精品解析：四川成都市实验外国语学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年四川省成都实验外国语学校七年级（下）期末 数学试卷 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 4. 关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的图形 B. 面积相等的图形 C. 能够完全重合的图形 D. 周长相等的图形 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点落在直线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，2，4 7. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 把方程变形，用含x的代数式表示y，则________． 10. 若x、y满足，，则代数式的值为______． 11. 已知与互余，且，则的补角是______ 度． 12. 在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表： 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 15 若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 13. 如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 三、解答题（共5小题，满分48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程组：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上． （1）画出关于直线的轴对称图形； （2）若正方形网格的单位长度为1，求的面积． 17. 补充完成下列推理过程： 已知：如图，在中，为的中点，过点作，交于点是上一点，连接，且，求证：． 证明：∵为的中点（已知）， ∴（_____________________）， ∵（已知）， ∴（_____________________）， 又（已知）， ∴（_____________________）， ∴_______， 在与中 ， ∴（___________）， ∴（_____________________）． 18. 已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． （1）如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若E是线段的中点，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则_______． 20. 已知是完全平方式，则______． 21. 如图，，P、Q分别是线段上的定点，在与之间有一点F，分别为、的角平分线，若，则________度． 22. 如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，在整个运动过程中，当的速度为______时，与全等． 23. 在正方形中，点、是、上的两定点，满足：，（点不与，重合；点不与，重合）．连接，取的中点，连接，请问： （1）若，则_______． （2）在（1）的条件下，当时，在线段上找一点，在线段上找一点，使四边形的周长最小，最小值为________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. “龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示龟兔赛跑时的路程s（米）与时间t（分钟）的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． （1）折线表示赛跑过程中______（填“兔子”或“乌龟”）的路程与时间的关系，赛跑的全程是______米． （2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？ （3）兔子醒来，以100米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 25. 按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： （1）若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 （3）若满足，求的值； 【应用迁移】 （4）如图，长方形中，，、是边上的点（在左侧），以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，（为常数，且），正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长． 26. 按要求解答下列问题： （1）【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； （2）【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； （3）【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年四川省成都实验外国语学校七年级（下）期末 数学试卷 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，符合题意； C.是轴对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】A．与不是同类项不能合并，故A错误； B．，底数不变指数相加，故B错误； C．，故C正确； D．，底数不变指数相减，故D错误； 故选：C． 3. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故， 故选：B． 4. 关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的图形 B. 面积相等的图形 C. 能够完全重合的图形 D. 周长相等的图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A.形状相同的两个图形大小不一定相等，所以不是全等图形，故本选项错误． B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项错误． C.能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项正确． D.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查的是全等形的识别：熟记全等形是能够完全重合的两个图形是解题关键． 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点落在直线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平角定义求出的度数，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图： ，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，2，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】A、，不能组成三角形，故A选项错误； B、，不能组成三角形，故B选项错误； C、，能组成三角形，故C选项正确； D、，不能组成三角形，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系． 7. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据一间客房住7人，那么有6人无房可住可得方程，根据一间客房住8人，那么就空出一间客房可得方程，据此列出方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 把方程变形，用含x的代数式表示y，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程，解题的关键是首先将x看做已知数，y看做未知数通过移项、去系数解得y． 【详解】解： 移项得， 故答案为：． 10. 若x、y满足，，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式． 根据平方差公式求解即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 11. 已知与互余，且，则的补角是______ 度． 【答案】137 【解析】 【分析】根据余角和补角的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，． 的补角是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解决本题的关键． 12. 在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表： 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 15 若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了变量之间的关系，根据表格得出物体的质量每增加，弹簧的长度增加，设所挂物体的质量是，弹簧的长度为，则，求出x的值即可． 【详解】解：由表格可知，物体的质量每增加，弹簧的长度增加， 设所挂物体的质量是，弹簧的长度为，则： ， 把代入得：， 解得：． 故答案为：9． 13. 如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 三、解答题（共5小题，满分48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程组：． 【答案】（1）6 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算进行计算即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘除法，再合并同类项即可； （3）根据整式混合运算顺序，先化简小括号里面的运算，再结合多项式除以单项式的运算法则计算即可； （4）利用加减消元法，先将方程得到方程，再将方程，即可求解方程组． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，再合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上． （1）画出关于直线的轴对称图形； （2）若正方形网格的单位长度为1，求的面积． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找得到点，再依次连接得，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，的面积 17. 补充完成下列推理过程： 已知：如图，在中，为的中点，过点作，交于点是上一点，连接，且，求证：． 证明：∵为的中点（已知）， ∴（_____________________）， ∵（已知）， ∴（_____________________）， 又（已知）， ∴（_____________________）， ∴_______， 在与中 ， ∴（___________）， ∴（_____________________）． 【答案】中点性质 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行 全等三角形对应边相等 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定得到边与角的关系，再根据全等三角形的判定和性质即可得到答案． 【详解】证明：∵为AB的中点（已知）， ∴（中点性质）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， 在与中 ∴（）， ∴（全等三角形对应边相等）． 故答案：中点性质 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行 全等三角形对应边相等． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用平行线的性质和中点性质，得到三角形全等的条件是解题的关键． 18. 已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． （1）如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若E是线段的中点，求的值． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转，交于点F， ， ， ， ； ②，理由如下： 过F作于H， 由①知，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）3 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到，再根据旋转性质和余角性质得到，然后根据等角对等边可得结论； ②过F作于H，则，证明得到即可得到结论； （2）过F作于G，根据等腰三角形的性质，结合已知可得，由推导出，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 ①略； ②略 【小问2详解】 解：如图，过F作于G， 是线段的中点， ， 由（1）知， ， ∵， ， ， ， 即， ， ， ． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则_______． 【答案】25 【解析】 【详解】解：∵， ， ． 20. 已知是完全平方式，则______． 【答案】或##15或 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征求出的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或 故答案为：或． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 21. 如图，，P、Q分别是线段上的定点，在与之间有一点F，分别为、的角平分线，若，则________度． 【答案】100 【解析】 【分析】过E作，根据平行线的性质和角的和差关系，求出，再根据角平分线的定义和平角的定义推出，即可得出结果. 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵分别为、的角平分线， ，， ， ∵， ∴， 同法可得：． 22. 如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，在整个运动过程中，当的速度为______时，与全等． 【答案】每秒个单位长度或个单位长度或1个单位长度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，二元一次方程组的解法等，由，，为公共边，所以可证得，所以可知，设运动时间为，点的运动速度为，根据全等三角形的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：在和中， ， ， ， 设运动时间为，点的运动速度为， 当时， 若， 则， ∴，解得：， ∴； 若，则， ∴， ∴（舍去）； 当时，若， 则， ∴， ∴ ， ∴； 若， 则， ∴， ∴ ， ∴． 综上所述，当点G的运动速度为每秒个单位长度或个单位长度或1个单位长度时，会有与全等． 故答案为：每秒个单位长度或个单位长度或1个单位长度． 23. 在正方形中，点、是、上的两定点，满足：，（点不与，重合；点不与，重合）．连接，取的中点，连接，请问： （1）若，则_______． （2）在（1）的条件下，当时，在线段上找一点，在线段上找一点，使四边形的周长最小，最小值为________． 【答案】 ①. 6 ②. 22 【解析】 【分析】（1）利用半角模型，先将顺时针旋转至，再证明，； （2）利用对称法求最短路径，作点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，由对称性可证明：，，当，，，在同一直线上时，四边形的周长有最小值． 【详解】解：（1）如图，延长至，使，连接， ， ，， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，延长至，使得，连接，，，连接，交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小， 为的中点，为的中点， 又四边形为正方形， ， 为的中垂线，为的中垂线， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ，， ，且， ，， ， 同理可得， ， ， 在和中， ， ， 为的中垂线，为的中垂线， ，， ， ，，， ， 当，，，在同一直线上时，四边形的周长有最小值，最小值为22． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. “龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示龟兔赛跑时的路程s（米）与时间t（分钟）的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． （1）折线表示赛跑过程中______（填“兔子”或“乌龟”）的路程与时间的关系，赛跑的全程是______米． （2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？ （3）兔子醒来，以100米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】（1）兔子， （2）兔子在起初每分钟跑米，乌龟每分钟爬米 （3）兔子中间停下睡觉用了分钟 【解析】 【分析】（1）根据函数图象获取信息； （2）根据函数图象获取信息，求出各自的速度； （3）根据函数图象获取信息，求出各段时间即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，赛跑的全程是米； 【小问2详解】 解：； ； 所以，兔子在起初每分钟跑米，乌龟每分钟爬米； 【小问3详解】 解：（分钟）， （分钟）， 所以，兔子中间停下睡觉用了分钟． 25. 按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： （1）若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 （3）若满足，求的值； 【应用迁移】 （4）如图，长方形中，，、是边上的点（在左侧），以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，（为常数，且），正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）结合图形面积关系，直接找，，三者之间的等量关系式； （2）利用完全平方公式对两边平方，再根据（1）中的等量关系，整体代入、，求出，进而求出的值； （3）换元法设，，先求出与，再利用完全平方变形求； （4）设，用含的代数式表示线段，根据重叠部分面积列方程，求出的值，再代入计算长方形的周长． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：把两边平方得：， 由（1）得：， 将、代入得：， 展开得，，即， 整理得：； 【小问3详解】 解：设，，则有，， 把两边平方得：，即， 把代入得：，即， 则； 【小问4详解】 解：设，则， 正方形，矩形， ，， 正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即矩形面积为， ，即， 整理得：， 开方得：（负值舍去）， ，， 则长方形周长为． 26. 按要求解答下列问题： （1）【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； （2）【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； （3）【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 【答案】（1）证明：∵，， ， 在和中， ， ∴， ； （2）证明：如图，在上截取，连接， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ∵是等边三角形， ∴， ，即， ． （3）； 【解析】 【分析】（1）证即可得证； （2）在上截取，构造，从而证得，，再用线段的和与差即可证得； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明平分，即可得出点的运动轨迹，再利用面积法求出的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， 即， ， 平分， ∴如图所示，点E在的内角的角平分线上上运动． ∴点E的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ∵， ， 即点E的运动路程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $