1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系(1) 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过多媒体展示函数图象提问导入，回顾一元二次方程根的判别式、二次函数顶点坐标等旧知，搭建学习支架连接新知。 以分组探究（画函数图象对比方程解与交点）培养几何直观和推理意识，应用举例（上抛小球高度问题）体现模型意识，帮助学生理解数形结合，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

第1课时　二次函数与一元二次方程的关系(1) 课题 第1课时　二次函数与一元二次方程的关系(1) 授课人 教 学 目 标 1.会运用一元二次方程求二次函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标,并用来解决相关的实际问题. 2.会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解. 3.进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模型的相互转换. 教学 重点 问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的相互转换. 教学 难点 实际问题的应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.一元二次方程的一般形式是　ax2+bx+c=0(a≠0)　,其根的判别式是　b2-4ac　,求根公式是　x=　.  2.二次函数的一般式是　y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)　,顶点坐标是-,　.  3.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是　直线x=-1　,开口方向　向上　,顶点坐标是　(-1,-5)　.  4.抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点坐标为　(2,0),(3,0)　.  5.已知抛物线与x轴的交点为(-1,0),(1,0),并且经过点(0,1),则抛物线的函数表达式为　y=-x2+1　.  师生活动:学生自主解答上述问题,教师进行个别指导,然后进行点评和总结. 　　通过回顾一元二次方程和二次函数的相关知识,巩固以前所学的知识,为学好本节课的新知识做好铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 多媒体演示:出示二次函数y=x2-2x-3的图象,如图1-4-8所示,根据图象回答问题: 图1-4-8 (1)当x为何值时,y=0? (2)你能根据图象,求方程x2-2x-3=0的根吗? (3)二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0之间有什么关系? 师生活动:教师进行引导,通过多媒体展示,让学生自己将函数与方程之间产生联系,从而完成解答过程. 　　通过多媒体展示,培养学生数形结合的思维,激发学生的学习热情. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系 画出二次函数y=x2-4x+3的图象(图1-4-9),观察图象与x轴的交点和一元二次方程x2-4x+3=0的解的关系. 图1-4-9 师生活动:分组解决问题,有的小组画图求函数与x轴的交点,有的小组求一元二次方程的解,通过结果发现规律,并总结规律. 追问1:二次函数的图象与x轴有几个交点? 追问2:利用得到的规律,猜想交点个数如何判断? 根据教材27页合作学习的第2,3个图,检验自己的结论的是否正确. 小组讨论,教师进行点评,总结归纳: 一般地,二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)之间有如下关系: 判别式b2-4ac的值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的图象 与x轴的交点情况 图象与x轴 有两个交点 (x1,0),(x2,0) 图象与x轴 有一个交点 图象与x轴 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的情况 有两个不相等的 实数根x1,x2 有两个相等的 实数根x1=x2 没有实数根 【探究2】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 例　利用二次函数的图象求方程x2+x-1=0的解(或近似解). 解:设y=x2+x-1,则方程x2+x-1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.在直角坐标系中画出函数y=x2+x-1的图象(图1-4-10),得到与x轴的交点为A,B,则点A,B的横坐标x1,x2就是方程的解. 　　学生通过计算、观察、分析,发现二次函数与一元二次方程之间的关系. 活动 二: 探究 与 应用 　　观察下图,得到点A的横坐标x1≈0.6,点B的横坐标x2≈-1.6.所以方程x2+x-1=0的近似解为x1≈0.6,x2≈-1.6. 图1-4-10 问题提示: (1)教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤画图; (2)教师引导学生观察函数图象,体会解答问题的过程; (3)学生分组讨论、交流,总结用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的步骤. 　　利用函数图象解决方程根的问题,让学生把方程与函数统一起来,体会数与形的结合带来的方便. 【应用举例】 例1　一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s,经过t(s)时球的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中,h=v0t-gt2(v0表示物体运动上抛开始时的速度,g表示重力系数,取g=10 m/s2).问:球从弹起至回到地面需多少时间?经多少时间球的高度为3.75 m? 师生活动:教师引导学生作出函数图象,学生独立完成解答过程. 解:由题意,得h(m)关于t(s)的二次函数表达式为h=10t-5t2. 取h=0,得一元二次方程10t-5t2=0, 解这个方程,得t1=0,t2=2. 所以球从地面抛起至回到地面所需的时间为t2-t1=2(s). 取h=3.75,得一元二次方程10t-5t2=3.75, 解这个方程,得t1=0.5,t2=1.5. 答:球从弹起至回到地面需2 s,经过0.5 s或1.5 s球的高度为3.75 m. 　　应用举例是对课题学习的针对练习. 【拓展提升】 例2　已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x. (1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点; (2)设直线l与该抛物线的两个交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积. [答案:(1)略　(2)S△OAB=] 师生活动:学生自主解答问题后,教师进行讲解,学生再次审题,完成对题目的重新整理. 　　由根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数,进一步提高学生对二次函数与一元二次方程关系的认识,提升学生灵活运用知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标为　(3,0),(-1,0)　,一元二次方程x2-2x-3=0的解为　x1=3,x2=-1　.  2.抛物线y=x2-2x-8与x轴有　2　个交点.  3.若抛物线y=x2-4bx+4的顶点在x轴上,则b=　±1　.  活动 三: 课堂 总结 反思 4.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是 (　D　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a>0,b2-4ac<0 B.a<0,b2-4ac>0 C.a>0,b2-4ac>0 D.a<0,b2-4ac<0 5.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是 (　C　) x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.06 A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 【课堂小结】 1.课堂总结: 你在本节课中有哪些收获?有哪些进步?还有哪些困惑?请谈一谈. 教师总结:抛物线与x轴的交点问题有三种情况,分别是有两个交点、有一个交点、没有交点,可以通过计算相应的一元二次方程的根的判别式进行确定. 2.布置作业: (1)教材第30页作业题T1-T5. (2)补充题:将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有交点,则实数b的取值范围是 (　D　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.b>8 B.b>-8 C.b≥8 D.b≥-8 　　让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的环节中,教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示,使学生能够理解“数”与“形”之间的关系.在课堂训练环节中,教师给予学生自主解答问题的时间,并做好点评. ②[讲授效果反思] 教师引导学生注意以下几点:(1)抛物线与坐标轴交点的求法;(2)抛物线与x轴交点的个数可通过计算b2-4ac进行判断. ③[师生互动反思] 教学过程中,以学生为主体,通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $