1.3　二次函数的性质 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数的性质，围绕最值及增减性展开。通过回顾二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标及图象关系搭建知识支架，结合运动员投篮实际情境导入，衔接前后知识。 以观察图象、分析问题引导学生归纳性质，体现数学思维中的推理意识，铅球训练、足球飞行等实例强化模型意识与应用意识，助力学生提升探究能力，为教师提供结构化教学流程与分层练习资源。

1.3　二次函数的性质 课题 1.3　二次函数的性质 授课人 教 学 目 标 1.从具体函数的图象中认识二次函数的性质. 2.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断该函数在某一范围内的增减性. 教学 重点 二次函数的最大值、最小值及增减性的理解和求法. 教学 难点 二次函数的性质的应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. ①y=2(x-2)2+12;　　　　②y=2x2+8x. 2.画出上面两个二次函数的图象,并说说这两个图象之间的关系. 3.两个图象的最高(低)点相同吗?最高(低)点对应的函数值是多少? 师生活动:学生自主进行解答,教师做好指导和点评. 　　通过回顾二次函数的图象,为讲解新课做铺垫,引出二次函数的性质. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 运动员投篮后,篮球运动的路线是抛物线的一部分.怎样计算篮球达到最高点时的高度? 图1-3-3 　　通过实际问题,激发学生解答的欲望,让学生在合作中学习,共同解答问题,培养学生的探究能力和合作意识. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 二次函数的性质 如图1-3-4,观察二次函数y=2x2+4x-6的图象,思考下列问题: 图1-3-4 (1)当自变量增大时,函数的值将怎样变化?顶点是图象的最高点还是最低点? (2)函数的增大与减小与对称轴有关系吗?有什么关系? 如图1-3-5,观察另外三个函数的图象,并回答问题: 图1-3-5 活动 二: 探究 与 应用 (1)三个函数图象中,哪个函数图象有最高点,哪个函数图象有最低点? (2)上面四个函数有没有最大值或最小值?可由函数表达式中哪一个系数判定? 通过学生的回答,教师引导,总结出规律: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有以下性质: 条件 图象 增减性 最大(小)值 a>0 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 当x≤-时,y随x的增大而减小; 当x≥-时,y随x的增大而增大 当x=-时, y达到最小值:y=; 无最大值 a<0 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 当x≤-时,y随x的增大而增大; 当x≥-时,y随x的增大而减小 当x=-时, y达到最大值:y=; 无最小值 　　通过问题的设计和解答,让学生体会函数图象中的最高或者最低点与函数的最值的关系. 【应用举例】 例1　已知函数y=-x2-7x+. (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标,并画出函数的大致图象; (2)自变量x在什么范围内时,y随x的增大而增大?何时y随x的增大而减小?求出函数的最大值(或最小值),以及对应自变量的值. 解:(1)因为a=-,b=-7,c=, 所以-=-7,=32. 所以函数的顶点坐标是(-7,32),对称轴是直线x=-7. 由x=0,得y=,所以图象与y轴的交点是0,. 由y=0,得-x2-7x+=0,解得x1=-15,x2=1. 所以图象与x轴的交点是(-15,0),(1,0). 函数y=-x2-7x+的大致图象如图1-3-6. 图1-3-6 (2)由图可知,当x≤-7时,y随x的增大而增大;当x≥-7时,y随x的增大而减小.当x=-7时,函数y有最大值32. 师生活动:学生自主进行解答,教师巡视、指导、点评. 　　应用举例是对课堂学习的针对性练习. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　小明进行铅球训练时,教练员尝试用数学模型来研究铅球的运动情况,从而做出指导.如图1-3-7是小明在某次比赛前训练时,铅球的行进高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数图象,铅球的运动路线可以看作抛物线的一部分.铅球在距离地面米的点A处出手,在距离出手点A水平距离米的点C处即OB=米达到最高点,这次训练的成绩是20米. (1)求这次训练中铅球的运动路线的函数表达式; (2)求这次训练中,铅球距离地面的最大高度. 图1-3-7 解:(1)根据题意,得A0,,抛物线的对称轴为直线x=,铅球落地点的坐标为(20,0). 设铅球的运动路线的函数表达式为y=ax-2+k(a≠0). 把0,,(20,0)代入,得解得 所以铅球的运动路线的函数表达式为y=-x-2+(x>0). (2)因为y=-x-2+,-<0, 所以二次函数的图象开口向下,所以当x=时,y取得最大值,最大值为,所以铅球距离地面的最大高度为米. 　　拓展提升是对基础知识的提高和应用,培养学生的实际应用能力,提升思维能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.函数y=-x2+4x-1的最大值是 (　C　) A.2　　　　　　B.0　　　　　　C.3　　　　　　D.5 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x和y的部分对应值如下表,下列关于该二次函数的说法错误的是 (　C　) x … -3 -2 -1 0 1 … y … -3 -2 -3 -11 … A.图象的对称轴是直线x=-2　 B.图象的开口向下 C.当x=-4时,y=-11　 　　 D.当x≥-2时,y随x的增大而减小 3.已知二次函数y=a(x-1)2+2(a≠0),当x≤1时,y随x的增大而减小,写出一个符合条件的a的值:　1(答案不唯一)　.  4.抛物线y=-2(x-3)2+k上三点分别为A(-1,y1),B(3,y2),C(5,y3),则y1,y2,y3的大小关系为　y2>y3>y1　(用“>”连接).  5.足球训练时,球从点A处被踢起飞向点B,其飞行路线是一条抛物线,若不考虑空气阻力,球的飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间满足函数关系h=-t2+6t,其函数图象如图1-3-8所示. 活动 三: 课堂 总结 反思 (1)足球在飞行过程中的最大高度是多少米?球从飞出到落地要用多少秒? (2)当足球飞行多少秒时足球的高度为4.5米? 图1-3-8 解:(1)因为h=-t2+6t=-(t-2)2+6, 所以足球在飞行过程中的最大高度是6米. 令h=0,则-t2+6t=0,解得t1=0(舍去),t2=4, 所以球从飞出到落地要用4-0=4(秒). (2)令h=4.5,则-t2+6t=4.5,解得t1=1,t2=3. 答:当足球飞行1秒或3秒时足球的高度为4.5米. 学生完成达标测评,教师进行批阅、点评、讲解. 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 【课堂小结】 1.课堂总结: 你在本节课中有哪些收获?有哪些进步?还有哪些困惑?请谈一谈. 2.布置作业: 教材第25页作业题T1-T6. 　　课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境和探究新知环节中,利用实际问题激发学生的求知欲,渗透转化思想,把知识回归生活,又从生活中走出来,使学生乐学、好学.探究过程层层设疑、由易到难,符合学生的认知水平和认知规律,引导学生不断思考、积极探索. ②[讲授效果反思] 教师提醒学生注意:(1)判断二次函数的最值,先判断函数中a的正负;(2)求最值问题可选用公式法或将函数表达式由一般式化为顶点式. ③[师生互动反思]  　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $