第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式核心知识，通过基础巩固与现实情境应用的梯度设计，适配新授课检测，强化数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、解法|基础辨析，如1题考查不等式基本性质| |多选题|3/18|均值定理、二次不等式|概念辨析，如9题验证不等式成立条件| |填空题|3/15|最值问题、含参不等式|技能应用，如12题利用均值求最小值| |解答题|5/77|含参不等式、实际优化|综合应用，如16题广告设计面积优化，体现模型意识；19题花坛路径问题强化运算与推理|

第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（16-17高二上·甘肃兰州·阶段检测）设a，b，c∈R，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若， 则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】取特值可否定BCD,利用不等式的基本性质可知A正确. 【详解】当时，BD都不正确，当时C错误，由不等式的基本性质得A正确； 故选：A 2．（20-21高二上·广东中山·阶段检测）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用不等式的性质逐一判断可得答案． 【详解】对于A，可得，错误； 对于B，当时，，错误； 对于C，可得，错误； 对于D，可得，正确； 故选：D 3．（第08讲二次函数与一元二次方程、不等式（八大题型 思维导图 知识梳理 课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册））不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先将不等式变形为，再求出变形后的一元二次不等式的解，即可得解. 【详解】原不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选： 4．（第08讲二次函数及二次方程、二次不等式（培优讲义）新高一数学人教A版）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：，则，化简得：， 等价于，解得：， 所以不等式的解集为. 5．（23-24高一上·河北·阶段检测）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】∵，，， ∴（当且仅当即，时取“=”）. 故选：C 6．（25-26高一上·广东清远·期中）已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】，，，. 故选：C. 7．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】不等式对一切实数都成立，按照和讨论求解， 当时， ，计算求出的范围，利用充分条件和必要条件的定义得到结论. 【详解】不等式对一切实数都成立， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式对一切实数都成立， ，，， 综上可知，不等式对一切实数都成立，则； 则“”是“为真命题”的充分不必要条件. 故选：A. 8．对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即解得故实数的取值范围是 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是(　　) A.对∀a，b∈R成立 B.若a>0，b>0且a≠b，则a+b>2 C.对∀a，b∈R，a2+b2≥2ab D.若x>2，则x+≥2中可以取等号 答案　BC 解析　A项，当a=-1，b=-1时，不等式不成立； D项x+≥2=2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号. 10．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为{x|x<2} C． D．的解集为 【答案】BCD 【分析】由的不等式的解集得到或是的两根，且，根据根与系数的关系得到，分别代入选项一一求解即可. 【详解】的不等式的解集或， 或是的两根，且，故选项A错误； ，，，， ，，，的解集为，故选项B正确； ，，故选项C正确； ，，，， ，， 的解集为，故选项D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知正实数满足，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值为6 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】选项A，从解出，即可得解；选项B，由已知得到 ，利用基本不等式求解；选项C，由，直接使用基本不等式求解； 选项D，由已知得到，代入，利用求解. 【详解】选项A，，， ，，，，，， ，，，，故选项A正确； 选项B，，，， ，，，当且仅当时取等号， 即，解得，的取值范围是，故选项B错误； 选项C，，，， ，，， 当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为，故选项C正确； 选项D，，，， ，，，，， ，当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（20-21高二下·江苏苏州·期中）当时，求的最小值为___________. 【答案】10 【分析】化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】当时，， 当且仅当,即时等号成立. ∴的最小值为10. 故答案为：10. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知，，则实数a的取值范围是______． 【答案】. 【分析】利用二次函数的图像求解. 【详解】由题意知，解得． 故答案为：. 14．（专题05盘点均值不等式求最值的七种配凑方法-1）函数取得的最小值时，的值为___________． 【答案】4 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案. 【详解】.当且仅当，即时， 等号成立.故的最小值为6. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的解集为，得到的根为或，利用根与系数的关系求解即可； （2）由不等式的解集为，按照和两种情况讨论求解.当时，由不等式的解集为， 得到，计算得解. 【详解】（1）的解集为， 的根为或，且， ，， （2）不等式的解集为， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式的解集为， ，解得， 综上可知实数k的取值范围为. 16．（20-21高一上·上海黄浦·阶段检测）迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为， （1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值； （2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值. 【答案】（1）高为，宽为时，可使广告的面积最小为；（2）高为，宽为时，可使广告的面积最小为. 【解析】（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，所以，表示出广告的面积，利用基本不等式求出最小值即可； （2）由题，，解得，由（1）可得，利用对勾函数的单调性可得出广告面积的最小值． 【详解】（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，所以 广告的高为，宽为(其中) 广告的面积 当且仅当，即时，取等号，此时. 故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为 （2）由题，，解得 由（1）可得 当时，广告的面积最小为 故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为 【点睛】本题考查基本不等式解决实际问题，考查基本不等式和对勾函数求最值，考查学生审题能力，属于中档题． 17．（20-21高一·全国·课后作业）（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）7；（2）5． 【分析】（1）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值； （2）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）， 当且仅当时，等号成立，即． （2）， 当且仅当时，等号成立，即． 18．（21-22高一上·广东深圳·阶段检测）解关于的不等式：． 【答案】见解析 【分析】根据条件得，讨论与的大小,求解即可. 【详解】原不等式可化为， 讨论与的大小． （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式的解为； （3）当，即时，不等式的解为或. 综上：当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或. 19．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）设花坛的长为米，由花坛的宽与长之比为（），得到花坛的宽为米，由花坛的周长为120米和矩形花坛的面积为500平方米，建立和的等式，求解即可； （2）设花坛的长为米，得到花坛的宽为米，由题中条件得到，整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米，从而求得整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 花坛的周长为120米，， 矩形花坛的面积为500平方米，，联立， 解得，故花坛的宽为米. （2）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 矩形花坛的面积为500平方米，，，， ，， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积为， 展开得到，， ，， ，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小， 故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设a，b，c∈R，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若， 则 C．若，则 D．若，则 2．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 6．已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是(　　) A.对∀a，b∈R成立 B.若a>0，b>0且a≠b，则a+b>2 C.对∀a，b∈R，a2+b2≥2ab D.若x>2，则x+≥2中可以取等号 10．已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为{x|x<2} C． D．的解集为 11．已知正实数满足，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值为6 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．当时，求的最小值为___________. 13．已知，，则实数a的取值范围是______． 14．函数取得的最小值时，的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 16．迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为， （1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值； （2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值. 17．（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 18．解关于的不等式：． 19．如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $