第六章数列第6节 数列的综合应用基础练-2026届高三数学一轮复习

第六章 数列 第六节 数列的综合应用 知识点 69 等差数列与等比数列交汇 回归教材 解决等差数列与等 比数列综合运算问 题的两个处理思路 (1)利用基本量,将多元问题转化为一元或两元问题,通过建立方程或方程组来解决；(2)采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法求解,即首先根据已知的数列等式求得相关的 项,然后利用等差数列与等比数列的通项公式和前 项和公式求解. 等差数列与等比数 列相互转化问题 (1)若数列 为等差数列,公差为 ,则数列 为等比数列,其公比为 ；(2)若正项数列 为等比数列,公比为 ,则数列 为等差数列, 其公差为 . 教材素材变式 1.[苏教选必一P183本章测试第9题变式] 已知公差不为0的等差数列 中， 是 和 的等比中项。 （1）求数列 的通项公式； （2）保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 （）之间插入 个 ，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，求 的值。 · · 2.[苏教选必一P154习题4.2(2)第8题变式] 已知等差数列 的前 项中，奇数项和比偶数项和多 ，且 。 (1) 求数列的通项公式； (2) 在 和 之间插入 个 ，构成新数列 ，求 的前 项和 。 3.[人A选必二P32例5变式]已知数列 的各项均为正数， 为 的前 项和。从下面 ①、②、③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立。 ① ； ② 数列 是等差数列； ③ 数列 是等比数列。 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。 · 知识点 70 数列与其他知识交汇 回归教材 数列与集合 交汇 此类试题解答的关键是分析集合中可构成数列的这些元素的构成规律, 进而确定出这些具体的元 素或由这些元素构成的数列的通项公式, 进而利用数列知识求解. 数列与函数 交汇 主要有以下两类:①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般借助函数的性质、图象进行研究；②已知 数列条件,解决函数问题,此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对式子进行化简变形. 数列与不等式 交汇 主要是指数列不等式的证明, 或与数列有关的比较大小问题, 以及恒成立问题, 求解时需注意放缩 法的应用. 数列与概率 交汇 此类问题一般以概率为主体,通过概率 与 之间的关系,构造等比数列,求出通项公式,或者 借助数列的单调性,求解最值. 教材素材变式 1.[人A选必二P23例9、P24练习第4题变式] 已知等差数列的公差，为其前项和。若，且，则集合中元素的个数为（ ） A. 4049 B. 4048 C. 4047 D. 4046 2.[人B选必三P59复习题B组第7题变式] 已知数列的前项和为，且满足：，当时，。 当为奇数时， （用含的式子表示）； 。 3.[人B选必三P60复习题C组第1题变式] 某系统使用A、B、C、D四种不同的安全密钥，每周更换一次。更换规则如下： 1.每周必须更换密钥； 2.新密钥必须从上周未使用的三种密钥中随机选择； 3.已知第1周使用密钥A。 设第n周使用密钥A的概率为Pₙ，第n周使用密钥B的概率为Qₙ。则： (1) Qₙ = ______（用含n的式子表示）； (2) lim(n→∞) Pₙ = ______。 4.[人B选必三P59复习题B组第9题变式] 已知数列满足，（），数列满足，记的前项和为。若对任意恒成立，则实数的取值范围为________________。 1. 5.[人A选必二P52习题4.4第6题变式] 已知等差数列的公差，前项和为，且，，成等比数列。 (1) 求数列的通项公式； (2) 若，判断与的大小关系，并证明。 · 6.[苏教选必一P169习题4.3(2)第12题变式]求证：对于任意正整数，有（）。 知识点 69 等差数列与等比数列交汇 1. 解： （1）设等差数列的首项为，公差为（），则： ， 由题意，是和的等比中项，即： 代入得： 展开整理： 由于，故。 因此，通项公式为： （通常取，即，但题目未限制，可保留一般形式。） （2）构造新数列： 原数列 在和之间插入个 计算前项： 1.原数列的项数：设为最大的使得 即，前个间隔共插入个，但仅计算前项，故： 包含（共项） 插入的的个数：个 2.求和： 原数列的项和： 插入的个的和： 故 2. 解： (1) 设首项为，公差为。由题意： 1.奇数项和：奇 2.偶数项和：偶 3.差值条件：奇偶 4.公差条件： 解得：代入，得（舍去正解矛盾，修正为偶奇） 若偶奇，结合，得。 通项公式：，由奇（假设和分配），得。 答案： (2) 新数列结构： 原数列前项占用项，包含： 前项到和： 插入的的个数：（前间隔插入个，第项为前个） 3. 解： 组合1：选择①和②，证明③成立 已知：，且是等差数列。 证明：是等比数列。 1.由是等差数列，设其公差为，则： 。 2.当时，，即从第2项起为常数列。 3.由，得，因此（对所有）。 4.此时是公比的等比数列。 结论：③成立，是常数列（特殊的等比数列）。 组合2：选择①和③，证明②成立 已知：，且是等比数列。 证明：是等差数列。 1.设的公比为，则，解得（舍去，因各项为正）。 2.因此为常数列，，。 3.是公差为的等差数列。 结论：②成立，是等差数列。 组合3：选择②和③，证明①成立 已知：是等差数列，且是等比数列。 证明：。 1.设的公比为，则（时）。 2.由是等差数列，必须为常数，故仅当时成立。 3.此时为常数列，。 结论：①成立，。 知识点70 数列与其他知识交汇 1.答案：A 解析： 条件分析 求和性质：由。 通项公式：。 代入已知：，代入得，故，。 求和公式 。 解方程 （舍去）或。 2.答案： （1）； （2）。 解析： （1）递推关系求解： 由递推式，分奇偶讨论： 为奇数时（设）： 。 结合，递推得，，故，，归纳得。 用表示：，故。 （2）求： 由，当（奇数）时： 。 由（1）得， ， 故。 3.答案： (1) (2) 解析： (1) 建立递推关系：由于每周必须更换密钥，且从上周未使用的三种中等概率选择： 若第周使用A（概率），则第周选择B的概率为； 若第周不使用A（概率），则第周选择B的概率为。 因此， 通过对称性可知，最终解得： (2) 求极限：当时，项趋近于0，因此： 4.答案： 解析： 1.求通项公式：由递推式，构造齐次方程特征根为2，特解设为，解得。故通项公式为。 2.确定表达式： 3.求：分组计算奇数项和偶数项： 4.建立不等式：化简得，即。 当时，要求，即； 当时验证：。 综上可得 5.解： (1) 通项公式： 由，，成等比数列，得。 代入求和公式：，化简得。 解得，故。 (2) 大小关系： 。 ，裂项求和后得。 6.证明： 左边不等式：构造函数，利用导数证明，得，累加得。 右边不等式：利用积分放缩，。 学科网（北京）股份有限公司 $$