精品解析：四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年七年期下学期期末数学试卷（辅修班）

成都市实验外国语学校2024—2025学年七年级下期末考试试卷（辅修班）数学 （时间：120分钟，满分：150分） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 实数：，，，中无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，在寻宝游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，则藏宝处点的坐标应为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在一次函数的图象上，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（） A. 的平方根是 B. 的立方根为 C. 的平方根是 D. 0的立方根为0，但0没有平方根 6. 某校今年共有30名学生参加暑期科技创新营活动，他们的年龄分布如下表： 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（人） 9 8 10 3 则这30名同学年龄的中位数和众数分别是（ ） A. 14岁和14岁 B. 14岁和15岁 C. 岁和15岁 D. 15岁和16岁 7. 我国古典数学文献《算法统宗》中有一个“听客分银”的问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多4两，九两分之少半斤”其大意为：隔着墙听见客人在分银子，按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两（这里半斤等于8两），设有客x人，银有y两，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ） A. 11 B. 47 C. 26 D. 35 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 式子有意义，则x的取值范围是__________． 10. 已知点和都在直线（为常数）上，则_______（填“”、“”、“”）． 11. 已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为______． 12. 如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为，点、、都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则点的坐标为________． 13. 如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为______． 三、解答题（本大题共有5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）解方程组：； （4）解方程组：． 15. 一次函数与正比例函数的图象经过点． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积． 16. 为了考查某校七年级学生参加体育活动的情况，该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，并从乒乓球、篮球、排球、足球及其他等五个方面调查了他们的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）此次调查方式属于_____（选填“普查”或“抽样调查”），共调查了____名学生的兴趣爱好； （2）请补全条形统计图，并计算“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数； （3）若该校七年级共有1140名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人？ 17. 如图，在中，是边上的高，已知，，． （1）求的长； （2）过点A作的角平分线交边于点E，求的面积． 18. 如图，长方形中，，，且满足．点P是折线上的动点，连接，线段的垂直平分线与线段（或）交于点，与线段（或）交于点． （1）求和的长； （2）如图，当点与重合时，求和的长． （3）点从点出发后，沿折线运动到点后停止．设点的运动路程为，线段的长为，当点在线段上时，求关于的函数关系式（注明自变量取值范围），并求当点是的中点时的长． B卷（50分） 一、填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分） 19. 满足的所有整数的和为_______． 20. 如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为_______． 21. 在英国牧师佩里加尔的墓碑上记录了一种证明勾股定理的方法—“水车轮翼法”，在中，，将正方形沿着分割线分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成以为边的大正方形，如图，连接，若正方形的面积为，的面积为，则的长为______． 22. 如图，在中，，是边上的中线，，若在射线上存在点，满足，且，则______． 23. 如图，平面直角坐标系中，点，点关于直线对称的点为，点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，若点落在内（包括边界），则的取值范围是_______． 二、解答题（本大题共有3个小题，共30分） 24. 某电子产品商店销售A、B两种型号的复读机，已知销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利润为6500元，销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元． （1）求每台A型复读机和B型复读机的销售利润分别为多少元？ （2）若该商店计划购进A、B两种型号的复读机共140台，其中B型复读机购进a台（），设销售这140台复读机的总利润为y元， ①求y关于a的函数关系式； ②该商店购进A型、B型复读机各多少台，才能使销售总利润最大？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过点的直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，与直线交于点． （1）若点的坐标为； ①求点的坐标； ②点是直线上一点，且，求点的坐标． （2）如图2，一束光线从点出发经过镜面和反射后正好通过原点O，当光线经过的路径的总长为时，求直线的解析式． 26. 如图，等腰中，，点是内的一点（包括边界），连接． 【初步感知】 （1）如图1，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，若，且满足，求的值． 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，连接，当是直角三角形，且两直角边长之比等于时，请直接写出长的所有可能值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校2024—2025学年七年级下期末考试试卷（辅修班）数学 （时间：120分钟，满分：150分） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 实数：，，，中无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义． 根据无理数的定义作答即可． 【详解】解：实数：，，，中无理数的个数为，共2个， 故选：B． 2. 如图，在寻宝游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，则藏宝处点的坐标应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示位置，解题的关键是根据已知坐标建立坐标系．根据已知的两个坐标点建立坐标系，即可求解． 【详解】解：∵点和， ∴建立平面直角坐标系为： ∴． 故选：D 3. 已知点在一次函数的图象上，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的自变量的值，将点的坐标代入一次函数解析式，解方程即可求出a的值． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内角和． 根据勾股定理逆定理和三角形内角和，逐一分析各选项是否符合直角三角形的条件即可． 【详解】解：A：设三边分别为、、，则，满足勾股定理逆定理，说明，是直角三角形； B：等式可变形为，符合勾股定理逆定理，说明，是直角三角形； C：由及三角形内角和，得，故，是直角三角形； D：角度比为，总份数为，最大角，小于，不是直角三角形． 故选：D． 5. 下列说法正确的是（） A. 的平方根是 B. 的立方根为 C. 的平方根是 D. 0的立方根为0，但0没有平方根 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义逐一分析各选项的正误即可． 【分析】解：A．的平方根应为，故错误； B．的立方根是，故错误； C．，16的平方根是，故正确； D．0的立方根是0，且0的平方根也是0，故错误； 故选：C． 6. 某校今年共有30名学生参加暑期科技创新营活动，他们的年龄分布如下表： 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（人） 9 8 10 3 则这30名同学年龄的中位数和众数分别是（ ） A. 14岁和14岁 B. 14岁和15岁 C. 岁和15岁 D. 15岁和16岁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义． 根据中位数和众数的定义，结合数据分布求解． 【详解】解：众数：由表可知，15岁有10人，人数最多，故众数为15岁； 由题意可知将数据从小到大排列后，可知第15和第16个数均落在14岁组内，故中位数为岁； 故选：B． 7. 我国古典数学文献《算法统宗》中有一个“听客分银”的问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多4两，九两分之少半斤”其大意为：隔着墙听见客人在分银子，按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两（这里半斤等于8两），设有客x人，银有y两，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两，列出方程组即可． 【详解】解：设有客x人，银有y两，由题意，得： ； 故选B． 8. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ） A. 11 B. 47 C. 26 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积， 同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ， ∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 式子有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知点和都在直线（为常数）上，则_______（填“”、“”、“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性． 根据一次函数的增减性作答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了两个一次函数图象交点与对应方程组解的关系；根据交点和可求，从而可得交点坐标为，即可求解；理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解”是解题的关键． 【详解】解：直线与直线的交点坐标为， ， 解得：， ∴直线与直线的交点坐标为， 方程组的解为． 故答案为：． 12. 如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为，点、、都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，过点作，连接，可知，，在中，利用勾股定理求出，可知点的坐标为 【详解】解：如下图所示，过点作，连接， 由题意可知，， 故答案为：． 13. 如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，延长交延长线于点，证明四边形是矩形，则，，故有，设，则，，由勾股定理得：，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴， 由， 则有， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）解方程组：； （4）解方程组：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和解二元一次方程组．熟练掌握实数和运算顺序和法则，解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）先化简负整数指数，0指数，绝对值，算术平方根，再加减； （2）先用二次根式的乘除法化简，完全平方公式展开，再加减； （3）用代入消元法解答，①代入②，求出ｘ值，ｘ值代入①，求出ｙ值，即可； （4）用加减消元法解答，，求出ｙ值，ｙ值代入②求出ｘ值，即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ①代入②， 得， 解得， 把代入①， 得， ∴原方程组的解为； 【小问4详解】 解：， ， 得③， ， 得， 解得， 把代入②， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 15. 一次函数与正比例函数的图象经过点． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）一次函数解析式为；正比例函数解析式为； （2）与轴围成的三角形的面积是． 【解析】 【分析】本题考查了两条直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识的应用． （）根据待定系数法，列出方程解决问题； （）先画图，然后求出直线与轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 把点代入 得：， 解得：， ∴正比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图， 由函数得：当时，， ∴与轴的交点是， ∵且两图象都经过点， ∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积是． 16. 为了考查某校七年级学生参加体育活动的情况，该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，并从乒乓球、篮球、排球、足球及其他等五个方面调查了他们的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）此次调查方式属于_____（选填“普查”或“抽样调查”），共调查了____名学生的兴趣爱好； （2）请补全条形统计图，并计算“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数； （3）若该校七年级共有1140名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人？ 