专项训练09 一次函数中平移、最值、规律与新定义型问题（巩固培优）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 聚焦一次函数平移、最值、规律与新定义四大模块，以“口诀化方法+阶梯式题型”构建系统性训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移问题|2题|“左加右减，上加下减”，斜率不变|从图像变换规则到综合应用，强化几何直观| |最值问题|2题|定区间端点取值，单调性判断|结合函数性质，培养推理意识| |规律问题|2题|列前几项观察，建一次函数模型|从特殊到一般，发展抽象能力| |新定义问题|2题|翻译规则为常规表达式|构建数学模型，提升应用意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练09一次函数中平移、最值、规律与新定义型问题 知识复盘卡 【知识点1一次函数中平移问题】 平移：抓住“左加右减，上加下减” -左右平移：改变自变量x,向左移m个单位：y=k(x+m)+b:向右移m个单位：y=k(x-m)+b。 -上下平移：改变常数项b,向上移n个单位：y=kx+b+n;向下移n个单位：y=kx+b-n。 关键：平移不改变斜率k(两直线平行)。 【知识点2一次函数中最值问题】 最值：定区间内看端点（单调性） -一次函数y=kx+b在闭区间[m,n]上具有单调性(k>0增，k<0减)。 -最值必在端点处取得：最大值和最小值分别对应x=m或x=n。 - 注意：若区间是开区间或无穷区间，可能无最值（如x>0,k>0时无最大值）。 【知识点3一次函数中规律与新定义型问题】 规律与新定义：读懂规则，建立模型 -规律问题（找点列、面积、坐标变化）： -列出前几项（如n=1,2,3)观察规律： -用一次函数表示序号与数值的关系：y=kn+b,代两点求k,b。 -新定义型（自定义运算、变换、距离）： -核心：将新定义“翻译”成常规数学表达式（如绝对值、距离公式、坐标变换）； -然后转化为一次函数的性质（交点、取值范围、最值）求解。 -关键：遵循题目规则，不自己添加额外条件。 培优拓展训练 ★巩固提升练 1/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型1一次函数中直线平移的综合问题】 1在平面直角坐标中，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A与点B,过点B作BC⊥AB交x轴于点 3 C.过点C作y轴的平行线交AB于点D. (备用图) (1)求线段OA与OB的长度： (2)现将线AB沿A至C向右平移2个单位长度得线段EF(如图)，求线段AB在整个平移过程中扫过图形 的面积： (3)试探索在平移过程中，在直线CD上是否存在点M,使△MEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，若存 在，请求出所有符合要求的点E的坐标：若不存在，请说明理由， 2.在平面直角坐标系中，A(-5,a),B(b,5),C(c,n),且Va-1+(b+2)2+2c+4=0. B 图1 图2 (I)直接写出点A,B的坐标及C的值： (2)如图1，若三角形ABC的面积为9，求点C的坐标： (3)如图2，将线段AB向右平移个单位长度得到线段DE(点A与D对应，点B与E对应)，若直线DE 恰好经过点C,求m,n之间的数量关系. 【题型2一次函数中求线段和最值问题】 3.如图，点A(3,0)在x轴上，直线y=-x+6与两坐标轴分别交于B,C两点，D,P分别是线段OC, BC上的动点，则PD+DA的最小值为一 2/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4.如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于B、C两点. /=2x+4 1=2x+4 O 1=4 图1 图2 (1)求B、C两点的坐标， (2)若点A(x,)是第一象限内的直线y=2x+4上的一个动点，则当点A运动到什么位置（求出点A的坐 标)时，△AOB的面积是8. (3)在(2)成立的情况下，点P在线段BC上，且到x轴的距离为2、点O是直线x=4上的动点，如图2， 求OP+OA的最小值. 【题型3一次函数中的规律探究问题】 5.如图，过点4(L,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B,:点4，与点0关于直线4B对称；过点4，(2,0) 作x轴的垂线，交直线y=2x于点B2;点A,与点O关于直线A,B2对称；过点A作x轴的垂线，交直线 y=2x于点B:按B,此规律作下去，则点B的坐标为一，B,的坐标为一· B B2 3/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，直线y=x+2与y轴相交于点A,过点A作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点B,过点B作y 轴的平行线交直线y=x+2于点A,再过点A作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点B,过点B,作y轴的 平行线交直线y=x+2于点4，…，依此类推，得到直线y=x+2上的点A、4,4,…,与直线 y=0.5x+1上的点B,B2,B,…,则A,B的长为 A3 y=x+2 y=0.5x+1 A B3 B B2 A0 【题型4一次函数中的新定义型综合问题】 7我们规定：如果两个一次函数的图像都经过坐标轴上的同一个点，那么就称这两个一次函数互为“交轴 一次函数”，如：一次函数y=2x-3与y=-x-3的图像都经过y轴上的同一个点(0，-3)，所以这两个函 数为“交轴一次函数”，又如一次函数y=-×-2与y=3x+6的图像都经过x轴上的同一个点(-2,0)，所 以这两个函数为“交轴一次函数”· (1)一次函数y=3x+1与y=3x-1是否是“交轴一次函数”？若是，请说明理由；若不是，也请说明理由， 并写出其中一个函数的一个“交轴一次函数”. (2)已知一次函数”=-3x+3,y=-7x+3-b,若片与互为“交轴一次函数”，求b的值. 8.定义：在平面直角坐标系中，我们称直线y=ar+b(a,b为常数)是点P(a,b)的关联直线，点P(a,b)是 直线y=r+b的关联点；特别地，当a=O时，直线y=b的关联点为P(0,b). 如图，直线AB:y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B. 【定义辨析】 (1)直线AB的关联点的坐标是() 4/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(0,0)B.(0,4)C.(2,0)D.（-2,4) 【定义延伸】 (2)点A的关联直线与直线AB交于点C,求点C的坐标；； 【定义应用】 (3)点K,m)的关联直线与x轴交于点E,∠ABE=45°，求m的值. 7能力培优练 1,在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线y=x上的动点，A(2,0),B(4,0)是x轴上的两点，则 PA+PB的最小值为() V-X B A.2 B.4 C.25 D.35 ax+b(x≥0) 2.定义：对于给定的一次函数 v=ax+b ,（a、b为常数，且 。),把形如y= ≠ -ar-b(x<0)的函数称 为一次函数y=ax+b的“相依函数”，己知一次函数y=x+2,若点P(-2,m)在这个一次函数的“相依函 数”图象上，则m的值是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.如图，在平面直角坐标系中，点412 在过原点的直线1上，以点0为圆心，O4长为半径画弧交直 线，y=2x于点B,过点B作B4∥x轴交于点4：以点0为圆心，O4长为半径画弧交直线马于点B, 过点B作B,4,∥x轴交于点4：…按此规律，则点B,s的坐标为() B A2 5/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.（2023,2025）B.(2024,205） C.(2023,22m4） D.(202,2023） 4.如图，在Y面直角坐标系中，点p的坐标为2.0)，直线音+8与镇、)轴分别交于点A:B点 是直线AB上的一个动点，则线段P的最小值为一 B A OP 5.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中LABC=90°，AC=5,点B,C的坐标分别为(-L,0), (2,O),将△ABC沿x轴向右平移，当点A落在直线y=x-2上的点A时，线段AC的长为 C 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,1)在直线y=x+b上，过点A作A4B1x轴于点B,作等腰 直角三角形AB,B,(B,与原点O重合)，再以AB,为腰作等腰直角三角形A,AB,以4，B,为腰作等腰直 角三角形4，B,B,:按照这样的规律进行下去，那么4，s的坐标为 y=x+b A3 A2 A 7B1 O B3 B (B2) 7.如图，平面直角坐标系中，己知点A(1,5),B(2,4),点M在坐标轴上 6/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A(1,5) M主 B(2,-4) (I)直接写出A,B两点到y轴的距离分别为和一 (2)若点M在y轴上，求AM+BM的最小值； (3)若点M在x轴，当AM-BM最大时，求点M的坐标。 8.如图1，已知直线：y=cx+b交x轴于A(6,0),交y轴于B(0,6). B B A MO 图1 图2 图3 (1)求直线的表达式： (②如图2，直线CP的表达式为V2+C,点p为线段4B的中点，在直线CP上找一点Q,使得o0+A0 最小，并求出最小值： (3)如图3，己知点M(-2,0),点N(m,2m-6)为直线AB右侧一点，且满足∠OBM=∠ABN,求m的值. ★创新拓展练 1.如图，直线1的函数表达式为y=x-1,在直线1上顺次取点A(2,),4,(3,2),4(4,3),A,(5,4),…, A,(n+l,n),构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为S,S,S,…,S,则S6=一 7/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y A4/1 A3 3 A2 S3 12345 二、解答题 2.(1)【源于课本】 将一次函数y=-2x+6的图象沿着'轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：一： (2)【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数y=-2x+6的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应 的函数表达式.数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移.因此，只需要在图象上任取两点A,B,将 它们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点A,B的坐标，从而求出直线AB对应的函数表达式为： ②（轴对称探究）将图中一次函数y=-2x+6的图象关于y轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：一 B y=-2x+6 3.定义：若两个实数a,b满足a+b=ab,则a与b互为“和谐数”，点(a,b)为“和谐点”. (①若（2，)为“和谐点”，求k的值. 1 m+9 (②已知点(x,y)是关于x的一次函数y=-3x+3m-8和少=2x-2的图象的交点，是否存在实数m,使 2 点(x,y)为“和谐点”？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由。 4.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马” 【问题描述】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B A端点 P折点 图1 图2 【问题解决】 作点A关于直线的对称点A',连接PA',则PA'=PA,所以PA+PB=PA+PB,当A'、P、B三点共线的 时候，PA'+PB=AB,此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 (1)如图，在Rt△AB0中，∠OBA=90°，A(4,4),点C在边AB上，且AC:CB=1:3,点D为OB的中 点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，则四边形PDBC周长的最小值为一· B (2)如图，长方形ABCD中，AB=8,BC=4,点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且 AE=CG,BF=DH,求四边形EFGH周长的最小值？ E D 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数y=x(k>0)的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0,4)，P为y 轴上的一个动点，M、N为函数y=a(k>O)的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为一· 5.定义：在平面直角坐标系中，将直线Ly=ax+b(b≠0)的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 k(k>0)倍，得到新的直线L2,则称直线L2为直线L的“k倍伴随线”· 9/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【定义辨析】 (1)若点P(1,2)在L1上，则下列四个点①(0,0)、②(2,4)、③(-2，-4)、④3,6)，在L1的“k倍伴随 线”L2上的点有一一（填序号）； (2)下列函数图像是直线y=x+1的“2倍伴随线”的是()； 11 A.y=2x+2 B.y=x+2 C.y= 2x+2D.y=是x+ 44 【定义延伸】 (3)若直线Lh=ar+b1的“k倍伴随线”记为L2y2=a2r+b2.现给出两个关系式：①ka1=a2;② =b2.其中正确是是一一（填序号）： 【定义应用】 (4)如图，己知直线Ly=-x+1与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点 C,能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值. yA B A 10110 专项训练09 一次函数中平移、最值、规律与新定义型问题 【知识点1 一次函数中平移问题】 平移：抓住“左加右减，上加下减” - 左右平移：改变自变量x，向左移m个单位：y = k(x+m) + b；向右移m个单位：y = k(x-m) + b。 - 上下平移：改变常数项b，向上移n个单位：y = kx + b + n；向下移n个单位：y = kx + b - n。 - 关键：平移不改变斜率k（两直线平行）。 【知识点2 一次函数中最值问题】 最值：定区间内看端点（单调性） - 一次函数y = kx + b在闭区间[m, n]上具有单调性( k > 0增，k < 0 减）。 - 最值必在端点处取得：最大值和最小值分别对应x = m或x = n。 - 注意：若区间是开区间或无穷区间，可能无最值（如x > 0 ，k>0时无最大值）。 【知识点3 一次函数中规律与新定义型问题】 规律与新定义：读懂规则，建立模型 - 规律问题（找点列、面积、坐标变化）： - 列出前几项（如 n=1,2,3）观察规律； - 用一次函数表示序号与数值的关系：y = kn + b，代两点求k,b。 - 新定义型（自定义运算、变换、距离）： - 核心：将新定义“翻译”成常规数学表达式（如绝对值、距离公式、坐标变换）； - 然后转化为一次函数的性质（交点、取值范围、最值）求解。 - 关键：遵循题目规则，不自己添加额外条件。 【题型1 一次函数中直线平移的综合问题】 1.在平面直角坐标中，直线分别与x轴、y轴交于点A与点B，过点B作交x轴于点C．过点C作y轴的平行线交于点D． (1)求线段与的长度； (2)现将线沿A至C向右平移2个单位长度得线段（如图），求线段在整个平移过程中扫过图形的面积； (3)试探索在平移过程中，在直线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在，或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、平移性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线求解是解答的关键． （1）求得点A、B坐标即可求解； （2）根据平移性质得到线段在整个平移过程中扫过图形是平行四边形，且，利用平行四边形的面积公式求解即可； （3）设平移距离为b，则，，设，利用勾股定理求得，则设，分当M在下方时和当M在上方时两种情况，利用全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形列方程求的b值即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，则， ∴； 当时，由得， 则， ∴； （2）解：连接， 根据平移性质，线段在整个平移过程中扫过的图形是平行四边形，且， ∴线段在整个平移过程中扫过图形的面积为； （3）解：存在．理由如下， 设平移距离为b，则，， 设，由题意，，， ∴， 解得， ∴设， 当M在下方时，如图，过M作轴，过E作轴交于P，过F作轴交于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得，则； 当M在上方时，如图， 同理可证，， ∴，， 解得，则， 综上，满足条件的点E的坐标为或． 2.在平面直角坐标系中，，，，且． (1)直接写出点A，B的坐标及c的值； (2)如图1，若三角形的面积为9，求点C的坐标； (3)如图2，将线段向右平移m个单位长度得到线段（点A与D对应，点B与E对应），若直线恰好经过点C，求m，n之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【知识点】坐标与图形、一次函数图象平移问题、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）由，可得，计算求解，然后作答即可； （2）由，，可知轴，则，计算求解，然后作答即可； （3）待定系数法求直线的解析式为，则平移后的解析式为，将代入得，，整理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴，，； （2）解：∵，， ∴轴， ∴， 解得，或， ∴或； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴平移后的解析式为， 将代入得，，整理得，． 【题型2 一次函数中求线段和最值问题】 3．如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 【详解】解：作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，，连接，如图所示： 则的最小值即为的长度， 点在轴上， 点坐标为， 直线与两坐标轴分别交于，两点， 令，则， 点坐标为， 令，则， 点坐标为， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 4．如图，直线与轴、轴分别交于、两点． (1)求、两点的坐标． (2)若点是第一象限内的直线上的一个动点，则当点运动到什么位置（求出点的坐标）时，的面积是． (3)在（2）成立的情况下，点Р在线段上，且到轴的距离为、点是直线上的动点，如图，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数综合，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，勾股定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键． （1）分别令与为求出对应与的值，即可求出、两点的坐标； （2）根据三角形面积公式，可得的值，将代入直线，得到，即可确定出的坐标； （3）先利用一次函数的性质求得，作关于的对称点，连接，当、、三点共线时，的值最小，进而利用勾股定理及轴对称的性质即可得解． 【详解】（1）解：， 令，得到； 令，得到，解得， ∴，； （2）解：由（1）知， ， 点是第一象限内的直线上，且，即 ， 当时，得， ∴， ； （3）解∶令中，，则， 解得， ∴， 如图，作关于的对称点，连接，当、、三点共线时，的值最小， ∵，， ∴的最小值：． 【题型3 一次函数中的规律探究问题】 5．如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质． 先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点、的坐标． 【详解】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点， ∴将代入得， ∴点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，同理可得的坐标为， 点与点关于直线对称． 故点的坐标为，同理的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，同理点的坐标为． 故答案为：，． 6．如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 【题型4 一次函数中的新定义型综合问题】 7.我们规定：如果两个一次函数的图像都经过坐标轴上的同一个点，那么就称这两个一次函数互为“交轴一次函数”，如：一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，所以这两个函数为“交轴一次函数”，又如一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，所以这两个函数为“交轴一次函数”． (1)一次函数与是否是“交轴一次函数”？若是，请说明理由；若不是，也请说明理由，并写出其中一个函数的一个“交轴一次函数”． (2)已知一次函数，，若与互为“交轴一次函数”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见详解，一次函数与是“交轴一次函数” (2)与互为“交轴一次函数”时，的值为或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据一次函数以坐标轴的交点坐标的计算方法，“交轴一次函数”的定义即可求解； （2）根据与互为“交轴一次函数”，分类讨论，①当与的图像都经过轴上的同一个点时，即；②当与的图像都经过轴上的同一个点时，即；由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，在中，令时，；令时，； ∴一次函数与轴的交点为，与轴的交点为； 同理，一次函数中，令时，；令时，； ∴一次函数与轴的交点为，与轴的交点为； ∴一次函数与的图像与轴的交点不同，与轴的交点不同， ∴一次函数与不是“交轴一次函数”； 当时，则时，， ∴一次函数中，函数值，即一次函数与的图像都经过轴上的同一个点， ∴一次函数与是“交轴一次函数”． （2）解：∵一次函数，，若与互为“交轴一次函数”， ①当与的图像都经过轴上的同一个点时，即， ∴在中，， ∴一次函数，的图像都经过轴上的同一个点， ∴在中，，解得，； ②当与的图像都经过轴上的同一个点时，即， ∴在中，， ∴一次函数，的图像都经过轴上的同一个点， ∴在中，，解得，； 综上所述，与互为“交轴一次函数”时，的值为或． 8．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 1．在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 【详解】解：由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示： ， 在和中 ∴， ∴， ∵点， ∴ ∴， 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， ， ∴, 在中，，利用勾股定理得 ， 故选：C． 2．定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数的函数值，正确理解一次函数的“相依函数”的定义是解题关键．先求出一次函数的“相依函数”，再将代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：一次函数的“相依函数”为， ∵点在一次函数的“相依函数”图象上，且， ∴， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在过原点的直线上，以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；…按此规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标、正比例函数的图象与性质、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用正比例函数的性质是关键．依据题意，由，则，，结合在直线上，设，可得，则，同理可得，，，，，，最后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ∴， ∵在直线上， ∴可设， ∵， ∴， ∴（负值舍）， ∴， 又∵轴， ∴纵坐标为1， ∴代入，得， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，，，． ∴当时，． 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点P作于点M，根据垂线段最短，当点Q 与点M重合时，取得最小值，利用三角形面积不变性，列式解答即可． 本题考查了垂线段最短，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握垂线段最短，是解题的关键． 【详解】解：连接，过点P作于点M，根据垂线段最短， 当点Q 与点M重合时，取得最小值， ∵直线与轴、轴分别交于点，， ∴,, ∴, ∴, ∵点的坐标为， ∴, ∵, ∴, 故答案为：． 5．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上的点时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，勾股定理等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由，则，又由勾股定理得，故，又设平移距离为，平移后点的坐标为，点的坐标为，又点在直线上，故，可得，则，进而计算可以得解． 【详解】解：， ， 设平移距离为， 平移后点的坐标为，点的坐标为， 又点在直线上， ． ∴， ， 线段的长为， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解． 【详解】解：由题意可得：点在x轴上，且， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线为， ∴，，， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 7．如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【答案】(1)1，2 (2)的最小值为． (3) 【分析】（1）根据点到y轴的距离为即可得出答案； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时达到最小，且最小为，过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，然后利用勾股定理求得答案即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后再求出直线与轴的交点即可． 【详解】（1）解：已知点，， 到y轴的距离为，到y轴的距离为2； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 关于轴对称，， ，， ， 取得最小值，且最小值为， 过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点， ， ，， ，， ， 的最小值为． （3）解： 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为， 关于轴对称，， ， 设直线为，代入， ， ， 直线为， 当时，，解得， 故． 8．如图1，已知直线：交轴于，交轴于． (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线的表达式为，点为线段的中点，在直线上找一点，使得最小，并求出最小值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为 (3) 【分析】（1）把，代入，即可求解； （2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的解析式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解； （3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 故直线的表达式为． （2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小， 理由：， 设交于点，则点是的中点， ∵，，点为线段的中点， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 令，则， 解得：， 即点的坐标为； 则， 设点的坐标为，则，， 在中，， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故点的坐标为； 又∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∴； 即最小值为． （3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图： 则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在直线上， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵点在直线上，故当时，， 即点的坐标为， ∴， 解得． 1．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 二、解答题 2．（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了一次函数平移，对称的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）由平移的性质即可求解； （2）①先求出函数图像平移后的解析式，再根据图象的平移就是点的平移即可求解； ②一次函数的图象关于轴对称，将x替换为即可求解． 【详解】解：（1）由平移的性质知，平移后的函数表达式为：， 故答案为：； （2）①一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式为：， 图象的平移就是点的平移， 直线对应的函数表达式为； ②一次函数的图象关于轴对称， 函数上的点的坐标横坐标为相反数，纵坐标相等， 将x替换为，， 故答案为：． 3．定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值． (2)已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，新定义运算． （1）根据“和谐点”的定义列式计算即可； （2）先求出，进而求出，根据“和谐点”的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ， ； （2）解：存在． 是关于的一次函数和图象的交点， ， 解得． 将代入，得． 点为“和谐点”， ， 解得， 存在的值为，使点为“和谐点”． 4．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 【答案】应用模型：（1）；（2）；拓展延伸： 【分析】应用模型：（1）根据已知条件得到，求得，得到，，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时四边形周长最小，，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值； 拓展延伸：如图所示直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N，此时最小（垂线段最短），在中利用勾股定理即可解决． 【详解】解：【应用模型】（1）解：∵，， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，四边形周长最小，，且四边形周长的最小值为， ∵， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，， 过点G作于点，则如图所示． ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可证, ∴． 答：四边形周长的最小值为； 【拓展延伸】如图所示，直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N， ∵， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，， ∴，． ∴的最小值为． 故答案为：． 5．定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点①、②、③、 ④，在的 “k 倍伴随线”上的点有______（填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（    ）； A． B． C． D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， 设直线的“k倍伴随线”为， 将横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， 为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 综上所述，或3 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $