1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心是判别式对抛物线与x轴交点及方程根的判定。以音乐喷泉视频导入，回顾抛物线形状，衔接二次函数性质与一元二次方程判别式，搭建知识支架。 亮点在于构建“函数—方程—几何”三位一体联系，通过“画—算—比—说”探究活动培养几何直观与抽象能力，结合喷水池、砗磲生长等实例发展模型意识。助力学生提升数形结合能力，为教师提供结构化探究与分层练习，提升教学效率。

1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系（第1课时） 教学设计 1.教学内容 本课选自浙教版·九年级上册 第一章《二次函数》1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系（第1课时）。核心知识：二次函数 与方程 的判别式 及其对抛物线与 轴交点、方程实数根个数及形式的判定关系。 2.内容解析 本节在学生已掌握二次函数图象形状、顶点、对称轴及一元二次方程解的判别式 的基础上，进一步揭示“函数零点—方程根—图象交点”三位一体的本质联系： 1）通过绘制并比较 的图象，引出“抛物线交点个数＝方程实数根个数”。 2）利用判别式值的三种情况（）对应“相交两点”“相切一点”“不相交”三类图象，实现由代数到几何的转化。 3）借助图象估算或直接写出方程根，体会函数视角下解方程的优势。 教学重点是判别式与交点、方程根之间的一一对应；难点在于学生对抽象符号 的意义建构及从图象反推方程根的能力。 1.教学目标 • 能正确计算二次函数对应的判别式 ，依据 判定一元二次方程实数根的不同情况。 •可以借助判别式，判断二次函数 图象与 轴交点的数量，准确写出交点坐标的通用形式。 •能利用“抛物线与 轴交点横坐标即方程根”的对应关系，完成基础判断题、简单求值类习题。 2.目标解析 •通过计算具体系数 的判别式并与 0 比较，达到正确分类判断。 •在图象或表格给定的情境中，利用零点概念快速求或估方程的实数根。 3.重点难点 • 教学重点：判别式符号与抛物线交点、方程根的对应关系。 • 教学难点：用图象或数值区间反推方程根、判别式与几何位置的迁移应用。 学生已学过一次函数、二次函数基本性质及一元二次方程求根公式，对 的计算较熟练，但对“函数—方程—几何”多表征统一的体验不足，易将判别式与交点脱离。优点：具备数形结合意识；困难：1）抽象符号 的几何意义理解；2）从不完整数据（表格、局部图象）估算根的能力。需通过分组探究、动手画图及丰富的现实情境任务，帮助学生在直观操作中突破难点，提升迁移与应用水平。 创设情景，引入新课 知识回顾： 1.情境呈现（多媒体播放 15 s 视频：音乐喷泉中水柱飞向空中再落回池面的画面）。 教师提问： ① 水柱的轨迹像什么图形？——“抛物线”。 ② 水柱从喷出到落地的两个“着地点” 坐标能否直接在函数解析式里找到？ 2.明确学习目标（板书）： 正确计算判别式 ，并依据 的符号判定一元二次方程实数根的情况； 借助判别式判断抛物线 与 轴交点的个数，能写出交点坐标的通用形式； 会用“交点横坐标＝对应方程实数根”解决基础判断与求值题。 【设计意图】以生活中熟悉的喷泉为切入口，引起直观兴趣；同时回顾抛物线形状、二次方程根的求法，为探究“函数图象与方程根的对应关系”做好知识与心理准备。 探究点1：“函数图象”与“方程根”的联系 1.问题引入 观察二次函数 y=−4x+3，y=−+2x−1，y=−2x+的图象，思考：二次函数y=a+bx+c（a≠0）与一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）有什么关系？ 2.新知探究 根据以上画出的三个图形，填写下表 分别说出−4x+3=0，−+2x−1=0和−2x+=0的根的情况，与上表对比 解：−4x+3=0，−+2x−1=0和−2x+=0的根的情况 小组讨论，二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根有什么关系？ 3.做一做 利用函数的图象求下列方程的根： (1)x²+x-6=0；(2)2x²-x-3=0. 解：（1）抛物线与x轴的交点坐标为(-3，0)，(2，0) ∴方程x²+x-6=0的解为=-3，=2； （2）抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)，(,0), ∴方程2x²-x-3=0的解为=-1，=. 4.知识归纳 一般地,二次函数y=a+bx+c(a≠0)与一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)之间有如下关系: 【设计意图】通过“画—算—比—说”四步，学生在多感官体验中自主获取并验证新知，实现函数观与方程观的有机联系。 探究点2 例题分析 1.典例1分析 例1 已知二次函数y=+5x-3中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程+5x-3=0的一个解x的取值范围是____. 解：方程x²+5x-3=0的解即为函数y=x²+5x-3的零点。由表格数据可知，当x=0.5时，y=-0.25<0；当x=0.75时，y=1.31>0。由于函数连续，故在x=0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0，因此方程的一个解x的取值范围是0.5<x<0.75. 练一练 根据下表信息,估计一元二次方程a+bx+c=6(a≠0)的一个解的范围是_____。 解：5.9996<6<6.0225, ∴由表格可知，使y=ax²+bx+c=6的一个x的值满足1.645<x<1.65， ∴一元二次方程ax²+bx+c=6(a≠0)的一个解的范围是1.645<x<1.65， 故答案为:1.645<x<1.65. 2.典例2分析 例2 抛物线y=-+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程-+bx+c=0的解是_____。 解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的交点为(1，0)，设另一个交点为(a，0)，=-1，解得：a=-3，故另一个交点为(-3，0)，∴关于x的方程-+bx+c=0的解是：x₁=1，=-3； 练一练 已知二次函数y=+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程+2x+m=0的根为_____。 解：由题意可知：抛物线的对称轴为x=-1，(1，0)关于直线x=-1的对称点为(-3，0)，∴一元二次方程+2x+m=0的根为1与-3；即x₁=1，x₂=-3. 3.典例3分析 例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱。如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 水柱高度 y(单位：m)与水平距离 x (单位：m)之间具有函数关系 . (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； (1)解：，配方得y=-(x-1)²+3, ∴顶点A(1，3) 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离 (2)当y=0时，=0， 解得x₁=3，x₂=-1(不符合题意，故舍去)，∴B(3，0)，即OB=3， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m. 练一练 如图，砗磲(chēquí)是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的碎碟样本进行分析，得到某碎碟样本平均日生长速率y(单位:μm/天)与年龄x(单位:岁)近似满足关系：. 现测得某碎碟样本的平均日生长速率为35.6μm/天，求它的年龄. 解：将y=35.6代入y=， 得35.6= 解得x₁=64，x₂=-6(不符合题意，舍去) 答：该碎碟样本的年龄为64岁. 【设计意图】让学生感受数学模型在解决现实问题中的价值，体验“从实际到数学再回到实际”的完整思维链。 1.二次函数y=a+bx+c(a≠0)如图所示，则关于x的一元二次方程a+bx+c=0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法准确判断 解：C 2. 如图，二次函数y=a-3ax+c(c为常数)的图象与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，则关于x的一元二次方程a-3ax+c=0(c为常数)的实数根是（ ） A.=-1，=5 B.=-1，=4 C.=-1，=3 D.=1，=-4 解：B 3.如表中列出了二次函数y=a+bx+c的x、y的一些对应值，则一元二次方程a+bx+c=0的一个解的范围是（ ） A. -3<x₁<-2 B. -2<x₁<-1 C. -1<x₁<0 D. 0<x₁<1 解：C 4.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程ax²+bx+c=0的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式ax²+bx+c<0的解集. 解：(1)由图象看， 二次函数y=a+bx+c(a≠0)与x轴交于点(1，0)，(3，0) ∴方程a+bx+c=0的两个根是=1，=3； (2)从图象看，当x>2（或x≥2）时，y随x的增大而增大； (3)从图象看，∵当x<1或x>3时，二次函数y=a+bx+c(a≠0)的图象在x轴下方∴不等式a+bx+c<0的解集是：x<1或x>3. 5. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x²+30x，请根据要求解答下列问题: (1)在飞行过程中，当小球的飞行时间为2s时，飞行高度是多少? 解:在y=-5+30x中，当x=2时，y=-5×+30×2=40， 答:当小球的飞行2s时,飞行高度是40m; (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为25m时，飞行时间是多少? 解:在y=-5+30x中，当y=-5+30x=25时， 解得x=1或x=5， 答:当小球的飞行高度为25m时，飞行时间是1s或5s； (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? 解:在y=-5+30x中，当y=-5+30x=0时，解得x=0或x=6， 答:小球从飞出到落地所用时间是6s； (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 解：y=-5+30x=-5+45, ∴小球飞行高度在飞行时间是3s时最大，最大高度为45m. 【设计意图】在学生掌握了判别式与交点个数、与方程根的对应关系之后，通过设置含参探索、生活化建模等题目，引导学生将所学知识迁移至更高层次，发展发现规律、归纳证明及实际应用的能力。 主板书 1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系（第1课时） 探究点1 “函数图象”与“方程根”的联系 探究点2 例题分析 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后练习题。 学科网（北京）股份有限公司 $