【答案】（1）抽样调查；120 （2） 补图如下： （3）380人 【解析】 【分析】（）根据该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生可判断调查的方式；根据排球的百分比和人数可求总数； （）用总数减去已知各部分的人数求出篮球球的人数，从而补全统计图；利用扇形图所对的圆心角的度数百分比乘以即可求出答案； （）用全校的总人数乘以该校喜欢篮球的学生所占的百分比，即可得出答案． 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：由该校德育处随机从七年级学生中选取了部分学生，可知此次调查方式属于抽样调查； 这次一共调查了名学生， 故答案为：抽样调查；120； 【小问2详解】 解：篮球的人数是为名， ∵， ∴在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角为度； 【小问3详解】 解：， ∴估计该校学生喜欢篮球活动的约有380人． 17. 如图，在中，是边上的高，已知，，． （1）求的长； （2）过点A作的角平分线交边于点E，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）先证明是直角三角形且，再根据等面积法计算即可； （2）过点E作交于点F，根据角平分线的性质得到，证明，设，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴是直角三角形且， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作交于点F， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴． 18. 如图，长方形中，，，且满足．点P是折线上的动点，连接，线段的垂直平分线与线段（或）交于点，与线段（或）交于点． （1）求和的长； （2）如图，当点与重合时，求和的长． （3）点从点出发后，沿折线运动到点后停止．设点的运动路程为，线段的长为，当点在线段上时，求关于的函数关系式（注明自变量取值范围），并求当点是的中点时的长． 【答案】（1），； （2），； （3）；. 【解析】 【分析】首先把等式整理成的形式，根据平方的非负性和平方根的非负性可知，，解方程求出、的值即为求和的长； 当点与重合时，连接、，设，则，利用勾股定理可得：，解方程求出，设，则，利用勾股定理可得：，解方程求出，从而可以求出； 当时，是等腰直角三角形，所以当时，点在线段上，当时，利用勾股定理可得：，整理可得：；当时，可得：，整理可得：；当点是的中点时，，把代入即可求出的长． 【小问1详解】 解：, 整理可得：， 又，， ，， 解得：，， ，； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接、， 四边形是长方形， ，，， 是线段的垂直平分线， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ，； 【小问3详解】 解：如下图所示，当时，是等腰直角三角形， 又是的垂直平分线， 此时，点与点重合； 如下图所示，当时， 则有，， 在中，， ， 整理得：； 如下图所示，当时， 则，， 在中，， 在中，， ， 是的垂直平分线， ， ， 整理得：； 综上所述，； 当点是的中点时，即， 则有， 当点是的中点时． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、动点几何，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理找到线段之间的关系． B卷（50分） 一、填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分） 19. 满足的所有整数的和为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算． 首先通过对，大小的估算，再由不等式的性质确定满足的所有整数，进而对其求和． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴满足的所有整数有，，，，3 它们和为， 故答案为：5． 20. 如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解． 将化为，代入求出，进而求出，将，代入求解即可． 【详解】解：可化为， 将代入得， 解得：， 将代入得：， 解得：， 将，代入得：， 解得：， 故答案为：． 21. 在英国牧师佩里加尔的墓碑上记录了一种证明勾股定理的方法—“水车轮翼法”，在中，，将正方形沿着分割线分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成以为边的大正方形，如图，连接，若正方形的面积为，的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的判定与性质，根据题意可得，，，证明四边形是正方形， 设，，所以，，，则，根据题意可得，再由勾股定理可得，即，求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意可得，，， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是正方形， 设，， ∴，，， ∴，， ∵将正方形沿着分割线分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成以为边的大正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 22. 如图，在中，，是边上的中线，，若在射线上存在点，满足，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想．过点作，交于点，过点作，交于点，根据题意分两种情况进行讨论，①当点在的延长线上时，②当点在线段上时，注意两种情况的取舍，先利用三角中线的性质得出相等的线段，通过证明三角形全等得出相等的线段和角，假设出未知数，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：①当点在的延长线上时，此时，令， 如图，过点作，交于点，过点作，交于点， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，不符合， 所以，此种情况不存在； ②当点在线段上时，此时，令，点为线段中点， 如图，过点作，交于点，过点作，交于点， 同①得，， ∴，，， 又∵，， ， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 假设，则，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，, 即， 解得，（负值已舍）， ， 故答案为：． 23. 如图，平面直角坐标系中，点，点关于直线对称的点为，点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，若点落在内（包括边界），则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线交轴于点，求出，将点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到，故当点落在内（包括边界），则点落在内（包括边界），再找出临界位置列不等式组求解即可． 【详解】解：设直线交轴于点， 令，则，解得，则 令，则，则 ∴ ∴ 设交直线于点，过点作轴交直线于点， ∴ 由对称可得， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴，即， ∴为等腰直角三角形， 把代入得， ∴ ∴ ∴， 将点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到， ∴当点落在内（包括边界），则点落在内（包括边界）, 设直线交于， 设直线：，则代入， 解得 ∴直线：， 由，同理可求直线： 联立与可得，， 解得， ∴， ∵， ∴满足题意时，， 解得， ∴的取值范围是． 二、解答题（本大题共有3个小题，共30分） 24. 某电子产品商店销售A、B两种型号的复读机，已知销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利润为6500元，销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元． （1）求每台A型复读机和B型复读机的销售利润分别为多少元？ （2）若该商店计划购进A、B两种型号的复读机共140台，其中B型复读机购进a台（），设销售这140台复读机的总利润为y元， ①求y关于a的函数关系式； ②该商店购进A型、B型复读机各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元 （2）①（且为正整数）；②购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大 【解析】 【分析】（1）设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元，根据题意建立二元一次方程组解决问题； （2）①设购进A型复读机a台，则购进B型复读机台，根据（1）的结论以及总利润等于每台复读机的利润乘以总数列出函数关系式； ②根据①的结论，以及一次函数的性质求得最值即可． 【小问1详解】 解：设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元， 根据题意，得：，解得， 答：每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元． 【小问2详解】 解：①设B型复读机购进a台，则购进A型复读机台，依题意得： ， 即， ∵ 关于a的函数关系式为：（且为正整数）； ②， ∵， 随的增大而减小， 又∵且为正整数 当时，取得最大值， 则购进A型复读机（台）， 答：商店购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过点的直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，与直线交于点． （1）若点的坐标为； ①求点的坐标； ②点是直线上一点，且，求点的坐标． （2）如图2，一束光线从点出发经过镜面和反射后正好通过原点O，当光线经过的路径的总长为时，求直线的解析式． 【答案】（1）①点；②点的坐标为或； （2） 【解析】 【分析】（1）①首先设直线的解析式为，将把点，代入解析式，通过解方程组求出和的值，得到直线的解析式；再联立直线与已知直线的方程，解方程组求出交点的坐标； ②先求出点C的坐标并计算的长度，设点，，分点在点下方和上方两种情况，根据列出方程，求解得到点的坐标； （2）作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，利用对称点的性质将光线路径总长转化为两对称点间的距离；设点，则，求出对称点所在直线的解析式，联立方程求出交点坐标．设点，则，利用勾股定理得，即， ，即∴，从而由得：；然后用待定系数法求得直线的解析式为：， 所在直线解析式为：，联立得：，解得：，则点， 则有，，代入③化简整理，得，求得：，，即可得出直线的解析式． 【小问1详解】 解：①设直线的解析式为：， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得：， ∴点； ②当时，， ∴点， ∴， 当时，即， 解得：， ∴点， ∴， ∴， 设点， 当点在点下方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点， 当点在点上方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点， ∴点的坐标为或； 【小问2详解】 解：作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，，如图： ∵的总长为时， ∴， 设点，则， ∵， ∴所在直线为， 又∵点在上， ∴， 联立得：， 解得：， ∴点， 设点，则， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵点关于的对称点， ∴， ∴， ∴， 由得：， 设直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设所在直线解析式为：， 把代入得：， ∴， ∴所在直线解析式为：， 联立得：， 解得：， ∴点， ∴，， ∴，， ∴把，代入③， 得， 化简整理，得， ∴ 或． ∴或， ∵直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式求解、一次函数与坐标轴的交点问题、联立方程组求交点坐标、利用轴对称解决路径问题以及两点间距离公式的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活运用对称点转化路径长度，根据题意建立方程求解． 26. 如图，等腰中，，点是内的一点（包括边界），连接． 【初步感知】 （1）如图1，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，若，且满足，求的值． 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，连接，当是直角三角形，且两直角边长之比等于时，请直接写出长的所有可能值． 【答案】 （1）证明：线段绕点C逆时针旋转得到线段， ， ，即， 在与中， ， ， ； （2）； （3）长的所有可能值有或或 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质判定出，即可得出答案； （2）作交延长线于E，连作交于F设交于N，先判定出，为等腰直角三角形，再利用勾股定理进一步求出结果； （3）先根据旋转性质以及三角形全等，利用勾股定理求出，再分情况：当时，这时D在上；当；当作的延长线于点F；当作的延长线于点F，利用等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，分情况求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，作交延长线于E，连作交于F，设交于N， : 为等腰直角三角形 ， ； （3）由（1）知 ， 由旋转知为等腰有角三角形， 则， ， 当时，这时D在上，如图， 则， 又， 又两直角边的比为 或 ， ， ， 当，如图 则 作的延长线于点F， ， 为等腰直角三角形， ∴设， ， ， 当， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ， 如图当作的延长线于点F， ， ， ， 为等腰直角三角形， 设， ， 当时， ， ， ， 当时， ,， ， ， 综上所述，长的所有可能值有或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质求解，准确作出辅助线，分情况讨论为解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $