第18章 分式 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级数学分式单元卷，以科技（阿秒光脉冲）、文化（《四元玉鉴》）、生活（新能源汽车）情境为载体，覆盖分式概念、运算、方程及应用，梯度设计适配单元复习，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|分式意义、识别、最简分式等|第1题考查分式有意义条件，基础巩固| |填空题|10/20|科学记数法、分式方程增根等|第9题结合诺贝尔物理学奖考阿秒科学记数，第17题引用《四元玉鉴》古算题| |解答题|6/56|分式化简求值、方程应用等|第22题新能源汽车费用比较（模型意识），第24题倒水规律裂项探究（创新思维）|

八年级数学上册分式单元测试卷（一） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.若分式有意义，则满足的条件是（     ） A．为任意实数 B． C． D． 2．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．若代数式是最简分式，则表示的可以是（     ） A． B．2 C． D． 4．若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，则（     ） A． B． C． D． 6．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量． 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（    ）小时． A．20 B．21 C．19 D．19 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9.2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为______秒． 10．计算：___________． 11．若分式的值为0，则x的值为______． 12．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 13．若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______． 14．若，则_________． 15．若，则代数式的值是________． 16．计算：________． 17．我国古代数学专著《四元玉鉴》中记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈（1丈尺），各值（各自价值）钱八百九十六文．只云（已知）绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问：绫、罗尺价各几何？”若设绫有尺，根据题意可列方程为___． 18．咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ______ ． 三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）先化简，再求值：，其中满足． 20．（10分）数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 21．（10分）亚洲体操锦标赛于年月日在贵州遵义举行，“红色旅游+体育赛事”为黔北地区旅游产业发展带来了机遇．某旅游公司计划购进，两种以“遵义会议”为主题的纪念品赠送给游客．已知种物品的单价比种物品的单价多元，用元采购种物品的数量与用元采购种物品的数量相同． (1)求，两种物品的单价各是多少元？ (2)该公司计划购进这两种物品共个，当购买种物品的费用不超过购买种物品的费用的倍时，种物品最多能购进多少个？ 22．（10分）我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息： 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 (1)若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多元，分别求出这两款车每千米的行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其他费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 23．（8分）阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程： 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为_________． (2)模仿上述换元法解方程：． 24．（12分）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 参考答案 1．B 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得． 2．B 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 3．C 【分析】先利用平方差公式分解分子，再结合分式定义和最简分式定义，判断分母是否符合要求．最简分式要求分子分母没有公因式，且原式为分式要求分母含有字母． 【详解】解：首先对分子因式分解： ， 逐个判断选项： 对于A选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； 对于B选项：当时，分母为常数，原式不是分式，不符合题意； 对于C选项：当时，分母与分子的因式没有公因式，且分母含字母，原式是最简分式，符合题意； 对于D选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意． 4．A 【分析】将替换为原来的2倍，化简后与原分式对比，即可判断分式值是否改变. 【详解】解：将各选项中换为，换为，依次化简判断： 选项A：， 替换后和原分式相等，分式值不变，符合题意； 选项B：替换后得，分式值改变，不符合题意； 选项C：替换后得，分式值改变，不符合题意； 选项D：替换后得，分式值改变，不符合题意； 5．D 【分析】根据非负数的性质求出的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 6．B 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题，解题思路是先根据题意表示出一片银杏树叶的平均滞尘量，再根据“片数=总滞尘量÷单片滞尘量”，结合两种树叶的片数相等列出方程． 【详解】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2倍少， ∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为． ∵一年滞尘所需的银杏树叶的片数为，一年滞尘所需的国槐树叶的片数为，且两种树叶的片数相同， ∴可列方程：． 7．A 【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 解得：， ∵，即：， ∴， 又∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验． 8．D 【分析】设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间． 【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， 甲的工作效率是，乙的工作效率是， ∵丙的工作效率是乙的工作效率的， 丙的工作效率是， ∴一轮的工作量为：， ∴轮后剩余的工作量为：， ∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：， ∴乙还需要工作的时间为（小时）， ∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（小时）． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解． 9． 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可． 【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知， 43阿秒秒， 故答案为：． 10． 【详解】解： 11． 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 12． 【分析】先将方程两边同乘最简公分母，得到整式方程，求解出x的值（用含m的式子表示），根据原分式方程无解得到此时最简公分母为0，代入x即可求出m的值． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得整式方程，即， ∵原分式方程无解， ∴，即， 解得． 13． 【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 14．3 【分析】先由可得，再运用分式的减法计算，然后变形将代入即可解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故填：3． 【点睛】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的关键． 15．15 【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可． 【详解】解： = =a(a-2) =a2-2a， ∵a2-2a-15=0, ∴a2-2a=15， ∴原式=15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 16． 【详解】解： ． 17． 【分析】先根据绫罗总长度求出罗的长度，再分别表示出绫和罗每尺的价格，最后根据“绫罗各一尺共值钱一百二十文”的等量关系列出方程． 【详解】解：∵3丈尺， 设绫有x尺，则罗有尺， 绫的总价值为896文，因此绫一尺的价格为文， 罗的总价值为896文，因此罗一尺的价格为文， 根据绫罗各一尺共值钱120文，列方程得：． 18． 【分析】本题考查分式方程的应用，根据混合咖啡每千克的价格不变，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， ， ∴． 故答案为：． 19．； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 20．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用分离常数法，即可得到结论； （2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论； （3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母，即可得到结论． 【详解】（1）解∶， ∴，； （2）解∶， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴或； （3）解∶， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．(1) 种物品单价为元，种物品单价为元 (2) 种物品最多能购进个 【分析】（1）设种物品单价为元，种物品单价为元，列分式方程求解即可； （2）设购买种物品个，则购买种物品个，根据购买种物品的费用不超过购买种物品费用的倍，列不等式求解． 【详解】（1）解：设种物品单价为元，种物品单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：种物品单价为元，种物品单价为元； （2）解：设购买种物品个，则购买种物品个， 根据题意可得：， 解得：， 答：种物品最多能购进个． 22．(1)燃油车每千米行驶费用为元，新能源汽车每千米行驶费用为元 (2)每年行驶里程超过千米时，新能源汽车年费用更低 【分析】（1）根据题意得出 ，解方程求出 ，进而可得出答案； （2）设每年行驶里程为千米，分别表示出燃油车和新能源汽车的年费用，根据买新能源汽车的年费用更低列不等式求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意列方程 ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 燃油车每千米费用：（元） 新能源汽车每千米费用：（元） 答：燃油车每千米行驶费用为元，新能源汽车每千米行驶费用为元． （2）解：设每年行驶里程为千米， 燃油车年费用：， 新能源汽车年费用：， ∵买新能源汽车的年费用更低， ∴， ， ， 解得：， 答：每年行驶里程超过千米时，新能源汽车年费用更低． 23．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解分式方程，求平方根的方法解方程： （1）设，则，据此求解即可； （2）设，先把方程变形为，再用换元法求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 故答案为：； （2）解：设，原方程可化为， 方程两边同时乘以，得， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 24．（1），；，； （2）； （3）总共倒出的水量是，水不能被倒完，因为； （4） 【分析】（1）观察题目给出的、等例子，发现分母为两个连续正整数的乘积时，分式可拆分为这两个数的倒数之差．因此直接推导得，推广到一般式； （2）倒出次的总水量是前个分式的和，即．根据（1）的规律，将每一项拆为两个倒数的差，拆项后中间项相互抵消，最终仅剩首项和末项，相加即可得到结果； （3）将每一项()拆为，抵消中间项后得到和为，分析的取值，因为正整数，，故，即总倒出水量始终小于，因此水不能被倒完； （4）将方程左边的每一项()拆为，抵消中间项后左边化简为，因此化简后的方程为，求解此分式方并检验即可． 【详解】（1）解：根据已知规律，， 可得；(为正整数)； 故答案为：，；，． （2）解：倒出次后总水量为； （3）解：倒出次后总水量为． ∵(为正整数)，即总倒出水量始终小于， ∴容器中的水不能被倒完； （4）解：原方程左边=， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘()，得， 解得； 检验：将代入分母，，，…，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的规律探索、异分母分式的减法以及解分式方程，核心是裂项相消法的综合应用．从具体的数字规律出发，提炼出的通用裂项规律，再通过“消去中间项、保留首尾项”的技巧，把复杂的分式求和转化为简单的计算问题． 学科网（北京）股份有限公司 $