2026年高三数学秋季开学学情自测卷02（江苏专用）

**基本信息** 2026年秋季高三开学学情自测卷，全面覆盖高考内容，通过复数、集合等基础题，立体几何折叠、导数极值等综合题，及新能源汽车满意度调查等创新情境题，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、集合、统计、向量等|第3题温度预测误差统计，考查数据处理能力| |填空题|3题15分|三角函数单调性、概率期望、双曲线性质|第13题甲袋取球入乙袋的概率计算，体现应用意识| |解答题|5题77分|解三角形、立体几何、统计建模等|第17题结合双碳战略，通过频数分布表、正态分布及抽奖概率，考查数据观念与模型意识，贴合真题趋势|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1 3 4 5 6 8 C A D B C A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分. 12. 13.6 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】(1)已知c-2b)cos4+4+-c=0. 2b 由余弦定理cosC=a2+b2-c 2+b2-c2 2ab,则 acosC 26 代入可得：(c-2b)cosA+acosC=0 3分 由正弦定理 ab c sinA sinB sinC =2R（R为AABC外接圆半径)， 可得a=2 RsinA,b=2 RsinB,c=2 RsinC, 代入上式得：(sinC-2sinB)cosA+sin4cosC=0」 整理得：sinCcosA+sinAcosC-2 sinBcosA=0, .6分 1 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据两角和的正弦公式sin(4+C)=sinB,即sinB-2 sinBcosA=0, 因为sinB≠0：所以得1-2cos4=0,解得cos1= 2 8分 又因为A∈(0，，所以A= 3 9分 (2☒己知a=6:6+6=9:A=号 31 由余弦定理a2=b2+c2-2bcos4,代入得36=b+oP-2bc-2bcx)=81-3bc. 所以bC=15,……11分 则面积为：S=)besin=x15x5_155 、24 13分 16.【详解】(1)在三棱柱ABC-AB,C中，平面ABC1/平面AB,C, 而平面ABC∩平面4BD=DE,平面4B,C∩平面AB,D=AB, 得DE11AB. 2分 AB//A B,:DE//AB, D为AC中点，E为BC中点.4分 (2)连接BD,AB=BC且D为AC中点，·BD⊥AC. 在△AAD中，由余弦定理可知AD=√AAP+AD2-24A×AD×COs∠AAC=V3. 故在△A4D中，AD2+AD2=A4,即AD1AC 6分 平面ABC⊥平面A4CC,且平面ABC∩平面AACC=AC,ADc平面AACC, 得AD1平面ABC,8分 故AD,AC,BD两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则A(0,0,V3),D(0,0,0),B1,0,0),C(0,1,0),A0,-1,0)… 9分 平面ABC的一个法向量m=DA=(0,0,V5), 10分 设4G=元4B=21,0,-V5)=(a,0,-V3),其中元∈(0,1). 2 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CG=CA+4G=(亿，-1，V3-3),AC=(0,2,0). 设平面AGC的法向量i=(x,y,2) [元-CG=0∫x-y+(N5-5)z=0 n.AC=02y=0 令 =1’y=0: x=5a-5 故方 3-5 元，01 13分 cos60-cos= n.m 州网 4G1 …15分 B1 G ℃ E 1.【详解】（山）由愿意，2=1 10×5+15×10+ 10×15×(45-55)2 10+15 10+15 =322分 (2)由题意，X近似地服从正态分布N(4,o2）,且1=x=70.5,。≈5≈14.31,3分 由于P(41.88<X≤84.81)=P(4-2o<X≤u+o) -P0a-2a<X≤u+2a)+P(u-a<r≤h+o)小0955+0627=0s16 5分 因此估计这些车主中满意度评分位于区间(41.8,84.81的人数为10000×0.8186=8186.6分 (3)由题意，Y的所有取值为0,1000,2000,3000,4000，.7分 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C_1 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为C20, cic9 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为C。=20' 191 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为1-020一2,9分 则Pv=0-Pw=lwoj=c品品 Pv=0m-品品e方对品 9x9 199 111 PY=300）=C∵20×20200，P(Y=400)=20×2040,12分 -X 则Y的分布列为： Y 0 1000 2000 3000 4000 4 9 101 9 1 P 20 400 200 400 14分 所以E(Y)）=0x1+1000×9+200x101 +3000× 9 +4000×- =1100 4 20 400 200 400 15分 18,【详解】(1)已知f()=tanx-4x= 4x0, coSx 则f()=1-4 cos2x 1分 1 令f'(x)=0,即cosx 4=0,则x4, 因为*e0引所以。2，印eo,解得 3· .3分 coSx 当0<x<胥时，cosr> 分则4，即<0， 上单调递减. 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1,>4,即f()>0: 当<x<时，cor<，则o> 所以f(x)在32上单调递增。 .5分 π元 所以，f(x)的单调递减区间为 单调递增区间为3'2： 6分 2已知)=amr-ax0引 由f(x)+2sinx>0可得ar-ax+2six>0' 设s()mr-a+2imxe0 则s'(x)= 1 cos2x -a+2cosx, 若。>3则0)=3-a<0,故存在%∈0引， 使得x∈(0，xo)s'(x)<0: 故s(x)在(0，o)上为减函数，故x∈(0，)，总有s()<s(0)=0,矛盾： 故a≤3， ,.9f 而当a≤3时，tanr-ax+2sinr≥tanr-3x+2sinx, 设u(x)=tanr-3x+2sinx,x∈ u(x)=--3+2cosx-cosx+cosx+--3 cos2x cos-x 1 >3cosx×cosx× -3=0, cos2x 故u在0写到为箱面数.故u(0)=0即mr-3+2sr>0 故tanr-ax+2sinr>0即原不等式成立. 综上，a≤3,12分 吟F(y=sin-rre02】 F(x)=2sinxcosxtanx+tan'x-3x2=2sinx+tan'x-3x2 由(2)可知，当a=3时，tanx+2sinr>3x, 则tan2x>(3x-2sinx. …………………14分 F(x)=2sin'x+tan'x-3x2>2sinx+(3x-2sinx)-3x2=6sin2x-12xsinx+6x2=6(sinx-x)>0 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为F)>0,所以F)在0 上单调递增，所以F(x)>F(O)=0: 即sin2 c.tanx>x3. 17分 19.【详解】(1)依题意，当点P位于上、下顶点时，△PAB面积最大， 则2×2a-b=22, 得b=22· 2分 又因为2a=4, 所以a=2,b=V2, x2 y2 故椭圆C的标准方程为+2.4分 (2)(i)直线PA平行于直线OM,理由如下： 由(1)知，a=2,则A(-2,0),B(2,0).设点P(o,),%≠0， +=1 则直线MP的方程为4+2 5分 2+M=1, 令x=2,有4+2 得=2五 y· 在，如经5 xy 2 Yo x0+2 2y 刚koM12二。(xo+2)(2-xo)· …… 7分 2y0 因为点p在椭圆上，满足至+号=1，即=2-。 42 2 代入得kp4」 4-=1 koM(x+2)(2-x)4-x 显然直线PA与OM不重合，故直线PA平行于直线OM.9分 (ⅱ)因为直线PA平行于直线OM, 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 所以5now=S,no=S.0o-5o=2x2e-. 设点M的坐标为(2，m）,m≠0， 琴+=1，代入点M的坐标得+m=2,故名=2-m% 椭圆在点p处的切线方程为4+2 代入椭圆方程6+2=4得4-4m+m+2听=4， 4m 整理得%= m2+2, 故x=24m2 m2+2’ 12分 4m 则m=出。=m2+2 1 x。-2-4m2 m2+2 故-2 m' 又PA∥oM: 所以，=kow=四 2 故直线P4的方程为x=斤y-2,直线OB的方程为x=- 2 m 2+2 14分 4 8m 联立得。2mm+4, m'2 8m 41m SP№M m2+4m2+2 故BM 4m2 (m2+4)m2+2） 4 m248 ≤6-4V2 当且仅当m2=2W2时等号成立， SP№M 故TBM的最大值为6-4N2: 17分 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） ■ 1 [A][B]IC][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A][B][C]D] 11[A][B][C][D] 舒 三、填空题（每小题5分，共15分) 相 12 13 14. 剂 请在各题目磨靆！内，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度−预测温度，单位：℃），数据如下：，，1，0，，1，1. 下列关于这7天预测误差的统计描述中，正确的是（ ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的平均数是0 C．这组数据的极差是5 D．这组数据的中位数是0 4．向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（    ）    A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．函数的两个极值点，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（ ） A．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量，则 D．若事件满足，则 10．设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 11．已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．对任意，，且，都有 B．对任意，，都有 C．设符号表示不超过的最大整数，可能为，0，1 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在上的单调递增区间是_______． 13．甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出2个球.设X为从乙袋中取出的红球数，则______． 14．已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角 ；(2)若，，求的面积． 16．（15分）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，． (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 17．（15分）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 18．（17分）已知． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若 ，求实数a的取值范围； (3)证明： 19．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点（异于点，），，的面积最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)点为直线上一点（不在坐标轴上），若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （ⅱ）过点作直线交直线于点，且，求的最大值． 附：过椭圆上一点的切线方程为． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $·: 2026年秋季高三开学学情自测卷 O O 数学 : : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： : .! 。 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 4.考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题共58分） : : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 : 1.已知i为虚数单位，则复数(1-i)在复平面内对应的点位于() : A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|0<x<4,则A∩B=() 0 A.(0,3] B.[-1,4) C.{1,2,3} D.{1,3} 3.为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度-预测温度，单位：℃）， 数据如下：-3，-2,1,0，-2,1,1.下列关于这7天预测误差的统计描述中，正确的是（) : : A.这组数据的众数是-2 B.这组数据的平均数是0 照 C.这组数据的极差是5 D.这组数据的中位数是0 : 4. 向量a,b,e,e2在正方形网格中的位置如图所示，则向量b-a=() : : A. 2e-4e B.-2e1-3e2 C.2e-3e D. 2e+3e 5.若1-c0s28 sin20 3,则cos26+sin28=() : A. B.1 D.2 试题第1页（共6页） 6学科网·上好课 6.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,其准线与x轴交于点K,以F为圆心，FK为半径的圆与抛物线C在 第一象限的交点为P,则△PF的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 7.在菱形ABCD巾，已知AB-25,∠B4D-号沿BD将ABCD折起，得到E枝锥C-ABD,使=面 角C-BD-A的余弦值为}，若球0与三棱锥C-A8D的各条棱均相切，则球O的表面积为（） A.6π B.12元 C.18π D.24元 8.函数f(✉)=二+x+b(a∈Rb∈R)的两个极值点5，与满足<为≤3，则与+2的最大值为() A B.31n2 D.5In2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是() A.在回归分析中，决定系数R的值越接近1，模型的拟合效果越好 B.若随机变量X,Y满足Y=2X-1,则E(Y)=2E(X) 。若随机变红《升则p)= D.若事件MN满足P=子P(=片P(M)-行则Pa-号 10.设为等差数列a}的前u项和，且S>(ueN),若<-1，则() ntl n 4012 A.Sn的最大值是S113 B.Sn的最小值是S2 C.S2023<0 D.S2024>0 1.已知函数)：1中时ceR),则以下结论正确的是() A.对任意5，∈R,且≠x,都有(：-x)[f()-x)]>0 B.对意，专e0m,常有儿：色：生) 2 C.设符号[x]表示不超过x的最大整数， 1+ 可能为-1,0,1 D.不等式e)宁的解华为m[妈 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 试题第2页（共6页） ò学科网·上好课 12.函数y=sim2x- 6 在(0，π)上的单调递增区间是 13.甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋， 再从乙袋中随机取出2个球设X为从乙袋中取出的红球数，则E(X)= 已知双曲线C:名1(0，b>0)的左，石顶点分别为A,5,左、石焦点分别为见 D为双曲线C上一点，若DA,DB的斜率之积为，DR,DR的斜率之积 135,且△DR的面积为4Wi0 16 则a= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分)记aABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知C-2b)cos4+口+B- -=0. 2b (1)求角A;(2)若a=6,b+c=9,求△ABC的面积. 16.(15分)如图，在三棱柱ABC-A,BC1中，侧面A4CC⊥底面ABC,D为AC中点，过点A,B,D 的平面与BC交于点E,AC=A4=2,∠AAC=60°，AB=BC=√2 (I)求证：E为BC的中点： (2)设G是线段4B上一点（不包含线段端点），若平面4GC与平面4BC所成的角是60，求 4B的值. G 17.（15分)在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源 汽车销量继续走高.为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从 购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分X(单位：分， 总分100分)制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分X [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 10 15 20 30 15 10 试题第3页（共6页） (1)在抽取的样本中，若区间[40,50)内数据的方差为5，区间[50,60)内数据的方差为10，求区间[40,60)内 : 数据的方差2； 0 : : (②)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分X近似地服从正态分 布N(4,σ)，其中μ近似为样本平均数x,o近似为样本的标准差s,并求得s≈14.31.若该市恰有1万 名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间(41.88,84.81]的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4$店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则 如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽 奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金， : O 张 其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）.己知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为Y,求 随机变量Y的分布列和数学期望 参考数据：若随机变量X~N(4,o),则P(u-o<X≤u+o)≈0.6827，P(u-2o<X≤u+2o)≈0.9545， P(-3o<X≤u+3o）≈0.9973. : 炸 8.(①7分)已知fG)=tar-m,aeR.xe0,7 (1)当a=4时，求函数f(x)的单调区间； ·: : (②若fa)+2inx0.xe0 求实数a的取值范围； (3)证明：sin2x.tanx>x3,x∈ 02 7分已知椭圆C名+》a>6>0的左、右顶点分别为4,8，点D为椭圆上一点异于点4： 世 B),AB=4,△PAB的面积最大值为2√2. O (1)求椭圆C的标准方程： (2)点M为直线x=a上一点（不在坐标轴上），若直线P与椭圆C相切于点P. (i)判断直线PA与直线OM的位置关系，并说明理由； (i)过点B作直线OB交直线PA于点Q,且s=2kg,求S的最大值. BM 疗+-10060a分上一点T,光)的切骏方程为告安学=1. 附：过椭圆+y 试题第4页（共6页） 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】复数， 在复平面内对应的点为，位于第三象限. 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 所以. 3．为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度−预测温度，单位：℃），数据如下：，，1，0，，1，1. 下列关于这7天预测误差的统计描述中，正确的是（ ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的平均数是0 C．这组数据的极差是5 D．这组数据的中位数是0 【答案】D 【详解】将这7天的预测误差的7个数据从小到大排序，可得，，，0，1，1，1. 对于A，统计数据中出现的次数为3次，且次数最多，所以众数是，错误； 对于B，统计数据的平均数为，错误； 对于C，统计数据的极差为，错误； 对于D，根据中位数的定义，可得统计数据的中位数为，正确. 4．向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图得，， 所以. 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ， 所以. 6．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为,准线与轴交于点, 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 圆与抛物线在第一象限的交点为，设，如图，作出符合题意的图形， 由，得，因为点在第一象限， 所以，即，显然，所以为直角三角形， 所以的面积为. 7．在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在菱形中，已知，，都是等边三角形， ，取的中点为，连接，则. 所以即为二面角的平面角，. 所以. 由余弦定理得. 所以，因此三棱锥所有棱长：， 所以三棱锥为正四面体. 所以棱切球的半径为，那么球的表面积为. 8．函数的两个极值点，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数定义域为， ，令得， 因为函数有两个极值点，则，得， 设，则且，代入，得， 所以， 设，， 设，， 在上恒成立，在单调递增，， 从而，在单调递增，， 故的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（ ） A．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量，则 D．若事件满足，则 【答案】ACD 【详解】对于A，回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力，越接近1， 说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，A正确； 对于B，根据方差的运算性质，对任意常数，有， 本题中，因此，B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，由条件概率性质，， 因此，故D正确． 10．设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为为等差数列的前项和，可得， 又因为，可得， 即，可得，所以数列为递增数列， 因为，且数列为递增数列，可得且， 由， 对于A，因为数列为递增数列，所以无最大值，所以A不正确； 对于B，由，可得时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以D正确. 11．已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．对任意，，且，都有 B．对任意，，都有 C．设符号表示不超过的最大整数，可能为，0，1 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】对于A. ，因为，则是奇函数， 当时，在单调递增；则在也单调递增， 又因时函数有定义，则在R上单调递增，即对任意，，且，都有，A正确； 对于B．当时，， 则， 由， 因为，所以分母恒为正；分子 ，故， 即，当且仅当 时取等号，B正确； 对于C．，即， 当时，；当时，； 即只能取，不能取到，C错误； D．①当 时，，， ，因，则可得，解得； ②当 时，，， ，因，则可得，解得. 综上可得，的解集为，D 正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在上的单调递增区间是_______． 【答案】 【详解】由， 得， 当时，在上的单调递增区间为， 当时，在上的单调递增区间为， 故答案为：． 13．甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出2个球.设X为从乙袋中取出的红球数，则______． 【答案】 【详解】设事件为“从甲袋中取出的球为红球”，则为“从甲袋中取出的球为白球”， 由题意得， 若发生，则此时乙袋中有2个红球，2个白球， 记此时从乙袋中取出的红球数为，则的可能值为， 则， 若发生，则此时乙袋中有1个红球，3个白球， 记此时从乙袋中取出的红球数为，则的可能值为， 则， 所以. 14．已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 【答案】 【详解】，可得，， 设,则，解得， 因，则， 由，可得， 又因， 可得， 即， 即，即， 依题意，， 代入，得到， 解得，又，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角 ； (2)若，，求的面积． 【详解】（1）已知， 由余弦定理，则， 代入可得：. 3分 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 整理得：， 6分 根据两角和的正弦公式，即， 因为，所以得，解得， 8分 又因为，所以. 9分 （2）已知，，， 由余弦定理，代入得， 所以， 11分 则面积为：. 13分 16．（15分）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 【详解】(1)在三棱柱中，平面平面， 而平面平面，平面平面， 得. 2分 ，， 为中点， 为中点． 4分 （2）连接，且为中点，. 在 中，由余弦定理可知. 故在中，，即. 6分 平面 平面，且平面平面，平面， 得平面， 8分 故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则. 9分 平面的一个法向量， 10分 设，其中. ，. 设平面的法向量 . 令，， . 故 ， 13分 . 即，解得，故． 15分    17．（15分）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 【详解】（1）由题意，； 2分 （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 3分 由于 ， 5分 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为． 6分 （3）由题意，Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000， 7分 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 9分 则，， ， ，， 12分 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 14分 所以. 15分 18．（17分）已知． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若 ，求实数a的取值范围； (3)证明： 【详解】（1）已知， 则． 1分 令，即，则， 因为，所以，即，解得． 3分 当时，，则，即， 所以在上单调递减． 当时，，则，即， 所以在上单调递增． 5分 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为． 6分 （2）已知，由可得， 设，则， 若，则，故存在，使得，， 故在上为减函数，故，总有，矛盾； 故， 9分 而当时，， 设，则 ， 故在为增函数，故即， 故即原不等式成立. 综上，， 12分 (3)令， ． 由（2）可知，当时，， 则. 14分 所以 ． 因为，所以在上单调递增，所以， 即． 17分 19．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点（异于点，），，的面积最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)点为直线上一点（不在坐标轴上），若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （ⅱ）过点作直线交直线于点，且，求的最大值． 附：过椭圆上一点的切线方程为． 【详解】（1）依题意，当点位于上、下顶点时，面积最大， 则，得． 2分 又因为， 所以，， 故椭圆的标准方程为． 4分 (2)（ⅰ）直线平行于直线，理由如下： 由（1）知，，则，．设点，， 则直线的方程为． 5分 令，有， 得． 又， 则． 7分 因为点在椭圆上，满足，即， 代入得， 显然直线与不重合，故直线平行于直线． 9分 （ⅱ）因为直线平行于直线， 所以． 设点的坐标为，， 椭圆在点处的切线方程为，代入点的坐标得，故． 代入椭圆方程得， 整理得， 故， 12分 则， 故． 又，所以， 故直线的方程为，直线的方程为． 14分 联立得， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为． 17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度−预测温度，单位：℃），数据如下：，，1，0，，1，1. 下列关于这7天预测误差的统计描述中，正确的是（ ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的平均数是0 C．这组数据的极差是5 D．这组数据的中位数是0 4．向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（    ）    A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．函数的两个极值点，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（ ） A．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量，则 D．若事件满足，则 10．设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 11．已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．对任意，，且，都有 B．对任意，，都有 C．设符号表示不超过的最大整数，可能为，0，1 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在上的单调递增区间是_______． 13．甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出2个球.设X为从乙袋中取出的红球数，则______． 14．已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角 ；(2)若，，求的面积． 16．（15分）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，． (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 17．（15分）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 18．（17分）已知． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若 ，求实数a的取值范围； (3)证明： 19．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点（异于点，），，的面积最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)点为直线上一点（不在坐标轴上），若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （ⅱ）过点作直线交直线于点，且，求的最大值． 附：过椭圆上一点的切线方程为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $