个白球，4个红球，7个绿球 【变式2】（24-25六年级下·上海崇明·期末）一个盒子里有20个只有颜色不同的球，其中有12个白球、6个红球、2个绿球，从中任意摸出一个球，摸到______球的可能性最小． 【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 题型03 概率的意义理解 【典例1】（2026·内蒙古·中考真题）阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（   ） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【变式3】（25-26九年级上·四川广元·期末）将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是________． 题型04 根据概率公式计算概率 【典例1】（25-26七年级下·山西晋中·期末）2026年4月15日，山西五大文脉旅游线路发布，分别是：华夏之根，土木华章，晋魂春秋，雄关万里，表里山河．某自媒体创作者计划从这五条线路中随机选择一条进行实地探访，则他选中“华夏之根”线路的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）将分别标有“人”“文”“陕”“西”“大”“美”“三”“秦”汉字的八个小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外其余都相同，搅匀后从袋中随机摸出一球，摸到标有“秦”字小球的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 【变式3】（25-26七年级下·河南郑州·期末）某学校在开展“端阳有信•香囊藏香”的主题活动时，准备了25个颜色、外形、大小完全一致的香囊，其中有15个是菖蒲香囊，有10个是艾草香囊．若小丽从中随机抽取1个香囊，则抽到艾草香囊的概率为______． 题型05 已知概率求数量 【典例1】（25-26九年级下·浙江温州·期中）一个不透明的袋子里装有个红球和6个白球，这些球只有颜色不同，若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为．则的值是（     ） A．2 B．3 C．6 D．12 【变式1】（2026·河北沧州·三模）某中学为提升学生阅读兴趣，在图书馆设置“盲选好书”专区．专区内共有A，B两类书籍，其中A类是文学名著，B类是科普读物．学生随机抽取1本书，抽到A类书的概率为．已知专区内B类书有36本，则该专区内书籍的总数量为（     ） A．60本 B．54本 C．48本 D．30本 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的盒子中装有4个白球，m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则m＝_____． 【变式3】（2026·河南平顶山·一模）掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有“你”“我”“他”中的一个字），若向上一面出现“你”的概率为，出现“我”的概率为，则该木块六个面上的字分别是______． 题型06 几何概率 【典例1】（25-26七年级下·江西九江·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）某商场周年庆开展感恩回馈促销活动，顾客可凭消费小票参与幸运大转盘抽奖，现场设置了一个如图所示材质均匀的圆形转盘，转盘上划分出不同奖项区域．转盘停止后，顾客可领取指针所指区域对应的奖品（指针落在分割线时重新转动），那么顾客转动一次转盘获得三等奖的奖品的概率为________． 【变式3】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 题型07 列举法求概率 【典例1】（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南南阳·模拟预测）在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·宁夏银川·三模）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响、小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是_____． 【变式3】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）学校元旦联欢会设置盲盒抽奖游戏，盲盒内放有三枚纪念币，分别刻有数字5，15，25．参与者一次性抽取两枚纪念币，抽到的两枚纪念币数字之和为40的概率是_________． 题型08 列表法或树状图法求概率 【典例1】29．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， 【变式1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）中国航天事业取得了举世瞩目的成就，某校科技节选取了最新的四项航天任务：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人试验，供学生对其进行深入了解，将四项任务分别写在四张大小、质地相同的不透明卡片正面上，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，李明随机抽取一张后，张华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，两人均按照所抽取的卡片上的任务进行深入了解． (1)李明抽到的卡片是“A．天舟十号货运补给”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的概率． 李明　　　张华 A B C D A -- B -- C -- D -- 【变式2】（2026·吉林·中考真题）第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）“明天温州市最高气温为25℃”这一事件是（    ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件是必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C．在地球上，太阳东升西落 D．打开电视，正好在播放新闻 3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）兴趣小组利用计算器进行模拟试验，来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，下表是他们试验中获得的数据．通过该小组试验估计，“6个人中有2个人生肖相同”的概率约为（精确到0.01）（    ） 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “6人中有2个人生肖相同”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “6人中有2个人生肖相同”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 A．0.76 B．0.77 C．0.78 D．0.79 4．（25-26九年级上·山西晋城·月考）在利用正方体骰子进行频率估计概率的试验中，小悦同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（   ） A．朝上的点数是1的概率 B．朝上的点数是偶数的概率 C．朝上的点数小于5的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率 5．（25-26九年级上·山西长治·月考）在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为 ． 小刚小利 8．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）在相同条件下对新品小麦种子进行发芽试验．统计发芽种子数，获得的数据如下表： 试验种子总数 50 100 500 1000 2000 3000 发芽种子总数 47 96 475 951 1906 2853 发芽频率 0.940 0.960 0.950 0.951 0.953 0.951 根据上表数据，估计种植一粒该新品小麦种子，种子发芽的概率为 ．（结果精确到0.01） 9．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为 ． 10．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个不透明的盒子里装有黄色、白色两种颜色的乒乓球共40个，小辰通过多次试验发现，摸出黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中白色乒乓球有 个． 三、解答题 11．（25-26九年级上·四川达州·月考）甲、乙两人各自从（八台山景区）、（龙潭河）、（大面山）和（红军公园）这四个景点中随机选择一个景点参观游玩．假设两人选择到哪个景点参观游玩都不受任何因素影响，且上述四个景点被选到的可能性相同． (1)甲选择到红军公园参观游玩的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人选择到同一个景点参观游玩的概率． A B C D A B C D 12．（25-26九年级上·甘肃白银·月考）有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片． (1)从中任意取出1张卡片，图案为“哪吒”的概率为多少？ (2)取出第一张卡片不放回再取一张，两次取出的卡片图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为多少？ A B C D A B C D 13．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 14．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 15．（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图1，在计数器的十位上画了一颗珠子，个位上画了四颗珠子，则表示数“14”．如图2，在计数器的十位上画了一颗珠子． (1)如果在图2计数器上再画一颗珠子，则表示的数为11属于______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件； (2)如果在图2计数器上再画两颗珠子，用列表法或画树状图法求表示的数为奇数的概率． 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列四个随机事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一个质地均匀的骰子，朝上的点数是3 C．从52张扑克牌（无大小王）中随机抽一张，抽到红桃 D．从1~10这10个整数中随机抽一个，抽到数字6 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）下列事件是随机事件的是（   ） A．一个三角形中有两个内角是钝角 B．从只装有白球的袋子中，任意摸出一个球，是白球 C．五个人分成四组，这四组中有一组是两个人 D．在一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃6 3．（2026·江西抚州·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·三模）某校准备从《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》三首歌曲中随机选择两首进行排练，参加即将举办的“建班制合唱”选拔赛，那么恰好选中前面两首歌曲的概率是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·上海虹口·期末）如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）把三角板切去一个角，使它成为四边形，这件事是________事件(填“确定”或“随机”)． 7．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）一个不透明的袋子中有个红球，个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是_________． 8．（25-26七年级下·山东威海·期末）在一个不透明袋子中装有3个红球和2个蓝球，它们除颜色外其它都相同．要使摸到红球的概率为，则需再向袋子中加入_____个红球． 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在的棋盘内已有四个棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一个棋子），如果有三个棋子在同一直线上，我们称之为“三连珠”．现随机放入一个棋子，出现“三连珠”的概率是________． 10．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是__________． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ (1)买一张彩票，中奖． (2)在10个同类产品中，有9个合格品、1个次品．从中一次性任意抽出2个进行检验，抽到的都是次品． (3)将花生油滴入水中，油会浮在水面上． 12．（25-26七年级下·江西抚州·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黄三种颜色的球，其中红球有4个，白球有7个，黄球有若干个，若从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是． (1)求盒子中黄球的个数； (2)求任意摸出一个球是黄球的概率； (3)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为？若能，请写出如何调整白球的数量；若不能，请说明理由． 13．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）为迎接陕西省第十八届运动会，渭南全城加速蝶变，天更蓝、路更畅、城更美．现有正面分别写有“最”“美”“渭”“南”的不透明卡片共20张，这些卡片除正面所写文字不同外，其余完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“渭”字的卡片有4张，写有“南”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有“南”字”的卡片为____________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)从这些卡片中随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“渭”字的卡片（与上述卡片相同），混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“渭”字卡片的概率为，求的值． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为激励学生向航天工作者学习，增强学生崇尚科学的意识，某校举办名为“弘扬航天精神·拥抱星辰大海”的艺术作品征集活动．某班级同学们上交的各类作品（每个人只交一件作品）数量如表所示． 作品类型 书法 摄影 绘画 创意手工制作 其他 数量（件） 10 12 16 6 6 请根据上表提供的信息，解答下列问题： (1)如果从这个班的所有作品中，随机选择一件作品进行点评，那么正好选中“创意手工制作”作品的概率是多少？ (2)如果准备在“书法”“摄影”和“绘画”这三种作品中随机选择一件，求正好选中“绘画”作品的概率是多少？ 15．（2026·四川巴中·中考真题）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图； (2)该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数； (3)学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $