25.3 实际问题与一元二次方程 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学第二十五章“25.3实际问题与一元二次方程”同步练，以三星分层设计（★☆☆/★★☆/★★★）构建“概念理解-综合应用-创新拓展”巩固路径，适配新授课教学，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆（1-12题）|矩形面积、数字问题等基础模型，根的判别式概念|以选择填空为主，聚焦单一知识点应用，如第7题列矩形面积方程，培养抽象能力| |★★☆（13-22题）|勾股定理、利润问题、增长率等综合模型|增加解答题，如第21题结合矩形面积与周长求小路宽度，发展推理能力| |★★★（23-30题）|浓度变化、比赛场次、二次函数最值等复杂情境|设置多条件问题，如第28题探究矩形面积最大值，提升创新意识与应用能力|

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 难度：★☆☆ 1. 某矩形花圃的面积为48 m²，若长比宽多2 m，设宽为x m，则长为（ ）m A. B. 48 - x C. 24 - x D. 2x + 2 2. 一个数的平方比这个数大6，设这个数为x，列方程正确的是（ ） A. x² - x = 6 B. x² + x = 6 C. x² = 6 - x D. x - x² = 6 3. 两个连续整数的积为72，设较大的数为x，则方程为（ ） A. x(x+1) = 72 B. x(x-1) = 72 C. x² = 72 D. 2x = 72 4. 某商品进价为每件120元，标价提高50%后，再打八折销售，此时每件利润为（ ）元 A. 120×50% B. 120×(1+50%)×80% - 120 C. 120×50%×80% D. 120×(1+50%) - 120 5. 一个两位数，十位数字为a，个位数字为b（a>b），将十位与个位对调后，新数比原数小9，则（ ） A. 9a - 9b = 9 B. 10a+b = 10b+a - 9 C. 9a = 9b D. 9(a+b) = 9 6. 某公司去年产值为200万元，今年产值为x万元，则增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 一块矩形菜地面积为156 m²，已知长比宽多5 m，设宽为x m，则长为______m，列方程为______。 8. 两个连续偶数的积为48，设较大的数为x，则方程为______，这两个数是______和______。 9. 某商品原价为200元，连续两次降价10%后，售价为______元（若每次降价x%，则售价用代数式表示为______元）。 10. 一个正方形的边长为x cm，若边长增加3 cm，则面积增加______cm²；若面积增加到原来的4倍，则边长变为______。 11. 某种传染病在传播过程中，平均每人每天传染2人。设原有1个传染源，x天后传染人数达到32人，则方程为____ __。（只列方程，不求解） 12. 一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）有实数根的条件是______；若方程有两个相等的实数根，则______。 难度：★★☆ 13. 某矩形花园四周用篱笆围成，已知面积为96 m²，长比宽多4 m，设宽为x m，则篱笆总长度为（ ）m A. x(x+4) B. 2(x + x+4) C. x + (x+4) D. (x+4) - x 14. 一个直角三角形的两直角边分别为x cm和(x+1) cm，斜边长为5 cm，则x满足（ ） A. x(x+1)=5 B. x²+(x+1)²=25 C. x+(x+1)=5 D. 2x+1=5 15. 某商场将进价为每件80元的商品按进价加价60%标价，再以八折销售，则每件利润为（ ）元 A. 80×60% B. 80×(1+60%)×80% - 80 C. 80×60%×80% D. 80×(1+60%) - 80 16. 某公司2025年产值为500万元，计划2027年产值达到720万元。若每年增长率相同，则年平均增长率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 17. 一个菱形的两条对角线长分别为x cm和(x+4) cm，面积为30 cm²，则x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 18. 甲、乙两人从相距80 km的两地同时出发相向而行，甲速度14 km/h，乙速度6 km/h，设t小时后相遇，方程为（ ） A. 14t - 6t = 80 B. 14t + 6t = 80 C. 14t = 80 + 6t D. 14t = 80 - 6t 19. 某商店将进价150元的商品按进价加价x%标价，再以八折销售，每件利润为30元。列方程为______，解得x=______。 20. 