2026-2027学年江苏省兴化中学高三开学考试数学模拟练习卷

**基本信息** 高三开学数学练习卷，19题150分，原创情境（光伏储能、榫卯木筒等）结合“少算多想”理念，覆盖数学抽象、逻辑推理等核心素养，梯度分层清晰。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、双曲线、向量模不等式、函数奇偶性、等比数列（榫卯木筒）、函数模型（光伏）、新定义点集|基础送分（1-6）与中档压轴（7-8）结合，情境真实| |多选|3/18|解三角形、动圆几何、正方体截面与外接球|注重几何性质与逻辑推理，如动圆与直线位置关系| |填空|3/15|开放型问题、导数极值、直三棱柱参数范围|开放型与中档压轴结合，如侧面积与体积关系| |解答|5/77|导数基础、统计图表（电池检测）、立体几何（直四棱柱）、椭圆解析、新定义数列|综合应用与探究压轴，如数列新定义侧重逻辑推理|

2026-2027学年江苏省兴化中学高三开学考试练习卷 数学 本试卷共 19 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。 2.作答选择题时，用 2B 铅笔将答题卡对应题号选项涂黑；如需改动，橡皮擦净后再重新填涂。非选择题答案必须写在答题卡指定区域，写在试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并上交。 命题说明 1.原创：题干情境、设问方式独立设计，素材涵盖光伏储能、榫卯木筒、电池检测、古法数学数列新定义、直四棱柱建模等全新场景。 2.贯彻 “少算多想”：题目依托几何性质、向量模不等式、函数奇偶对称性简化运算，避免暴力联立、复杂求导、大数硬算；压轴新定义侧重逻辑推理，计算量极低。 3.覆盖高考核心素养：数学抽象（第 8、19 题新定义集合和数列）、逻辑推理（多选立体、解三角）、直观想象（正方体截面、棱柱外接球）、数学建模（圆柱容积、光伏发电量、电池统计）、数学运算、数据分析。 4.梯度分层清晰合理：1–6 单选基础送分，7、8 单选中档压轴；多选 9 基础三角，10 动圆几何，11 立体截面综合；填空 12 开放型、13 导数极值中档、14 棱柱参数范围压轴；解答 15 导数基础、16 统计图表、17 立体几何（向量简化）、18 椭圆解析（几何性质降维）、19 新定义数列探究压轴，区分度符合 2027 高考命题导向。 试题部分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题仅有一项符合题目要求 1.设全集}，集合，，则 A. B. C. D. 2.若复数的实部与虚部之和为 0，则 A. B. C. D. 3.已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为 A. B. C. D. 4.平面向量满足，，则的最小值和最大值之和为 A. B. C. D. 5.已知函数是定义域上的奇函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 6.古法榫卯木筒为圆柱造型，三款木筒容积成公比为的等比数列；大、中、小木筒底面半径依次为，已知大木筒高，则小木筒的高为（不计筒壁厚度，圆柱体积） A. B. C. D. 7.光伏电站日发电量模型（为基础常量，为日照时长，单位 h）。当日照时长由提升至，发电量增加度；若日照时长由提升至，发电量增加 A.度 B.度 C.度 D.度 8.定义点集，记为集合内两点距离最大值，为围成图形的面积，则 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分 9.在中，分别为对边，满足，且，，则下列结论正确的是 A. B.边上的高为 C.外接圆半径 D.面积为 10.已知动圆，直线，则 A. 存在，直线与圆相切 B. 对任意，直线与圆必有公共点 C. 对任意，总是不存在实数使直线与圆相切 D. 对任意实数，总存在实数使直线与圆相离 11.已知棱长为 3 的正方体，以底面中心为原点建系，坐标轴平行于棱。定义集合，为正方体内及表面所有点，几何体由构成，则 A. 点 B. 被平面截得的截面是边长为的圆 C. 的体积大于 D. 几何体表面到正方体中心距离最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12.已知，满足，，写出一组满足条件的:____。 13.已知函数在上存在极值点，则实数的取值范围为____。 14.在直三棱柱中，侧棱底面，底面为等腰直角三角形，，侧棱长；记侧面积为，体积为，则的取值范围为____。 四、解答题：本题共 5 小题，总分 77 分，解答需写出文字说明、演算、证明步骤 15.（13 分）已知函数 (1) 当时，求在处的切线方程； (2) 讨论的单调性，并求极值。 16.（15 分）已知某企业检测储能电池循环寿命相关数据： 分组区间：； 各组依次为。 规定：循环寿命不低于 900 次为合格，为不合格概率估计值。 (1) 求样本中位数与第一四分位数； (2) 企业采购 200 块电池，记不合格数量为，满足，求。 17.（15 分）在直四棱柱中，底面梯形，；分别为中点，棱柱高。 (1) 求证：平面； (2) 平面与平面所成锐二面角余弦值为； (i) 求直线与底面所成角的正弦值； (ii) 求直四棱柱外接球表面积。 18.（17 分）椭圆，直线交于两点，交轴于点，为中点。 (1) 求椭圆的离心率； (2) 当时，求弦长； (3) 点满足且； (i) 用表示中点坐标； (ii) 求。 19.（17 分）定义有穷正整数数列，满足两个条件： ① 数列最大项等于； ② 对任意整数，子列内部无重复数字。 记，对，规定。 (1) 若，直接写出； (2) 若存在满足条件的数列，使得，求的最小整数值； (3) 设，求证：。 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每题 5 分） 1.答案：D 解析： 集合； ，所以，集合，所以； ，所以，集合； 最终，得。 2.答案：A 解析：，实部 + 虚部； ，。 3.答案：C 解析：双曲线渐近线，由平行得； ，。 4.答案：D 解析：向量三角不等式，即； 解得，模长非负，最小值，最大值为，所以，模长的最小值和最大值之和为，答案选D。 5.答案：B 解析：奇函数满足，定义域对称与同解集，得； ， 结合定义域， 最终，得解集，所以，本题答案选B。 6.答案：A 解析：设大中小体积，； ，，； ，答案选A。 7.答案：C 解析：，；，； ； ，；增量度，答案选C。 8.答案B 解析：整理曲线，； 对固定，变化时范围，图形为带状区域； 端点距离； 边界端点距离，最远两点，距离； 面积：竖直切片积分，区间面积积分结果大于，选 B。 二、多项选择题（每题 6 分） 答案：ABD 解析：正弦定理：，； 化简得，，A 正确； 余弦定理：，； 面积，D 正确； 高，B 正确； 外接圆，C 错误。 10.答案：BC 解析：圆心，圆心到原点距离，圆半径； 直线过原点，原点到圆心距离，原点恒在圆内，直线必过圆内点，故直线与圆一定相交，不可能相切，A ,D错，B,C 对。 11.答案：ACD 解析： A：，，且满足点在正方体内部，，A 正确； B：截面（顶面），，截面圆半径，B 错误； C：几何体包含旋转抛物面，体积大于同半径球体，C 正确； D：中心，抛物面顶点，距离，但顶点不在正方体内（但仅原点，最小距离为，D 正确。 三、填空题（每题 5 分） 12. 示例：（所有满足均可以） 解析： ； ； 得不成立，故，， 取即可。 13. 答案： 解析：，极值点即； 两极值点落在，故。 14. 答案： 解析：已知底面为直角三角形，斜边，底面周长； 侧面积； 底面积，体积； ； ，，区间。 四、解答题 15.（13 分） (1) ， ， 切线方程： (2) 零点，恒成立； 且有 恒成立； 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 极大值在取得，代入得； 极小值在取得，代入得。 16.（15 分） 组距 100，各组频率：，总频率 2，标准化频率除以 2： ，累积频率：。 (1) 中位数累积 0.5 落在，设中位数： ； 四分位数 0.25 落在：； (2) 不合格区间，累积频率 ，； ，，。 17.（15 分） (1) 证明：取中点，连接； 为中点，，且，四边形为平行四边形； ，平面平面，平面，故平面。 (2) 建系； 平面法向量； 平面向量 所以，法向量； 二面角余弦，解得； (i) 方向向量，底面法向量，线面角正弦； (ii) 直四棱柱外接球直径为底面最远对角， 半径， 表面积。 18.（17 分） (1) 椭圆，； (2) ，联立与，； ； ； (3)(i) 联立； 中点，，； (ii) ，斜率 1，斜率，直线； ，，在直线上，设； ； ，为等腰三角形，为高，； ； ， 利用， 二倍角化简，得。 19.（17 分） (1) 长度，找第一个大于 0 的项，； 找第一个大于 3 的项，； 答案：。 (2) 定义分析：为第一个的位置，最小为 1；第一个，最小 2；第一个，最小 3； ，要求和 14； 约束：数列最大项，每个块无重复，故数字每项出现一次； 表示首次出现大于的项，； 设； 要满足数列条件，必须大于最大阈值，且数字分布允许尽可能大； 枚举得最小。 (3) 证明：，，需证； 由条件②，每连续项包含全部数字，故任意区间长度至少覆盖 11 个完整块，必然存在数字（最大项）； 因此首个满足的位置，即，得证。 学科网（北京）股份有限公司 $