1.3 二次函数应性质 讲义 2026—2027学年浙教版 数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数性质，从基础性质（开口方向、对称轴、最值、增减性）出发，逐步延伸至函数值比较、范围求解、最值、参量、恒成立、几何应用等综合问题，构建从基础到复杂的学习支架。 资料精选中考真题与模拟题，通过函数值比较中对称轴距离分析、新定义问题“明德启智函数”等实例，培养学生推理能力与应用意识，助力课中分层教学，课后学生可通过练习强化知识，查漏补缺。

1.3二次函数性质 【类型1基础性质应用】 【例题1】（2026春•长安区校级月考）对于二次函数y＝2x2+1，下列说法中不正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线x＝1 D．当x＜0时y随x的增大而减小 【变式1】（2026•蓬江区校级二模）如图，根据二次函数y＝x2+x﹣6的图象，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．A，B两点之间的距离为6 D．抛物线的顶点坐标为 【变式2】（2026•临潼区模拟）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 0 1 3 … y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线x＝1 C．当x＞2时，函数值y随x的增大而减小 D．函数的最小值等于 【类型2 函数值大小比较】 【例题1】（2026春•拱墅区期末）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k（k为常数），若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在该函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1 【例题2】（2026•中山市校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，则m的取值范围可以是（　　） A．m＜1 B． C．0＜m D．1＜m 【变式1】（2026•山阳县二模）已知抛物线y＝ax2+2ax+c（a＞0）过点A（2﹣m，y1），B（m﹣6，y2），C（﹣1，y3），若点A在对称轴右侧，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【类型3函数值范围求解】 【例题1】（2026•江油市二模）已知y关于x的二次函数解析式y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（　　） A．﹣3＜y＜0 B．﹣3≤y＜0 C．﹣4＜y＜0 D．﹣4≤y＜0 【例题2】（2026春•海淀区校级期末）已知二次函数y＝x2+4x﹣5． （1）将y＝x2+4x﹣5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当﹣3＜x＜0时，结合图象，直接写出y的取值范围． 【变式1】（2026春•兴隆台区校级期末）对于二次函数y＝﹣2x2+5，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是　 　 ． 【变式2】（2025秋•南关区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　 ． （2）在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； （3）认真观察图象，回答下列问题： ①当1＜x＜4时，y的取值范围是　 　 ； ②当函数y＞0时，x的取值范围是　 　 ； ③已知点A（﹣1，y1），，C（4，y3）都在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　 （用“＜”连接）． 【类型4最值求解】 【例题1】（2026•阳谷县校级模拟）若二次函数y＝﹣x2﹣2x+c有最大值7，则c的值为　 　 ． 【例题2】（2026•丹徒区二模）已知二次函数y＝x2+x+3，当﹣2≤x≤n（n为常数）时，二次函数y＝x2+x+3的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为　 　 ． 【例题3】（2026•云浮二模）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 【变式1】（2026•临渭区模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数），当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为（　　） A．9 B．4 C．1 D．﹣3 【变式2】（2026春•贾汪区期末）若实数a，b满足a2+b2＝3+ab，则ab的最小值是　 　 ，令S＝（4a﹣6b）2+（2a+4b）（2a﹣4b），则S的取值范围是　 　 ． 【变式3】（2026•肥城市三模）已知抛物线C：y＝x2﹣2ax+3﹣a2和直线l：y＝2x﹣1． （1）若抛物线C的顶点恰好在直线l上，求a的值； （2）在（1）的条件下，若a＞0，点（x0，y0）是C上一点，且1＜x0＜3，求证：|2x0﹣y0﹣1|≤1； （3）若当1≤x≤3时，y＝x2﹣2ax+3﹣a2的最小值为4，求a的值． 【类型5参量求解】 【例题1】（2026•鼓楼区校级模拟）已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．2 【例题2】（2026•钱塘区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点M（1，m）．当y＞﹣2时，x的取值范围是x＜t+1或x＞﹣5﹣t，则m的值可能是（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2026•府谷县三模）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣m（m为常数），当x＜2时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2026春•淄博月考）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0），经过点M（m，2）．当y＞﹣1时，x的取值范围为x＜t﹣1或x＞﹣3﹣t．则m的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【类型6恒成立问题】 【例题1】（2026•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x1＞x2＞0时，始终有y1＜y2，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0 B．方程ax2﹣bx+2＝0没有实数根 C．该函数图象的顶点位于第三象限 D．该函数的最大值不小于5 【变式1】（2025秋•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2acx+ac2+c（a≠0）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含c的式子表示）； （2）M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两点，若对于c≤x1＜6﹣2c，x2＝﹣c+1，都有y1＞y2．求c的取值范围． 【变式2】（2026•徐州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0）． （1）当a＝1，b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知点A（t﹣1，y1），B（t+2，y2）和C（2t﹣1，k）都在抛物线上，如果对于2at+b＝0，y1＜3＜k，都有y1＞y2，求t的取值范围． 【类型7几何应用】 【例题1】（2025秋•门头沟区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过两个不同的点（0，a）和（2a，a）． （1）求b（用含a的代数式表示）； （2）过点P（a，0）作x轴的垂线交抛物线于点N， ①若a＝2，求PN的长； ②若PN的长随OP长的增大而增大，求a的取值范围． 【变式1】（2026•东平县二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过点（2，﹣2）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若a＝1，当﹣3≤x≤2t+2时，y的最大值为22，求t的值； （3）过点P（m，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax﹣2于点N．当线段MN随着m的增大而减小时，求m的取值范围． 【类型8新定义问题】 【例题1】（2026•菏泽一模）定义运算：a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），例如4⊗3＝（4+2×3）（4﹣3），则函数y＝（1﹣x）⊗2的最小值为　 　 ． 【变式1】（2026春•南海区校级期中）对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示这三个数中的最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如： M{﹣1，2，3}，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}，min{﹣1，2，a}． （1）请填空：min{﹣1，3，0}＝　 　 ；若x＜0，则max{2，x2+2，x+1}＝　 　 ． （2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，求x的取值范围； （3）若max{12﹣x，2x﹣6，6}≥M{﹣2x2﹣x﹣5，12，2x2+7x﹣7}，求满足条件的x的取值范围． 【类型9综合应用】 【例题1】（2026•庆云县校级三模）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx﹣3b． （1）当函数图象经过点（2，5）时； ①求该二次函数的表达式； ②若将平面内一点A（p，q）向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数y＝﹣x2+2bx﹣3b的图象上，求p的值． （2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，且x1+x2＝3．求证：． 【变式1】（2025秋•钱塘区期末）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3（a≠0）． （1）若该抛物线经过点（1，0），求抛物线的顶点坐标． （2）若a＜0，点A（﹣3，y1），B（m，y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围． （3）若点P（x1，p），Q（1，q），M（x0，y0）均在该抛物线上，且对于任意x0，y0≤p始终成立，求证：pq≤12． 【变式2】（2026•罗平县模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣27x+c（c常数）的图象经过坐标原点． （1）求c的值； （2）若点（a，b）与（b，a）在二次函数y＝x2﹣27x+c（c常数）的图象上，设T＝a2+b2，求T的值． 课后小练习 1．（2026•金凤区校级三模）二次函数y＝a（x﹣1）2+h（a、h为常数，a≠0）的部分x与y的对应值如表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 ﹣5 ﹣20 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（　　） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为x＝1 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而减小 D．当x＝﹣1时，y＜0 2．（2026•榆林模拟）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的坐标如下表所示，下列说法错误的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … m ﹣4 m ﹣8 ﹣13 … A．对称轴是直线x＝﹣2 B．抛物线开口向下 C．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大 D．当x＝﹣4时，y＝﹣13 3．（2026•阳谷县校级模拟）二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（　　） A．1＜y＜4 B．1＜y＜5 C．4≤y≤5 D．1＜y≤5 4．（2026春•拱墅区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象经过点（3，n），当x≤2时，y≥n+1；当x＞2时，y≥n，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 5．（2026•苏州校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a≠0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（　　） A．4或﹣4 B．3或﹣3 C．2或﹣2 D．1或﹣1 6．（2026•汉中模拟）已知二次函数y＝x2﹣（2n﹣2）x+n2﹣2n（n为常数），当n≤x≤3时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为（　　） A．0或8 B．﹣8 C．0 D．8 7．（2026•大荔县校级四模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+4（m为常数，且m＞0），当﹣1≤x≤3时，y的最大值为5，则m的值为（　　） A．1 B．1或 C． D．1或 8．（2026•雁塔区校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）经过A（n﹣1，y1），B（3n+4，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的左，右两侧，且y1＜y2，则n的值可能是（　　） A．﹣3 B． C．1 D． 9．（2026•紫金县校级二模）已知二次函数满足条件： ①图象过原点； ②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大． 请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：　 　 ． 10．（2026•靖江市二模）已知二次函数y＝a（x﹣5+a）2+2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的值可以是　 　 ．（写出一个即可） 11．（2026•禅城区二模）二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1中，当1≤x≤5时y有最小值3，则实数m的值为　 　 ． 12．（2026•市中区校级自主招生）函数S＝2x2﹣xy+y2+2x+3y的最小值为　 　 ． 13．（2026•蚌埠一模）已知两个非负实数x，y满足y＝3﹣2 x＝z﹣3 x， （1）z的取值范围是　 　 ； （2）若M＝x2+2y2+z2，则M的最大值为　 　 ． 14．（2026春•庐阳区校级期中）对于三个实数a、b、c，定义max{a，b，c}为a、b、c中最大的数，例如：max{1，2，﹣1}＝2，max{2，1，1}＝2，请回答以下问题： （1）max{a2+2a+2，4a2﹣a+3，1}＝　 　 ； （2）若a2﹣4a+13＜max{a2，a2+1，9}，则a的取值范围是　 　 ． 15．（2026•蒙城县一模）设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为（a，b），（c，d），若a+c＝b+d，且二次项系数同号，则称y1是y2的“和等顶二次函数”． （1）请写出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的一个“和等顶二次函数”　 　 ； （2）已知关于x的二次函数和二次函数（n＞0），若函数y1恰是y2的“和等顶二次函数”，则n的值为　 　 ． 16．（2026•淮北模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1，其中m为实数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）当m﹣1≤x≤m+2时，求函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1的最大值． （3）若该二次函数图象的顶点在直线y＝2x上，当﹣2≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 17．（2026•杭州二模）已知二次函数（b为常数）的图象经过点（8，﹣6）． （1）求二次函数的表达式； （2）作点A（0，t）关于直线x＝t对称的点B，若点B恰好落在的图象上，求t的值； （3）当m≤x≤2﹣m时，二次函数的最大值与最小值的和为k，求k的取值范围． 18．（2026•岱岳区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线经过点（4，10），求抛物线的对称轴； （2）已知点M（t﹣2，c），N（2，d），P（t+2，c）都在该抛物线上，且满足c＜d，求t的取值范围． 19．（2026•蚌山区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）． （1）若该抛物线的顶点位于直线y＝﹣4x上，抛物线的对称轴距y轴的距离小于3． ①求m的值； ②若﹣2≤x≤2，求y的取值范围． （2） 若点A（a，0），B（b，0），C（a+1，s），D（b+1，t）均在该二次函数的图象上，求st的最大值． 20．（2026•峄城区二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）． （1）求抛物线的对称轴； （2）若点A（x1，m），B（x2，b），C（﹣2，n）均在抛物线上，且对于任意x2，都有m≤b． ①求m的值（用含a的代数式表示）； ②求证：． 21．（2025秋•丽水期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a，b是常数，a＞0）． （1）若a＝1时． ①试判断点A（2，2b）是否在此二次函数的图象上？ ②已知点B（1，k），C（1+b，k）在二次函数y＝ax2+bx﹣4图象上，求k的值； （3） 已知对称轴为直线x＝t（1＜t＜3），若点M（﹣1，m）和N（2，n）在该抛物线上，满足m﹣n＝6，求a﹣b的取值范围． 22．（2026•思明区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a，b是常数，a＞0）． （1）若a＝1时，①试判断点A（﹣2，﹣2b）是否在此二次函数的图象上？ ②已知点B（2，k），C（2+b，k）在二次函数y＝ax2+bx﹣4图象上，求k的值； （2） 已知抛物线的对称轴为直线x＝t（2＜t＜4），若点M（﹣1，m）和N（3，n）在该抛物线上，满足m﹣n＝8，求a﹣b的取值范围． 23．（2026•萨尔图区二模）“明德启智”以明德立品，以启智赋能，彰显了当代教育德才兼备的育人追求．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“明德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“启智点”．把函数图象至少经过一个“明德点”和一个“启智点”的函数称为“明德启智函数”．下列说法正确的序号为　 　 ． ①已知函数y＝2x﹣1是一个“明德启智函数”，则该函数图象上的“明德点”为（1，1）； ②二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点是一个“明德点”，并且该函数图象还经过一个“启智点”P（3，m），则该二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1； ③二次函数y＝2（x﹣c）2+d（c，d为常数，c≠0）图象的顶点为点M，与y轴交于点N，若经过点M，N的直线l上存在无数个“明德点”，则该函数图象上的所有“启智点”为，（0，0），（）． 参考答案 【类型1基础性质应用】 【例题1】（2026春•长安区校级月考）对于二次函数y＝2x2+1，下列说法中不正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线x＝1 D．当x＜0时y随x的增大而减小 【解答】解：二次函数y＝2x2+1，a＝2＞0， ∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，1），有最小值1，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小； 故选项A、B、D说法正确，选项C说法错误， 故选：C． 【变式1】（2026•蓬江区校级二模）如图，根据二次函数y＝x2+x﹣6的图象，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．A，B两点之间的距离为6 D．抛物线的顶点坐标为 【解答】解：y＝x2+x﹣6， 对称轴直线为：x，故A错误； 由图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故B正确； 令y＝0， 0＝x2+x﹣6， 解得x1＝﹣3，x2＝2， ∴AB＝2﹣（﹣3）＝5， ∴A，B两点之间的距离为5，故C错误； 当x＝﹣时，y6，故D错误； 故选：B． 【变式2】（2026•临潼区模拟）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 0 1 3 … y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线x＝1 C．当x＞2时，函数值y随x的增大而减小 D．函数的最小值等于 【解答】解：x＝0，y＝﹣4，x＝3，y＝﹣4， ∴对称轴x，B错误； 代入，解得a＝1，b＝﹣3，c＝﹣4， y＝x2﹣3x﹣4， a＝1＞0，开口向上，A错误； 对称轴x，x时y随x增大而增大， ∴x＞2递增，C错误； 最小值：ymin，D正确， 故选：D． 【类型2 函数值大小比较】 【例题1】（2026春•拱墅区期末）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k（k为常数），若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在该函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1 【解答】解：由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k可知，对称轴为x＝1，开口向下， ∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象上， ∴A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（3，y1）， ∵1＜2＜3＜4， ∴y3＜y1＜y2，则y2＞y1＞y3． 故选：B． 【例题2】（2026•中山市校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，则m的取值范围可以是（　　） A．m＜1 B． C．0＜m D．1＜m 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上， ∵y1＞y3， ∴1，即1， 解得m， ∵y3＞y2， ∴1， 解得m＞0， ∴0＜m， 故选：C． 【变式1】（2026•山阳县二模）已知抛物线y＝ax2+2ax+c（a＞0）过点A（2﹣m，y1），B（m﹣6，y2），C（﹣1，y3），若点A在对称轴右侧，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∴点C（﹣1，y3）在对称轴上，为顶点，故y3最小， ∵点A（2﹣m，y1）在对称轴右侧， ∴2﹣m＞﹣1，即m＜3， ∴点B（m﹣6，y2）的横坐标m﹣6＜3﹣6＝﹣3，故在对称轴左侧， ∵点B离对称轴的距离为|m﹣6﹣（﹣1）|＝5﹣m， 点A离对称轴的距离为|2﹣m﹣（﹣1）|＝3﹣m， ∵5﹣m＞3﹣m， ∴点B离对称轴更远，故y2＞y1； 综上，y3＜y1＜y2； 故选：D． 【类型3函数值范围求解】 【例题1】（2026•江油市二模）已知y关于x的二次函数解析式y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（　　） A．﹣3＜y＜0 B．﹣3≤y＜0 C．﹣4＜y＜0 D．﹣4≤y＜0 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1， 当x＝1时，y＝﹣4， 当x＝﹣1时，y＝4﹣4＝0， 当x＝2时，y＝1﹣4＝﹣3， ∴当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是﹣4≤y＜0． 故选：D 【例题2】2026春•海淀区校级期末）已知二次函数y＝x2+4x﹣5． （1）将y＝x2+4x﹣5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当﹣3＜x＜0时，结合图象，直接写出y的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，∴将y＝x2+4x﹣5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x+2）2﹣9； （2）由（1）可得，该二次函数的顶点为（﹣2，﹣9）， 令y＝0，（x+2）2﹣9＝0， 解得：x＝1或x＝﹣5， 故该二次函数与x轴的交点为（1，0）和（﹣5，0）， 当x＝0时，y＝﹣5， 故该二次函数与y轴的交点为（0，﹣5）， 描点、画出函数图象如图所示： （3）由题意，结合（2）可得，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为：﹣9≤y＜﹣5． 【变式1】（2026春•兴隆台区校级期末）对于二次函数y＝﹣2x2+5，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是　 　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+5， ∴该函数图象开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＝0时，取得最大值5， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝0时，y＝5，当x＝1时，y＝3， ∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是﹣3＜y≤5， 故答案为：﹣3＜y≤5． 【变式2】（2025秋•南关区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　 ． （2）在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； （3）认真观察图象，回答下列问题： ①当1＜x＜4时，y的取值范围是　 　 ； ②当函数y＞0时，x的取值范围是　 　 ； ③已知点A（﹣1，y1），，C（4，y3）都在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　 （用“＜”连接）． 【解答】解：（1）配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k，则： y＝x2﹣4x+3 ＝（x2﹣4x+4）﹣1 ＝（x﹣2）2﹣1； 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1； （2）列表如下： x ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 3 0 ﹣1 0 3 ⋯ 画函数图象如下所示： ， （3）点A（﹣1，y1），，C（4，y3）都在此二次函数的图象上， ①由函数图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3； ②由函数图象可知，当y＞0时，x＜1或x＞3； ③由（1）可知抛物线的对称轴为直线x＝2， 由函数图象可知，函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点A（﹣1，y1），，C（4，y3）都在此二次函数的图象上，且， ∴y2＜y3＜y1． 故答案为：①﹣1≤y＜3；②x＜1或x＞3；③y2＜y3＜y1． 【类型4最值求解】 【例题1】（2026•阳谷县校级模拟）若二次函数y＝﹣x2﹣2x+c有最大值7，则c的值为　 　 ． 【解答】解：将二次函数解析式配方为顶点式可得y＝﹣（x2+2x）+c＝﹣（x+1）2+1+c， ∴二次函数开口向下， ∴二次函数的最大值为1+c， ∴1+c＝7， 解得c＝6． 故答案为：6． 【例题2】（2026•丹徒区二模）已知二次函数y＝x2+x+3，当﹣2≤x≤n（n为常数）时，二次函数y＝x2+x+3的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为　 　 ． 【解答】解：∵y＝x2+x+3＝（x）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x，顶点为（，）， ∴当x时，y， 当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2+3＝5， 当x＝n时，y＝n2+n+3， ①当n时，则﹣2≤x≤n在对称轴的左边， ∵二次函数y＝x2+x+3的图象开口向上， ∴当x＝﹣2时取得最大值，x＝n时取得最小值， ∴5﹣（n2+n+3）， 解得n1＝n2，不合题意，舍去； ②当n≤1时，则﹣2≤x≤n包含对称轴在内， ∴当x＝﹣2时取得最大值，x时取得最小值， ∴5，符合题意； ③当n＞1时，则﹣2≤x≤n在对称轴的右边， ∵二次函数y＝x2+x+3的图象开口向上， ∴当x＝n时取得最大值，x时取得最小值， ∴（n2+n+3）， 解得n1＝1或n2＝﹣2，不合题意，舍去； 综上所述，n的取值范围为n≤1． 故答案为：n≤1． 【例题3】（2026•云浮二模）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 【解答】解：把（1，3）代入y＝x2+mx+n得3＝1+m+n， ∴n＝﹣m+2， ∴mn+1 ＝m（﹣m+2）+1 ＝﹣m2+2m+1 ＝﹣（m﹣1）2+2； 所以mn+1有最大值2， 故选：D． 【变式1】（2026•临渭区模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数），当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为（　　） A．9 B．4 C．1 D．﹣3 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+m+1＝﹣（x﹣1）2+m+2， ∴该函数的对称轴为直线x＝1，图象开口向下， ∵0≤x≤3， ∴当x＝1时，取得最大值，当x＝3时，取得最小值， ∴当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为[﹣（1﹣1）2+m+2]﹣[﹣（3﹣1）2+m+2]＝4， 故选：B． 【变式2】（2026春•贾汪区期末）若实数a，b满足a2+b2＝3+ab，则ab的最小值是　 　 ，令S＝（4a﹣6b）2+（2a+4b）（2a﹣4b），则S的取值范围是　 　 ． 【解答】解：∵已知a2+b2＝3+ab，根据完全平方公式a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取等号），可得： ∴3+ab≥2ab， ∴移项得3≥ab， 另外，当ab＜0时，a2+b2＝3+ab， ∵a2+b2≥﹣2ab（由a2+b2≥2|ab|＝﹣2ab，当ab＜0时）， ∴3+ab≥﹣2ab， 移项得3≥﹣3ab， 即ab≥﹣1， 综上，ab的最小值是﹣1， 化简S＝（4a﹣6b）2+（2a+4b）（2a﹣4b） ＝16a2﹣48ab+36b2+（4a2﹣16b2） ＝20a2﹣48ab+20b2 ＝20（a2+b2）﹣48ab， 由a2+b2＝3+ab，代入上式得： S＝20（3+ab）﹣48ab ＝60+20ab﹣48ab ＝60﹣28ab， ∵﹣1≤ab≤3， ∴当ab＝﹣1时，S＝60+28＝88， 当ab＝3时，S＝60﹣84＝﹣24， ∵S＝60﹣28ab中，﹣28＜0， ∴S随ab的增大而减小， ∴﹣24≤S≤88． 故答案为：﹣1，﹣24≤S≤88， 【变式3】（2026•肥城市三模）已知抛物线C：y＝x2﹣2ax+3﹣a2和直线l：y＝2x﹣1． （1）若抛物线C的顶点恰好在直线l上，求a的值； （2）在（1）的条件下，若a＞0，点（x0，y0）是C上一点，且1＜x0＜3，求证：|2x0﹣y0﹣1|≤1； （3）若当1≤x≤3时，y＝x2﹣2ax+3﹣a2的最小值为4，求a的值． 【解答】（1）解：∵y＝x2﹣2ax+3﹣a2＝（x﹣a）2+3﹣2a2， ∴顶点坐标（a，3﹣2a2）， ∵抛物线的顶点恰好在直线 y＝2x﹣1上， ∴3﹣2a2＝2a﹣1，解得：a1＝1，a2＝﹣2； （2）证明：由题意，当a＞0时，y＝x2﹣2x+2，点（x0，y0）是抛物线上一点， ∴， ∵由， ∴，． ∴可设直线与抛物线的交点为A（1，1）和B（3，5）， 当1＜x0＜3时，P（x0，y0）在线段AB的下方， ∴y0＜2x0﹣1， ∴|2x0﹣y0﹣1|＝2x0﹣y0﹣14x0﹣3＝﹣（x0﹣2）2+1≤1． （3）解：∵y＝x2﹣2ax+3﹣a2＝（x﹣a）2+3﹣2a2， 第①种情况：当a≥3时，当x＝3时，y有最小值＝4， ∴9﹣6a+3﹣a2＝4， 解得：，， ∵a＞3， ∴，不符合题意舍去： 第②种情况：当1＜a＜3时，函数在顶点处取得最小值4， ∴3﹣2a2＝4，即2a2+1＝0，该方程无实根； 第③种情况：当a≤1时，当x＝1时，y有最小值＝4， ∴1﹣2a+3﹣a2＝4，a1＝﹣2，a2＝0． 综合①②③， ∴a1＝﹣2，a2＝0． 【类型5参量求解】 【例题1】（2026•鼓楼区校级模拟）已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．2 【解答】解：由题意，∵抛物线过点A（m，n）、B（m+1，n）， ∴抛物线的对称轴是直线x． 又a＝1＞0， ∴抛物线的开口向上． ∴当x时，y随x的增大而减小． 又当x≤2时，y随x的增大而减小， ∴2． ∴m． 故选：D． 【例题2】（2026•钱塘区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点M（1，m）．当y＞﹣2时，x的取值范围是x＜t+1或x＞﹣5﹣t，则m的值可能是（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 【解答】解：当y＞﹣2时，x的取值范围是x＜t+1或x＞﹣5﹣t， ∴抛物线开口向上，（t+1，﹣2），（﹣5﹣t，﹣2）为抛物线上的点， ∴抛物线对称轴为直线x2， ∴2， ∴b＝4a， ∴y＝ax2+4ax+1＝a（x+2）2﹣4a+1， ∴﹣4a+1＜﹣2， ∴a， 将M（1，m）代入解析式得5a+1＝m， ∴a， ∵a， ∴， ∴m， 故选：D． 【变式1】（2026•府谷县三模）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣m（m为常数），当x＜2时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：由抛物线解析式a＝1＞0可知抛物线开口向上， 由对称轴公式得抛物线对称轴为， ∵当x＜m时，y随x的增大而减小，又当x＜2时，y随x的增大而减小， ∴m≥2＞0，即顶点的横坐标为正， ， ∵m≥2， ∴m2+m＞0， ∴，即顶点纵坐标为负， ∴顶点在第四象限． 故选：D． 【变式2】（2026春•淄博月考）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0），经过点M（m，2）．当y＞﹣1时，x的取值范围为x＜t﹣1或x＞﹣3﹣t．则m的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由题知， 因为当y＞﹣1时，x的取值范围为x＜t﹣1或x＞﹣3﹣t， 所以点（t﹣1，﹣1）和（﹣3﹣t，﹣1）在该抛物线上且a＞0， 则抛物线的对称轴为直线x， 所以， 则b＝4a， 所以二次函数解析式为y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a． 又因为a＞0， 则抛物线的顶点不在直线y＝﹣1的上方， 所以﹣4a≤﹣1， 解得a． 将点M坐标代入函数解析式得， am2+4am＝2， 则a， 即0＜m2+4m≤8， 解得或0＜m， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 【类型6恒成立问题】 【例题1】（2026•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x1＞x2＞0时，始终有y1＜y2，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0 B．方程ax2﹣bx+2＝0没有实数根 C．该函数图象的顶点位于第三象限 D．该函数的最大值不小于5 【解答】解：二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的对称轴为直线：x， ∵二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x1＞x2＞0时，始终有y1＜y2， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，0， ∴a＜0，b≥0，故选项A错误； ∴（﹣b）2﹣8a＝b2﹣8a＞0， ∴方程ax2﹣bx+2＝0有两个不相等的实数根，故选项B错误； ∴50， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或y的正半轴上，故选项C错误； ∵x＝0时，y＝ax2﹣bx+5＝5，且开口向下， ∴该函数的最大值不小于5，故选项D正确． 故选：D． 【变式1】（2025秋•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2acx+ac2+c（a≠0）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含c的式子表示）； （2）M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两点，若对于c≤x1＜6﹣2c，x2＝﹣c+1，都有y1＞y2．求c的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2acx+ac2+c＝a（x2﹣2cx+c2）+c＝a（x﹣c）2+c， ∴顶点坐标为（c，c）； （2）∵y＝ax2﹣2acx+ac2+c＝a（x2﹣2cx+c2）+c＝a（x﹣c）2+c， ∴对称轴为x＝c， ∵c≤x1＜6﹣2c， ∴x1要么在对称轴为直线x＝c上，要么在对称轴的右侧，且6﹣2c＞c， ∴c＜2， 设（x2，y2）关于对称轴为直线x＝c的对称点为（x3，y2）， ∴x3﹣c＝c﹣x2， ∴x3＝2c﹣x2＝2c﹣（﹣c+1）＝3c﹣1， ∴当x＝3c﹣1时，其函数值与x2＝﹣c+1时相同， 当a＜0时，函数图象开口向下，当x＞c时，y随x的增大而减小， 当x2＝﹣c+1在对称轴左侧，那么x＝3c﹣1在对称轴右侧， ∴﹣c+1＜3c﹣1， ∴， ∵c≤x1＜6﹣2c， ∴x1要么在对称轴为直线x＝c上，要么在对称轴的右侧， ∵y1＞y2， ∴6﹣2c≤3c﹣1， ∴， 故； 当x2＝﹣c+1在对称轴右侧，那么x＝3c﹣1在对称轴左侧， 同理，可得， 解得，矛盾， 当a＞0时，函数图象开口向上，当x＞c时，y随x的增大而增大， ∵c≤x1＜6﹣2c， ∴当x1＝c时，y1取得最小值c， ∵对于 c≤x1＜6﹣2c，x2＝﹣c+1，都有 y1＞y2， ∴c＞a（﹣c+1﹣c）2+c， ∴a（1﹣2c）2＜0， ∵a＞0，（1﹣2c）2≥0， ∴矛盾； ∴当a＞0时不符合题意； 综上，． 【变式2】（2026•徐州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0）． （1）当a＝1，b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知点A（t﹣1，y1），B（t+2，y2）和C（2t﹣1，k）都在抛物线上，如果对于2at+b＝0，y1＜3＜k，都有y1＞y2，求t的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝1，b＝2时，抛物线为y＝x2+2x+3， ∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）； （2）∵2at+b＝0， ∴b＝﹣2at， ∴抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0）的对称轴为直线xt， ∴点A（t﹣1，y1）到对称轴的距离小于B（t+2，y2）到对称轴的距离， ∵y1＞y2， ∴抛物线开口向下，a＜0， ∵点A（t﹣1，y1），B（t+2，y2）和C（2t﹣1，k）都在抛物线上，抛物线y＝ax2﹣2atx+3， ∴y1＝a（t﹣1）2﹣2at（t﹣1）+3＝﹣at2+a+3，k＝a（2t﹣1）2﹣2at（2t﹣1）+3＝﹣2at+a+3， ∵y1＜3＜k， ∴﹣at2+a+3＜3，﹣2at+a+3＞3， ∵a＜0， ∴t2﹣1＜0，2t﹣1＞0， 解得t＜1． 【类型7几何应用】 【例题1】（2025秋•门头沟区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过两个不同的点（0，a）和（2a，a）． （1）求b（用含a的代数式表示）； （2）过点P（a，0）作x轴的垂线交抛物线于点N， ①若a＝2，求PN的长； ②若PN的长随OP长的增大而增大，求a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得， 由①得c＝a， 把c＝a代入②得a＝4a2+2ab+a， ∴4a2+2ab＝0， 即2a（2a+b）＝0， ∵点（0，a）和（2a，a）是不同的点， ∴a≠0， ∴2a+b＝0， ∴b＝﹣2a； （2）①当a＝2时，b＝﹣2×2＝﹣4，点P（2，0）， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2， 由条件可得y＝4﹣8+2＝﹣2， ∴点N（2，﹣2）， ∴PN＝0﹣（﹣2）＝2； ②由条件可知抛物线的解析式为y＝x2﹣2ax+a， 把x＝a代入y＝x2﹣2ax+a，得y＝a2﹣2a2+a＝﹣a2+a， ∴N（a，﹣a2+a）， ∴PN＝|0﹣（﹣a2+a）|＝|a2﹣a|， 设w＝|a2﹣a|，则函数图象的对称轴为直线， 画出函数图象如下： 当a＜0或时，w随OP长的增大而增大， ∴a的取值范围为a＜0或或a≥1． 【变式1】（2026•东平县二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过点（2，﹣2）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若a＝1，当﹣3≤x≤2t+2时，y的最大值为22，求t的值； （3）过点P（m，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax﹣2于点N．当线段MN随着m的增大而减小时，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由条件可得4a+2b﹣2＝﹣2， ∴b＝﹣2a， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）当a＝1时，由（1）可知b＝﹣2a，则b＝﹣2×1＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x﹣2， ∴y＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3， ∵a＝1＞0， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1， 当2t+2≤1，即时，在﹣3≤x≤2t+2上，y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣3时，y取最大值，（舍去）， ∴最大值必在x＝2t+2时取得， 当2t+2＞1，即时，令x＝2t+2时y＝22， 即（2t+2﹣1）2﹣3＝22，解得t＝2，t＝﹣3（舍去）， 综上可知t＝2； （3）由题意知MN＝|（am2﹣2am﹣2）﹣（am﹣2）|＝|am2﹣3am|， 当am2﹣3am＞0，即m2﹣3m＞0， 此时m＜0或m＞3， ， ∵a＞0，对称轴为， ∴当时MN随m的增大而减小， 又∵m＜0或m＞3， ∴m＜0， 当am2﹣3am≤0，即m2﹣3m≤0，此时0≤m＜3， ， ∵﹣a＜0，对称轴为， ∴当时MN随m的增大而减小， 又∵0≤m＜3， ∴． 综上可知，m＜0或时，MN随m的增大而减小． 【类型8新定义问题】 【例题1】（2026•菏泽一模）定义运算：a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），例如4⊗3＝（4+2×3）（4﹣3），则函数y＝（1﹣x）⊗2的最小值为　 　 ． 【解答】解：∵a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），函数y＝（1﹣x）⊗2， ∴y＝（1﹣x）⊗2 ＝[（1﹣x）+2×2][（1﹣x）﹣2] ＝（5﹣x）（﹣x﹣1） ＝x2﹣4x﹣5 ＝（x﹣2）2﹣9， ∵二次项系数1＞0，抛物线开口向上， ∴当x＝2时，函数y＝（1﹣x）⊗2取得最小值，最小值为﹣9． 故答案为：﹣9． 【变式1】（2026春•南海区校级期中）对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示这三个数中的最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如： M{﹣1，2，3}，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}，min{﹣1，2，a}． （1）请填空：min{﹣1，3，0}＝　 　 ；若x＜0，则max{2，x2+2，x+1}＝　 　 ． （2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，求x的取值范围； （3）若max{12﹣x，2x﹣6，6}≥M{﹣2x2﹣x﹣5，12，2x2+7x﹣7}，求满足条件的x的取值范围． 【解答】解：（1）∵﹣1＜0＜3， ∴﹣1，0，3中，最小的数是﹣1， ∴min{﹣1，3，0}＝﹣1， ∴x2+2＞2，x+1＜1， ∴x2+2＞2＞x+1， ∴2，x2+2，x+1中，最大的数是x2+2， ∴max{2，x2+2，x+1}＝x2+2； 故答案为：﹣1，x2+2； （2）∵M{x﹣1，5﹣4x，3x+2} ＝2， 又∵min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}， ∴， 解得0≤x≤1； （3）∵M{﹣2x2﹣x﹣5，12，2x2+7x﹣7} ＝2x， ∴max{12﹣x，2x﹣6，6}≥2x， 当12﹣x，2x﹣6，6中12﹣x最大时，则，解得x≤6， ∴12﹣x≥2x， ∴x≤4，符合题意； 当12﹣x，2x﹣6，6中2x﹣6最大时，则，解得x≥6， ∴2x﹣6≥2x，不等式不成立，舍去； 当12﹣x，2x﹣6，6中6最大时，则，解得x＝6， ∴6≥2x， ∴x≤3（矛盾，舍去）； 综上，x的取值范围为x≤4． 【类型9综合应用】 【例题1】（2026•庆云县校级三模）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx﹣3b． （1）当函数图象经过点（2，5）时； ①求该二次函数的表达式； ②若将平面内一点A（p，q）向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数y＝﹣x2+2bx﹣3b的图象上，求p的值． （2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，且x1+x2＝3．求证：． 【解答】（1）解：①由条件可知﹣22+2×2b﹣3b＝5， 解得：b＝9， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+18x﹣27． ②∵A（p，q）， ∴点A（p，q）向右平移3个单位的坐标为（p+3，q），向左平移2个单位的坐标为（p﹣2，q）， ∵点A（p，q）向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数y＝﹣x2+18x﹣27的图象上， ∴﹣（p+3）2+18（p+3）﹣27＝﹣（p﹣2）2+18（p﹣2）﹣27＝q， 解得：． （2）证明：∵x1+x2＝3， ∴x2＝3﹣x1， 由条件可得， ， ∴y1+y2 ， ∵， ∴． 【变式1】（2025秋•钱塘区期末）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3（a≠0）． （1）若该抛物线经过点（1，0），求抛物线的顶点坐标． （2）若a＜0，点A（﹣3，y1），B（m，y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围． （3）若点P（x1，p），Q（1，q），M（x0，y0）均在该抛物线上，且对于任意x0，y0≤p始终成立，求证：pq≤12． 【解答】（1）解：由题意，∵y＝ax2+2ax﹣3（a≠0）过点（1，0）， ∴a+2a﹣3＝0． ∴a＝1． ∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4． ∴顶点为（﹣1，﹣4）； （2）解：由题意，∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小． 由题意得，对称轴是直线x1， ∵点A（﹣3，y1），B（m，y2）在该抛物线上，且y1＜y2， ∴|﹣3+1|＞|m+1|． ∴﹣3＜m＜1； （3）证明：由题意，∵P（x1，p），M（x0，y0）均在该抛物线上，任意x0，y0≤p始终成立， ∴当x＝x1时，函数取最大值为p． ∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴当x＝x1＝﹣1时，p＝﹣a﹣3为最大值． 又∵当x＝1时，y＝q＝3a﹣3， ∴pq＝（3a﹣3）（﹣a﹣3）＝﹣3a2﹣9a+3a+9 ＝﹣3a2﹣6a+9 ＝﹣3（a+1）2+12≤12． ∴pq≤12 【变式2】（2026•罗平县模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣27x+c（c常数）的图象经过坐标原点． （1）求c的值； （2）若点（a，b）与（b，a）在二次函数y＝x2﹣27x+c（c常数）的图象上，设T＝a2+b2，求T的值． 【解答】解：（1）由条件可知02﹣27×0+c＝0， 解得：c＝0； （2）由（1）可知二次函数的解析式为y＝x2﹣27x， ∵点（a，b）与（b，a）在二次函数y＝x2﹣27x， 可得：， ①﹣②可得：a2﹣b2+27（b﹣a）＝b﹣a， 整理可得：（a﹣b）[（a+b）﹣26]＝0， ∴a﹣b＝0或a+b＝26， ①+②可得：a2+b2﹣27（a+b）＝a+b， 整理得：a2+b2＝28（a+b）， 当a﹣b＝0时， 可得：a＝b， ∴二次函数的图象过点（a，a）， 可得：a2﹣27a＝a， 解得：a＝b＝28或a＝b＝0， 当a＝b＝0时， 可得：T＝a2+b2＝0+0＝0； 当a＝b＝28时， 可得：T＝a2+b2＝2×282＝1568； 当a+b＝26时， 可得：T＝a2+b2＝28（a+b）＝28×26＝728； 综上所述，T＝0或1568或728． 课后小练习 1．（2026•金凤区校级三模）二次函数y＝a（x﹣1）2+h（a、h为常数，a≠0）的部分x与y的对应值如表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 ﹣5 ﹣20 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（　　） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为x＝1 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而减小 D．当x＝﹣1时，y＜0 【解答】解：由题知， 将点（1，7）和（2，4）代入y＝a（x﹣1）2+h得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+7， 所以二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1， 故AB选项不符合题意； 当x＜1时，y随x的增大而增大；当1＜x＜2时，y随x的增大而减小， 所以C选项符合题意； 当x＝﹣1时，y＝﹣5＜0， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 2．（2026•榆林模拟）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的坐标如下表所示，下列说法错误的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … m ﹣4 m ﹣8 ﹣13 … A．对称轴是直线x＝﹣2 B．抛物线开口向下 C．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大 D．当x＝﹣4时，y＝﹣13 【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线 ，故A选项正确，不符合题意； ∵x＝﹣2时，y＝﹣4，x＝0时，y＝﹣8， ∴抛物线的开口向下， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，即x＜﹣2时，y随x的增大而增大， ∴B，C选项正确，不符合题意； ∵1﹣（﹣2）＝3，﹣2﹣3＝﹣5， ∴当x＝﹣5和x＝1时，函数值相等， 即x＝﹣5时，y＝﹣13， ∴D选项错误，符合题意． 故选：D． 3．（2026•阳谷县校级模拟）二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（　　） A．1＜y＜4 B．1＜y＜5 C．4≤y≤5 D．1＜y≤5 【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴二次函数的对称轴为直线x＝1， ∴﹣1＜x＜2时，x＝1取得最大值为5， x＝﹣1时取得最小值为﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+4＝1， ∴y的取值范围是1＜y≤5． 故选：D． 4．（2026春•拱墅区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象经过点（3，n），当x≤2时，y≥n+1；当x＞2时，y≥n，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【解答】解：∵当x≤2时，y≥n+1；当x＞2时，y≥n， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）开口向上， ∴a＞0， ①如图1，若对称轴在直线x＝2左侧时，即2， ∵当x≤2时，y≥n+1；当x＞2时，y≥n， ∴当x时，y取最小值n+1， ∵n+1＞n， ∴此时不符合题意； ②如图2，若对称轴在直线x＝2右侧时， ∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝n+1，当x，y取最小值n， ∵函数图象经过点（3，n）， ∴n＝9a+3b+c，3， ∴4a+2b+c﹣1＝9a+3b+c，即5a+b＝﹣1，b＝﹣6a， ∴5a﹣6a＝﹣1， 解得：a＝1， ∴a的值为1． 故选：B． 5．（2026•苏州校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a≠0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（　　） A．4或﹣4 B．3或﹣3 C．2或﹣2 D．1或﹣1 【解答】解：由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线x2， 则x＝4比x＝1距离对称轴远， 当a＞0时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在x＝4时取得最大值， 当x＝4时，y＝ax2﹣4ax+3＝16a﹣16a+3＝3， 当x＝2时，y＝ax2﹣4ax+3＝4a﹣8a+3＝﹣4a+3， 则3﹣（﹣4a+3）＝8， 解得a＝2， 当a＜0时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在x＝4时取得最小值， 当x＝4时，y＝ax2﹣4ax+3＝16a﹣16a+3＝3， 当x＝2时，y＝ax2﹣4ax+3＝4a﹣8a+3＝﹣4a+3， 则﹣4a+3﹣3＝8， 解得a＝﹣2， 综上所述，a＝2或a＝﹣2， 故选：C． 6．（2026•汉中模拟）已知二次函数y＝x2﹣（2n﹣2）x+n2﹣2n（n为常数），当n≤x≤3时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为（　　） A．0或8 B．﹣8 C．0 D．8 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（2n﹣2）x+n2﹣2n（n为常数）， ∴该函数的对称轴为直线xn﹣1，图象开口向上， ∵当n≤x≤3时，函数值y的最大值与最小值之和为15， ∴当x＝n时取得最小值，当x＝3时取得最大值， ∴[32﹣（2n﹣2）×3+n2﹣2n]﹣[n2﹣（2n﹣2）n+n2﹣2n]＝15， 解得n＝0或8， ∵n≤x≤3， ∴n＝0， 故选：C． 7．（2026•大荔县校级四模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+4（m为常数，且m＞0），当﹣1≤x≤3时，y的最大值为5，则m的值为（　　） A．1 B．1或 C． D．1或 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+4中，a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵m＞0， ∴分两种情况讨论： 当m≥3时，函数在﹣1≤x≤3上单调递增，最大值在x＝3处取得，即y＝﹣32+2m•3+4＝6m﹣5＝5， 解得，不合题意，舍去； 当0＜m＜3时，函数的最大值在顶点x＝m处取得，即y＝﹣m2+2m•m+4＝m2+4＝5， 解得m＝1，符合题意； 综上，m的值为1． 故选：A． 8．（2026•雁塔区校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）经过A（n﹣1，y1），B（3n+4，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的左，右两侧，且y1＜y2，则n的值可能是（　　） A．﹣3 B． C．1 D． 【解答】解：抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越小， ∵A在对称轴左侧，B在对称轴右侧， ∴n﹣1＜1＜3n+4，解得：﹣1＜n＜2，排除选项A和D； ∵y1＜y2，说明A点到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，点A到对称轴的距离为1﹣（n﹣1）＝2﹣n，点B到对称轴的距离为（3n+4）﹣1＝3n+3， ∴2﹣n＞3n+3，解得， 综上，n的范围是，选项中只有符合该范围． 故选：B． 9．（2026•紫金县校级二模）已知二次函数满足条件： ①图象过原点； ②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大． 请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：　 　 ． 【解答】解：当x＜2时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x满足x≥2． 不妨设a＝﹣1，对称轴为x＝2， 设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+c，由条件可得： ﹣（0﹣2）2+c＝0， 解得c＝4， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x． 满足上述条件的二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x（答案不唯一）． 故答案为：y＝﹣x2+4x（答案不唯一）． 10.（2026•靖江市二模）已知二次函数y＝a（x﹣5+a）2+2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的值可以是　 　 ．（写出一个即可） 【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣5+a）2+2的对称轴为直线x＝5﹣a，当x＞2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0，且5﹣a≤2， 解得a≥3， 故a的值可以为3（答案不唯一）， 故答案为：3（答案不唯一）． 11．（2026•禅城区二模）二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1中，当1≤x≤5时y有最小值3，则实数m的值为　 　 ． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， 故对称轴为直线x＝m， 因为a＝1＞0， 故函数图象开口向上，有最小值﹣1， 当对称轴直线x＝m在区间[1，5]右边时，函数在[1，5]上单调递减， 当x＝5时，y有最小值3，代入得3＝52﹣2m×5+m2﹣1， 解得m＝3（不符合题意，舍去）或m＝7， 当对称轴直线x＝m在区间[1，5]上时，最小值为﹣1，不符合题意， 当对称轴直线x＝m在区间[1，5]左边时，函数在[1，5]上单调递增， 当x＝1时，y有最小值3，代入得3＝12﹣2m×1+m2﹣1， 解得m＝3（不符合题意，舍去）或m＝﹣1， 综上，实数m的值为7或﹣1， 12.（2026•市中区校级自主招生）函数S＝2x2﹣xy+y2+2x+3y的最小值为　 　 ． 【解答】解：由题意得，， ∴函数S＝2x2﹣xy+y2+2x+3y的最小值为﹣4．故答案为：﹣4 13．（2026•蚌埠一模）已知两个非负实数x，y满足y＝3﹣2 x＝z﹣3 x， （1）z的取值范围是　 　 ； （2）若M＝x2+2y2+z2，则M的最大值为　 　 ． 【解答】解：（1）由条件可知x＝z﹣3，y＝9﹣2z， ∵x，y是非负实数， ∴， 解得； 故答案为：； （2）由条件可知， ∴M是关于z的二次函数，且该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵， 又∵， ∴当z＝3时，M取得最大值． 故答案为：27． 14．（2026春•庐阳区校级期中）对于三个实数a、b、c，定义max{a，b，c}为a、b、c中最大的数，例如：max{1，2，﹣1}＝2，max{2，1，1}＝2，请回答以下问题： （1）max{a2+2a+2，4a2﹣a+3，1}＝　 　 ； （2）若a2﹣4a+13＜max{a2，a2+1，9}，则a的取值范围是　 　 ． 【解答】解：（1）由题知， 因为a2+2a+2＝（a+1）2+1≥1，4a2﹣a+3﹣（a2+2a+2）＝3a2﹣3a+1＝3（）2， 所以4a2﹣a+3＞a2+2a+2≥1， 所以max{a2+2a+2，4a2﹣a+3，1}＝4a2﹣a+3． 故答案为：4a2﹣a+3； （2）由题知， a2+1＞a2， 则当a2+1﹣9≥0，即a或x时， a2﹣4a+13＜a2+1， 解得a＞3， 所以a＞3； 当a2+1﹣9＜0，及时， a2﹣4a+13＜9， （a﹣2）2＜0， 此不等式无解， 综上所述，a的取值范围是a＞3． 故答案为：a＞3 15．（2026•蒙城县一模）设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为（a，b），（c，d），若a+c＝b+d，且二次项系数同号，则称y1是y2的“和等顶二次函数”． （1）请写出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的一个“和等顶二次函数”　 　 ； （2）已知关于x的二次函数和二次函数（n＞0），若函数y1恰是y2的“和等顶二次函数”，则n的值为　 　 ． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴顶点是（1，﹣2）， ∴a＝1，b＝﹣2， ∵a+c＝b+d， 设a+c＝b+d＝﹣3， ∴c＝﹣4，d＝﹣1， 即它的“和等顶二次函数”的顶点是（﹣4，﹣1）， ∴它的“和等顶二次函数”为y＝2（x+4）2﹣1； 故答案为：y＝2（x+4）2﹣1（答案不唯一）； （2）∵，， ∴y1的顶点是，y2的顶点是， 根据新定义得， ∴（3n+8）（n﹣2）＝0， ∴（舍去），n2＝2． 故答案为：2． 16．（2026•淮北模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1，其中m为实数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）当m﹣1≤x≤m+2时，求函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1的最大值． （3）若该二次函数图象的顶点在直线y＝2x上，当﹣2≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【解答】解：（1）由y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， ∴该二次函数图象的顶点坐标为（m，﹣1）； （2）由y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝m， ∵1＞0，开口向上， ∴离对称轴越远的点函数值最大， ∵|m﹣1﹣m|＝1，|m+2﹣m|＝2，2＞1， ∴当x＝m+2时，函数取得最大值， 把x＝m+2代入得，y＝（m+2﹣m）2﹣1＝3， ∴当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1的最大值为3； 由y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝m， ∵1＞0，开口向上， ∴离对称轴越远的点函数值最大， ∵|m﹣1﹣m|＝1，|m+2﹣m|＝2，2＞1， ∴当x＝m+2时，函数取得最大值， 把x＝m+2代入得，y＝（m+2﹣m）2﹣1＝3， ∴当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1的最大值为3； （3）∵二次函数图象的顶点（m，﹣1）在直线y＝2x上， ∴﹣1＝2m，解得：， ∴，对称轴为直线， ∵1＞0， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为， ∴①当时，在对称轴左侧，y随x增大而减小， 最大值为：当x＝﹣2时，， 最小值为：x＝n时，， 由题意得，， 解得，此解不满足，故舍去； ②当时，最小值为：当时，， 最大值为：当x＝﹣2时，或当x＝1时，， ∴， 当时，， 解得：x＝﹣2或x＝1，符合题意； ③当n＞1时，则x＝n处的，差大于，不符合要求； 综上可得：n的取值范围是． 17．（2026•杭州二模）已知二次函数（b为常数）的图象经过点（8，﹣6）． （1）求二次函数的表达式； （2）作点A（0，t）关于直线x＝t对称的点B，若点B恰好落在的图象上，求t的值； （3）当m≤x≤2﹣m时，二次函数的最大值与最小值的和为k，求k的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数（b为常数）的图象经过点（8，﹣6）， ∴82+8b+2＝﹣6， 解得b＝1， ∴二次函数为yx2+x+2； （2）∵点A（0，t）关于直线x＝t对称的点B， ∴B（2t，t）， ∵点B恰好落在的图象上， ∴（2t）2+2t+2＝t， 整理得t2﹣t﹣2＝0，即（t﹣2）（t+1）＝0， 解得t＝2或t＝﹣1， ∴t的值是2或﹣1； （3）∵yx2+x+2（x﹣2）2+3， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，3）， 当x＝m时，ym2+m+2， 当m＝2﹣m时，ym2+3， 当2﹣m≤2时，m≥0， ∴0≤m≤1时， km2+m+2﹣（m2+3）m2+m+5， ∵k（m﹣1）2， ∴5≤k； 当2﹣m＞2时，m＜0， 此时2﹣m＞（2﹣m）﹣2， ∴km2+m+2+3m2+m+5， ∴k（m﹣2）2+6， ∴k＜5， 综上，k的取值范围为k． 18．（2026•岱岳区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线经过点（4，10），求抛物线的对称轴； （2）已知点M（t﹣2，c），N（2，d），P（t+2，c）都在该抛物线上，且满足c＜d，求t的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（4，10）， 将点（4，10）代入： ， 解得k＝10， ∴， 其中b＝12，， 对称轴公式为： ， 所以对称轴为直线x＝12． （2）由点M（t﹣2，c）、P（t+2，c）在抛物线上且纵坐标相同，得抛物线对称轴为： ， 故t＝k+2， 抛物线中，开口向下，函数值大小与点到对称轴的距离关系为：点到对称轴的距离越小，函数值越大； 点M、P到对称轴x＝t的距离为：|（t+2）﹣t|＝2， 点N（2，d）到对称轴x＝t的距离为|2﹣t|， 因为c＜d，所以点N到对称轴的距离小于2，即： |2﹣t|＜2， 解此不等式： ﹣2＜2﹣t＜2， 解得0＜t＜4， 又∵k＞1， 则t＝k+2＞3， 综上，3＜t＜4． 19．（2026•蚌山区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）． （1）若该抛物线的顶点位于直线y＝﹣4x上，抛物线的对称轴距y轴的距离小于3． ①求m的值； ②若﹣2≤x≤2，求y的取值范围． （2） 若点A（a，0），B（b，0），C（a+1，s），D（b+1，t）均在该二次函数的图象上，求st的最大值． 【解答】解：（1）①∵y＝x2﹣2mx﹣3＝（x﹣m）2﹣m2﹣3， ∴该抛物线的顶点为（m，﹣m2﹣3）． 由条件可得﹣m2﹣3＝﹣4m， 整理，得m2﹣4m+3＝0， 解得m1＝1，m2＝3， 当m＝1时，抛物线的对称轴为直线x＝1，1＜3，符合题意， 当m＝3时，抛物线的对称轴为直线x＝3，3＝3，不符合题意， 综上，m的值为1； ②由①可知y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该函数图象的对称轴为直线x＝1，图象开口向上， ∴当x＝1时，y的值最小，最小值为﹣4， ∵1﹣（﹣2）＞2﹣1， ∴当﹣2≤x≤2时，x＝﹣2时y取得最大值，为y＝（﹣2﹣1）2﹣4＝5， ∴当﹣2≤x≤2时，y的取值范围为﹣4≤y≤5； （2）∵点A（a，0），B（b，0）在抛物线上， ∴a，b是方程x2﹣2mx﹣3＝0的两根， Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣3）＝4m2+12≥0， ∴（a﹣b）2≥0， ∴﹣（a﹣b）2≤0， ∴﹣（a﹣b）2+1≤1， ∵s＝（a+1）2﹣（a+b）（a+1）﹣3＝a﹣b﹣ab﹣2＝a﹣b+1，t＝（b+1）2﹣（a+b）（b+1）﹣3＝b﹣a﹣ab﹣2＝b﹣a+1， ∴st＝（a﹣b+1）（b﹣a+1）＝﹣（a﹣b）2+1， ∴st的最大值为1． 20．（2026•峄城区二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）． （1）求抛物线的对称轴； （2）若点A（x1，m），B（x2，b），C（﹣2，n）均在抛物线上，且对于任意x2，都有m≤b． ①求m的值（用含a的代数式表示）； ②求证：． 【解答】解：（1）由条件可得：， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2； （2）①当a＞0时， ∵点A（x1，m），B（x2，b）均在抛物线上，且对于任意x2，都有m≤b． ∴点A（x1，m）为抛物线的顶点， 由（1）得当x＝2时，y＝a×22﹣4a×2+2＝﹣4a+2， ∴m＝﹣4a+2； 当a＜0时，抛物线开口向下，函数值没有最小值，故不符合题意； 综上：m＝﹣4a+2； 证明②：由条件可知n＝a×（﹣2）2﹣4a×（﹣2）+2＝12a+2， ∴mn＝（﹣4a+2）（12a+2） ＝﹣48a2+16a+4 ， ∵﹣48＜0， 由①可得a＞0， ∴当时，mn取得最大值，即 21．（2025秋•丽水期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a，b是常数，a＞0）． （1）若a＝1时． ①试判断点A（2，2b）是否在此二次函数的图象上？ ②已知点B（1，k），C（1+b，k）在二次函数y＝ax2+bx﹣4图象上，求k的值； （3） 已知对称轴为直线x＝t（1＜t＜3），若点M（﹣1，m）和N（2，n）在该抛物线上，满足m﹣n＝6，求a﹣b的取值范围． 【解答】解：（1）①当a＝1时， 抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣4． 当x＝2时， y＝22+2b﹣4＝2b， 所以点A（2，2b）在此二次函数的图象上； ②因为点B，C在二次函数y＝ax2+bx﹣4图象上，且这两点的纵坐标相等， 所以B，C两点关于抛物线的对称轴对称， 则， 解得b＝﹣1， 所以抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4． 将点B坐标代入抛物线的解析式得， k＝12﹣1﹣4＝﹣4； （2）因为抛物线的对称轴为直线x， 所以t， 则b＝﹣2at． 因为点M（﹣1，m）和N（2，n）在该抛物线上， 则m＝a﹣b﹣4，n＝4a+2b﹣4， 所以m﹣n＝﹣3a﹣3b． 因为m﹣n＝6， 所以a+b＝﹣2． 将b＝﹣2at代入a+b＝﹣2得， a﹣2at＝﹣2， 则a， 所以a﹣b＝a+2at2． 因为1＜t＜3， 所以1＜2t﹣1＜5， 所以， 所以， 即． 22．（2026•思明区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a，b是常数，a＞0）． （1）若a＝1时，①试判断点A（﹣2，﹣2b）是否在此二次函数的图象上？ ②已知点B（2，k），C（2+b，k）在二次函数y＝ax2+bx﹣4图象上，求k的值； （2） 已知抛物线的对称轴为直线x＝t（2＜t＜4），若点M（﹣1，m）和N（3，n）在该抛物线上，满足m﹣n＝8，求a﹣b的取值范围． 【解答】解：（1）①当a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣4． 当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2b﹣4＝﹣2b， ∴点A（﹣2，﹣2b）在此二次函数的图象上； ②由条件可知B，C两点关于抛物线的对称轴对称，则， 解得b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣4． 将点B坐标代入抛物线的解析式得k＝22﹣2×2﹣4＝﹣4； （2）∵抛物线的对称轴为直线， ∴，则b＝﹣2at． 由条件可知m＝a﹣b﹣4，n＝9a+3b﹣4， ∴m﹣n＝a﹣b﹣4﹣（9a+3b﹣4）＝﹣8a﹣4b， ∵m﹣n＝8， ∴﹣8a﹣4b＝8， ∴2a+b＝﹣2， 将b＝﹣2at代入2a+b＝﹣2得2a﹣2at＝﹣2， ∴， ∴． ∵2＜t＜4， ∴1＜t﹣1＜3， ∴， ∴， 即3＜a﹣b＜5． 23．（2026•萨尔图区二模）“明德启智”以明德立品，以启智赋能，彰显了当代教育德才兼备的育人追求．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“明德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“启智点”．把函数图象至少经过一个“明德点”和一个“启智点”的函数称为“明德启智函数”．下列说法正确的序号为　 　 ． ①已知函数y＝2x﹣1是一个“明德启智函数”，则该函数图象上的“明德点”为（1，1）； ②二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点是一个“明德点”，并且该函数图象还经过一个“启智点”P（3，m），则该二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1； ③二次函数y＝2（x﹣c）2+d（c，d为常数，c≠0）图象的顶点为点M，与y轴交于点N，若经过点M，N的直线l上存在无数个“明德点”，则该函数图象上的所有“启智点”为，（0，0），（）． 【解答】解：根据题干给出的“明德点”“启智点”的定义逐项分析判断如下： ①根据定义，“明德点”满足横纵坐标相等，对于函数y＝2x﹣1， ∴令y＝x，得x＝2x﹣1， 解得x＝1，y＝1， 即明德点为（1，1）； 故①正确，符合题意； ②∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k 的顶点为（h，k），顶点是明德点， ∴h＝k； ∵函数经过启智点P（3，m）， ∴m＝﹣3， 将P（3，﹣3）代入函数得：﹣3＝﹣（3﹣h）2+h， 整理得h2﹣7h+6＝0， 解得h＝1或h＝6， ∴k＝1或k＝6， ∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1或y＝﹣（x﹣6）2+6， 故②错误，不符合题意； ③二次函数y＝2（x﹣c）2+d 的顶点M（c，d），与y轴交点N的坐标为（0，2c2+d），∵直线MN上存在无数个“明德点”， ∴直线MN与直线y＝x重合， ∴把M（c，d）和N（0，2c2+d）代入y＝x得到， 解得c＝d＝0（舍去）或， ∴二次函数解析式为：， ∵启智点满足y＝﹣x， ∴联立得﹣x＝2x2+2x， 解得x＝0或， 对应启智点为（0，0）和，共2个， 故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 1 学科网（北京）股份有限公司 $