一块矩形土地面积为180 m²，已知长比宽多6 m。设宽为x m，则长为______m，方程x(x+6)=180的较大解为______m（保留一位小数）。 21. 某矩形花园的面积为120 m²，且长比宽多2 m。 (1) 求该矩形的长和宽各为多少米？ (2) 若在花园四周铺一条等宽的小路（小路占地面积忽略不计），小路外围的周长为46 m，求小路的宽度。 22. 某商店从生产厂家以每件21元的价格进一批商品,该商品以25元一件的价格出售，每天可卖出100件。后调查发现：每涨价2元每天将少卖20件，每件商品加价超过进价的20%但不能超过进价的50%。商店计划每天要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品的售价为多少元？ 难度：★★★ 23. 某公司2024年产值为400万元，2026年产值达到576万元，则这两年年平均增长率为（ ） A. 20% B. 22% C. 25% D. 44% 24. 一个容器装有50升纯酒精，倒出x升后用水加满；再倒出x升液体（此时浓度已变），再加满水，此时容器中纯酒精含量为32升，则x满足（ ） A. (50-x)² = 50×32 B. 50-x = 32 C. = 32 D. 50-2x = 32 25. 某班学生分组活动，若每组5人，则多3人；若每组7人，则少2人。设该班学生人数为x，则满足条件的x的最小值为（ ） A. 28 B. 33 C. 38 D. 45 26. 某球队参加足球联赛，每两队之间比赛一场（单循环），若赛了36场比赛，则参赛球队共有（ ）支 A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 27. 一个正方形的边长增加4 cm后，面积增加了64 cm²，则原正方形的边长为（ ）cm A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 28. 某开发商在一块矩形空地上建造商品房（如图，靠墙三面用木栅栏围成，栅栏总长度为60 m）。已知平行于墙的一边比垂直于墙的一边多10 m。 (1) 求垂直于墙的边长和平行于墙的边长； (2) 若要使空地面积最大，则各边长应为多少？最大面积是多少？ 29. 某公司去年主营业务收入为2500万元，计划到今年达到3600万元。 求这两年间的年平均增长率。 30. 某工厂接到一批订单任务，计划若干天完成。每天生产20件，生产了5天后，由于改进技术，后面的生产效率提高了50%，结果提前1天完成了任务。 (1) 这批订单共有多少件？ (2) 实际生产了多少天？ (3) 若改进技术后每天生产a件，实际提前了1天完成，列方程并验证其合理性。 参考答案 1. A 2. A 3. B 4. B 5. A 6. A 7. 长=x+5，方程x(x+5)=156 8. x(x-2)=48，8和6 9. 200(1-10%)²=162；若每次降价x%，售价=200(1-)² 10. (x+3)²-x²=6x+9；边长变为2x 11. (1+2)x=32 12. Δ=b²-4ac≥0；Δ=0，即b²=4ac 13. B 14. B 15. B 16. C 17. D 18. B 19. 150(1+x%)×80%-150=30，解得x=50 20. 长=x+6，16.7 宽x，长(x+6)；方程x(x+6)=180，x2+6x-180=0求根： X = ≈10.7，长≈16.7 21. (1)设宽为x m，则长=(x+2)m，x(x+2)=120， 解得x=10或x=-12（舍），长12m，宽10m。 (2)小路外围：2（长+2d+宽+2d）=46，代入长12m，宽10m， 2(12+2d+10+2d)=46→→d=0.25m 22. 解:设每件商品涨价x元。 (4+x)(100 -10x)=400 x1=0(舍去) x2=6 售价：25+6=31元 销量:100-10×6=40件 答:需卖出40件，售价31元。 23. A 24. A 25. B 26. B 27. A 28. (1)设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长=(x+10)m， 2x+(x+10)=60→3x=50→x≈16.67m，长≈26.67m。 (2)设宽为x m，长=(60-2x)m，S=x(60-2x)=-2x²+60x， 对称轴x=6=15m，长=60-30=30m，最大面积=450m²。 29. 2500(1+x)²=3600→(1+x)²=1.44→1+x=1.2→x=20% 30. (1)设原计划x天完成，总量=20x件。 5天后剩余20(x-5)件，提高50%后每天30件， 实际天数=(x-1)天，后半段用了(x-1-5)=(x-6)天， 方程：20×5+30(x-6)=20x→100+30x-180=20x→10x=80→x=8天， 总量=160件，实际天数=7天。 (2) 实际天数=7天。 (3) 20×5+30(x-6)=20x→方程合理，解出x=8天，与(1)一致。 学科网（北京）股份有限公司 $