第18章 分式-2026-2027学年八年级数学上册练培优（人教版）

第18章分式 18.1从分数到分式 1、牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质.已知m克牛奶中含a克蛋白质，比n克鸡蛋中含的蛋 白质少b克，则m克鸡蛋中蛋白质的含量是() A.m(a-b) 克 Bm(a+b) 克 C.n(a-b) 克 D.n(a+b) 克 n m m x1时，分式十无意义：当x=4时，该分式的值为0。则Q+b 3、如图有七张写着不同整式的卡牌： -12-3Ex+2E-2x2-4 (1)从中选择两张卡牌分别放在分子、分母的位置上，拼出一个“分式”。 (2)当x满足什么条件时，你拼出的“分式”有意义？它的值可能为0吗？ (3)拼出一个当x=2时，分式的值为0的“分式”。 57/70 第18章分式 18.2分式的基本性质 1、下列分式变形正确的是() A.m-2n 二-2n B. 2a-b 2ab-b m a2b a2b2 a2-9 a-3 C. D.a+b 1 a2+6a+9a+3 ,a2+b2-a+b 2、不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整 数的要化为整数。 0封 99 58/70 第18章分式 18.3分式的约分和通分 1、如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式 为“和谐分式”。下列分式中，是“和谐分式”的是一。 ① x-1 ② a-2b ③ x+y a2-b2 a2-b2 x2-y2 ④ x2+1 (a+b)2 3 1 2、分式2x-22+x 的最简公分母是 3x-1 4a+20 3、若关于x的不等式组 2<x+2 有且仅有3个整数解，且分式25 的值是一 2(x+1)≥-x+a 个整数，则满足条件的所有整数α的和为 4、甲工程队完成一项工程需要α天，乙工程队要比甲工程队多用8天才能完成这项工程， 设工作总量为1，分别写出表示甲、乙两工程队平均每天完成的工作量的式子，若两式的分母 不同，则进行通分。 5、我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式 称为这个分式的巧整式刚如：一坚比，则称分式8是巧分式” x-2 x-2 4x为它的“巧整式”。根据上述定义，解决下列问题。 (1)下列分式中是“巧分式"的有 (填序号) ①x-1)(2x-3)0c+2) ②2x+5 ③2-y2 (x-1)(x+2) x+3 x+y (②若分式二+( 一(m,n为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x-7,求m,n的值。 (③若分式22“ 的“巧整式"为1一x,请判断 2x3+4x2+2x 是不是“巧分式”，并说明理 由。 59/70 第18章分式 6,若分台则二 a2-2ab 的值是一。 4(a-b)+8b 不已知a+b=3,则代数式+20+的值是一· 8、已知2-5x+1=0,则x2-。 9已知a2-4b+b2=0,则g+ 的值是一。 (a-b)2 60/70 第18章分式 18.4分式的乘除 1、老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则：每人只能看到前一个人给的式 子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简。接力中，自己负责的一步出 现错误的是() 老师 甲 丙 x2-2x」 2-2x.x-1x(-2 :x-1 x2:1x- A.只有乙 B甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁 2、已知P=x3x-x2 x-55-x, 关于结论①②，下列判断正确的是() ①将P化为最简分式为 4 -3 ②同时使得x,P的值都为整数的情况共有6种 A.只有结论①正确 B.只有结论②正确 C结论①和②都正确 D.结论①和②都不正确 3、定义新运算：x*y=+y x-y' 则a*b[b*(-a)]的值为。 x2+x 4、先化简 x2+2x+1x一并在-110,2中选一个合适的数作为x的值代入求值。 2x+y 5、已知A=2-2y+y- (1)化简A (2)若x2-6xy+9y2=0,求A的值。 61/70 第18章分式 6、A玉米试验田是半径为Rm(R>1)的圆去掉宽为1m的出水沟后剩下的部分，B玉米试验 田是半径为R的圆中间去掉半径为1m的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收获了450 kg。 ⊙ A B (1)哪块试验田的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 62/70 第18章分式 18.5分式的加减 1、照相机成像应用了一个重要原理，用公式)】*力表示，其中f表示照相机镜头 的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像)到镜头的距离。已知f,v,则u=() fv A.fv B.fv fv n 2、已知A为整式，若计算一2的结果为y,则A=() xy+y2 x2+xy A.x B.y C.x+y D.x-y a27B-、11 3、如果A=2 。一1a十那么代数式A与B之间的关系是(） A.A+B=0 B.A·B=0 C.A=B D.A=2B 已知后+后1a+b*0,则2+号 a+6-() A.2 B.1 C.2 D.3 5、为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置。经测算，原来α天 用水b吨，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水 吨。 6、已知：P=x+1,Q=x+ (1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由 (②)设y-号若9是整数，求整数y的值。 63/70 第18章分式 7、【问题提出】已知x+一2，怎样求x,的值？ x2+1 (国【问题解决】我们可以设y=年，则 1x2+1 1 =X十一 y x =-2,所以y的值为一。 ②【类比探究】已知x+生3，求分式+2的值。 x2 64/70 第18章分式 18.6分式的混合运算 1、要使式子 a2+1 ÷1 a2-2a+1-a-1 的值为负整数，则整数a的值为() A.1或2 B.2或3 C.a>1 D.a>2 2、先化简，再求值：1- 2x 2x2-4x x+2x2+4x+4' 求值时请在-2≤x≤2内取一个使原式有意义的 整数x代入求值。 3、根据如图所示的程序，若输入的x满足x2一2x一3=0，求输出的D的值。 /输入x B=A-*-1 x-2 c间 D=C·x /输出D 4、观察下列等式： 第1个等式：（ 副×，第2个等式：(G)×四 第3个等式：（ 别x智第4个等式：（店）×号台 (1)第5个等式是 (2)猜想第n个等式是 (用含n的代数式表示)。 (3)请证明猜想的第n个等式。 65/70 第18章分式 18.7分式方程及其解法 1 1 1 1、对于实数a,b,定义一种新运算：a⑧b a-b2,1 例如：1⑧3= 1-32=- 8 2 则方程x⑧(-2)= x-41的解是() A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7 23 2点A,B在数轴上对应的数分别为3一文x十1且点A,B关于原点对称，则x的值() 7 A. B.5 C.7 D.11 3、已知关于x的分式方程+1=2的解为负数，则k的取值范围是() x+11+x A.k<3 B.k>3 C.k<3且k≠2 D.k>3且k≠4 4、如果关于x的分式方程+产=2无解，那么实数m的值是() A.m=1 B.m=-1 C.m=1或m=-1 D.m≠1且m≠-1 5、先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程x+日2+号 1 1 X 的解为x1=2,2=2 1 1 方程x+元3+3的解为x1=3,2=3 方程x+号=4+年的解为x1=4,2=4 1 1 1 1 1 (1)根据上面的规律，猜想方程x+文5+5的解； (冈利用材料提供的方法解关于x的方程：x+牛行-3+号 (3)已知a≠0，利用材料提供的方法解关于x的方程：x+1=2+3a+1 (结果保留a) 4x-6 2a 66/70 第18章分式 6、定义：如果两个分式M,N的和为常数k,且k为正整数，则称M与N互为“和整分 式”，常数k称为“和整值”。 +五，W=、1 如：分式M=x x十1，M+N十1，四M与N互为和整分式”，“和3 值"k=1. ①已知分式4-名，8-c9 之十x-6,判断A与B是否互为和整分式”，若是，求出“和 整值”k;若不是，请说明理由。 3x-4 G (2)已知分式C=-2,D=4C与D互为“和整分式”，且和整值"k=3。若x为正 整数，且分式D的值也为正整数，求： ①G所代表的代数式； ②x的值； (3)已知分式P=3x-5 x3,2x一3，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k=2,若满足 上关系的关于x的方程无解，求实数m的值。 67/70 第18章分式 7、已知关于x的分式方程竖+1=是 (1)若x=1是分式方程的解，求a的值； (2)当a=4时，解分式方程； (3)①若分式方程的解为正数，求a的取值范围； ②若分式方程的解为整数，求α的值； (4)若分式方程无解，求a的值； 68/70 第18章分式 18.8分式方程的实际应用 1、如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿 灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2 倍，则小敏通过AB路段的速度是() A.0.5米/秒 B.1米/秒 C.1.5米/秒 D.2米/秒 B 2、随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多 便利。厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的 1.5倍。若两种机器人分别装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，则智能机 器人每小时可以装载货物() A.0.1吨 B.0.15吨 C.6吨 D.9吨 3、某中学计划在期末考试后组织八、九年级团员与社区居民共同举办一场联欢会，并向居民 赠送手编中国结。两个年级的团员分别接到制作720个中国结的任务，八年级团员平均每人 比九年级多编2个，九年级团员的人数比八年级多20%。请你提出一个能用分式方程解决的 问题并进行解答。 69/70 第18章分式 4、为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检。在巡检 时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责A段线路的巡检，乙 无人机负责B段线路的巡检，已知A段线路单程长60m,B段线路单程长50m,甲无人机 与乙无人机的平均巡航速度比是3：2。 (1)若乙无人机完成B段线路往返巡检的时间比甲无人机完成A段线路往返巡检的时间多0.5h, 求甲、乙无人机的平均巡航速度； (2)若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的平均巡 航速度较(1)中的速度提升了α%，甲无人机的平均巡航速度不变，求α的值。 70/70第18章分式 18.1从分数到分式 1、牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质.已知m克牛奶中含α克蛋白质，比n克鸡蛋中含的蛋 白质少b克，则m克鸡蛋中蛋白质的含量是() A.m(a-b) 克 Bm(a+b) 克 C.n(a-b) 克 D.n(a+b) 克 n n m m 答案：B 解析：由题意可知，n克鸡蛋中含有(a+b)克蛋白质，因此可求得m克鸡蛋中蛋白质的含 量为m(a+)克。 n 2、已知当x=1时，分式x+2 x-a 无意义；当x=4时，该分式的值为0。则Q+b的值为一。 答案：-1 解：当x=1时，分式无意义，∴x-a=0,即1-a=0,解得a=1, 当x4时，分式的值为0，+0 将x=4代入得：4+2b=0,解得b=-2,.a+b=1+(-2)=-1。 3、如图有七张写着不同整式的卡牌：-12-3国x+2-2-4 (1)从中选择两张卡牌分别放在分子、分母的位置上，拼出一个“分式”。 答案：十2（答案不唯一，只要分母中含有字母即可） (2)当x满足什么条件时，你拼出的“分式”有意义？它的值可能为0吗？ 答案：当x+-2时，分式x年2有意义：当x=0时，该分式的值为0。 (3)拼出一个当x=2时，分式的值为0的“分式”。 答案：2 x+2 (答案不唯一，只需分母中含有字母，且当x=2时，分子等于0且分母不等于0 即可) 117/142 第18章分式 18.2分式的基本性质 1、下列分式变形正确的是() A.m-2n =-2m 2a-b 2ab-b B. m a2b a2b2 a2-9 a-3 1 C. D.a+b a2+6a+9a+3 a2+b2-a+b 答案：C 解析： A选项：分式m-2n 变形时，分母除以m,分子需整体除以m,结果不为-2n,变形错误。 m B选项：分式 a6°分母乘b变为a2,分子需整体乘b,结果应为2b-b,原式分子 2a-b 计算错误，变形错误。 a2-9 C选项： 6+)分子分母同时除以不为0的整式a+3,化简得3 (a+3)(a-3) a2+6a+9 a+3’ 变形正确。 D选项：分式0中，分母+无法因式分解，不能与分子约分，变形错误。 2、不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整 数的要化为整数。 -2x+y (1)-x-3y 解答： 解：原式二(-2x+》2x-y -(-x-3y)x+3y -0.01z-0.5 (2) -0.3z-0.04 解：原式-100(-03z-00车302+4 -100(-0.01z-0.5)z+50 118/142 第18章分式 18.3分式的约分和通分 1、如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式 为“和谐分式”。下列分式中，是“和谐分式”的是一。 ①安+1 x-1 ② a-2b x+y a2-b2 a2-b2 x2-y2 ④ (a+b)2 答案：② 解析： ①分式+7 分子、分母均无法继续因式分解，不满足“分子或分母可以因式分解”的条件， 不是和谐分式； ②分式 a-2b 京：分母可因式分解为(a+a-创，分式为最简分式，无法约分，是和谐分式： ③分式多：分母可因武分解为《+功，分子分母含有公因式x+,可以约分， 不是最简分式，不是和谐分式； ④分式 a2-b2 a+b2: 分子可因式分解为(a+b)(a-b),分子分母含有公因式a+b,可以约分， 不是最简分式，不是和谐分式。 1 2、分式2x22十x2的 的最简公分母是 答案：2x(x+1)(x-1) 解：先对各分母因式分 2x-2=2(x-1),x2+x=x(x+1),x2-x=x(x-1) 取所有因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为2x(x+1)(x-1)。 3、若关于x的不等式组 3“,<x+2有且仅有3个整数解，且分式如+公 2 a2-25 的值是一 2(x+1)≥-x+a 个整数，则满足条件的所有整数α的和为一。 答案：13 解：解不等式<x+2,得：x<5 解不等式2x+1)≥-x+a,得：x≥a,2 3 119/142 第18章分式 “不等式组的解集为0,2 ≤x<5 :不等式组有且仅有3个整数解 整数解为2、3、4，即1<3s2 解得：5<a≤8 化简分式： 4a+204(a+5) 4 a2-25(a+5)(a-5=a-5(a+±5) :分式的值为整数，且a为整数，5<a≤8 a=6或a=7 整数a的和为：6+7=13 4、甲工程队完成一项工程需要α天，乙工程队要比甲工程队多用8天才能完成这项工程， 设工作总量为1，分别写出表示甲、乙两工程队平均每天完成的工作量的式子，若两式的分母 不同，则进行通分。 解：由题意可知，乙工程队完成工程需要(a+8)天。 甲工程队日均工作量：君 乙工程队日均工作量：1 +8 不同，最简公分母为a(a+8),通分结果为：。=a+8,。 5、我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式 称为这个分式的巧整式。例如：-8_x-2-4,则称分式松-8是巧分式， x-2x-2 x-2 4x为它的“巧整式”。根据上述定义，解决下列问题。 (1)下列分式中是“巧分式"的有 (填序号) ①K-102x-3)0cx+2) ② 2x+5 ③ x2-y2 (x-1)(x+2) x+3 x+y 答案：①③ 解析： ①x1)2x30+2）=2x-3,2x-3是整式，是巧分式； (x-1)(x+2) 120/142 第18章分式 ②2+5 x+3 是最简分式，无法约分为整式，不是巧分式： ③2”--0+》=x-y,x-y是整式，是巧分式。 x+y x+y (2)若分式x+m x+n(m,n为常数)是-个巧分式”，它的巧整式"为x-7,求m,n的值。 解：由题意得：(x+n)(x-7)=x2-4x+m 展开左边得：x2+(n-7)x-7n=x2-4x+m 根据多项式对应项系数相等可得方程组：7二，解得：《m二21，m=21,13 3)若分式之十2的巧整式”为1名请判断2灯十红+2公 是不是“巧分式”，并说明理 A 由。 解：该分式是“巧分式”，理由如下： -2x3+2x的巧整式为1-x A 4-2x3+2-2x2卫-二2x64100-卫-2x0+1)-2x2+2x 1-X 1-X -(x-1) 将A=2x2+2x代入分式化简： 2x3+4x2+2x2x(x2+2x+1)_2x(x+1)2 2x2+2x 2x(x+1)2x(x+1) =x+1 x+1是整式，·分式2女++2是巧分式” A 6若7-则 2-4b2 a2 2ab 的值是一。 答案：4 2-3-kc≠0，则a=2k,b=3k 解：设 原式=a+2b)a-2b-a+2b a(a-2b) a 代入a=2k,b=3k: 原式2k+6k8k 4 2k-2k 121/142 第18章分式 7、已知a+b=3,则代数式a-b)+6 a2+2ab b2 的值是。 答案： 解：原式=4a-b+8b_4a+4b_4〔a+)_4 (a+b)2(a+b)2=(a+b)7a+b :a+b=3 “原式-有 8、已知2-5x+1=0,则c2-一 答案：21 解：x2-5x+1=0,且x≠0 方程两边同时除以x得：x-5+=0,即x+1=5 由完全平方公式变形：x-孕产=《+-4 代入得：原式=52-4=25-4=21 9、已知a2-4ab+b2=0,则a+b a-的值是。 答案：3 解：a2-4ab+b2=0,.a2+b2=4ab 原式a2+2ab+b2 a2-2ab+b2，将a2+b2=4ab代入：原式三4a62站=2a6=3 122/142 第18章分式 18.4分式的乘除 1、老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则：每人只能看到前一个人给的式 子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简。接力中，自己负责的一步出 现错误的是() 老师 甲 丙 x2-2x」 12 x2-2x.x-1:x(x-2 x-1 x-1x2 -- A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁 答案：D 解析： 原式： x2-2x x2 x-11-x 甲步骤： 除法变乘法，除式取倒数，计算正确。 乙步骤：变形化简出现错误，符号处理错误。 丙步骤： x(x-2)x-1x-2 x-1x2 =x,约分正确，计算无误。 丁步骤：最终化简步骤出错，计算错误。 综上，出现错误的是乙和。 2已知P=红÷3x-x2 x-55-x, 关于结论①②，下列判断正确的是() ①将P化为最简分式为， ②同时使得x,P的值都为整数的情况共有6种 A.只有结论①正确 B.只有结论②正确 C.结论①和②都正确 D.结论①和②都不正确 答案：A 解：由分式有意义的条件可得： x-5≠0,3x-x2≠0 解得：x≠5，x≠0，x≠3 123/142 第18章分式 化简原式： 4x 3x-x2 x-55-x = 4x-(x-5) x-5x(3-x) 心、 4 x-3 故结论①正确。 4 :P=x3x、P均为整数 “x-3=士1、±2、±4 解得：x=4、2、5、1、7、-1 又x≠5，符合条件的x为-1、1、2、4、7，共5种情况。 故结论②错误。 综上，只有结论①正确。 3、定义新运算：y号则ab×:(-o】的值为一 答案：-1 解：根据新运算定义可得：a*b=a+b a-b 6(-0-t8- 原式=a+bxb-a a-b×b+Q =-1 4、先化简，产并在-1102中选一个合适的数作为之的值代入求位. 解：原式=x+0x-1x-1 x+1)2xx+1 由分式有意义的条件可知： x+1≠0，x-1≠0，x≠0 即x≠0，x≠士1 124/142 第18章分式 x=2 将x=2代入化简式： 原式2有 2-11 2x+y 5、已知A=-2y+y《-功 (1)化简A 2x+y A 解： c-x-) =2x+y x-y (2)若x2-6xy+9y2=0,求A的值。 解：x2-6xy+9y2=0 ∴.(x-3y)2=0 ..x=3y 将x=3y代入A=2x+y得：A=y+-卫=7 x-y 3y-y2y-2 6、A玉米试验田是半径为Rm(R>1)的圆去掉宽为1m的出水沟后剩下的部分，B玉米试验 田是半径为R的圆中间去掉半径为1m的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收获了450 kg。 ⊙ (1)哪块试验田的单位面积产量高？ 解：A试验田面积：π(R-1)m2 A试验田单位面积产量：50 n(R-1)3kg/m2 B试验田面积：π(R2-1)m2 B试验田单位面积产量：450 π(R2-1习g/m2 125/142 第18章分式 (R2-12)-(R-1)2 R2-1-(R2-2R+1) =2R-2 =2(R-1) R>1,2(R-1)>0 .0<(R-1)2<R2-12 450 450 π(R2-12)π(R-1)2 答案：A玉米试验田的单位面积产量高 (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 解：由题意列式： 450 450 π(R-1)2元(R2-1 450 π(R+1)(R-1) π(R-1)2x 450 R+1 R-1 答案：高的单位面积产量是低的单位面积产量的+} 倍 126/142 第18章分式 18.5分式的加减 1、照相机成像应用了一个重要原理，用公式)】*力表示，其中f表示照相机镜头 的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离。已知f,v,则u=() fv A.fv B. f-v c 答案：C 11.1 111 解析：由于+。和≠刀，移项得：于。 通分计算：1-”-f u fv fv 取倒数得：u= Γv-f° 2、已知A为整式，若计算1，的结果为号则A=() xy+y2+x罗 A.x B.y C.x+y D.x-y 答案：A 解：由题意得：A。=y+y y+-y+2中刘 对右侧分式通分，最简公分母为xy(x+y): x-y+_y (x-y)(x+y) xy x(x+y) xy(x+y)xy(x+y) x2-y2+y2 xy(x+y) +3 xy(x+y) X y(x+y) X xy+y2 A “y+yy+y, 即A=x。 3、如果4-8-。品那么代数式A与8之间的关系() A.A+B=0 B.A·B=0 C.A=B D.A=2B 答案：C 127/142 第18章分式 解：化简B: ⊙ s1 1 a-1a+1 (a+1)-(a-1) a2-1 a+1-a+1 a2-1 2 -a2-1 2 .A= a2-1 .A=B 4、已知名+行1a+b*0,则+他 a+6() A月 B.1 C.2 D.3 答案：C 解由+行1通分得， 2b+a=1 ab 即：a+2b=ab 将ab=a+2b代入原式： a+ab a+a+2b a+b a+b 2a+2b a+b 2(a+b) a+b =2 5、为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置。经测算，原来α天 用水b吨，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水 吨。 4b 答案：a2+4a b 解：原来每天用水量：二吨 现在用水天数：(a+4)天 现在每天用水量： Q+4吨 128/142 第18章分式 每天节约水量： bb b(a+4)-ab aa+4 aa+4) ab+4b-ab a2+4a 4b a2+4a 6、已知：P=x+1,Q=x十1 (1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由； 解：P-Q≥0，理由如下： 4x P-Q=x+1- x+1 =x+1)2-4x x+1 =2+2x+1-4 x+1 x2-2x+1 x+1 =x-1)2 x+1 .x>0,.x+1>0 又cx≥0+20，即P-Q≥0 (冈设y-号若是整数，求监数y的值。 解：将P=x+1,Q=+1代入得： 、 314x y x+12x+1 =32x x+1x+1 3-2x x+1 =-2(x+1)+5 x+1 5 =-2+ x+1 x、y为整数 129/142 第18章分式 x+1为5的整数因数，即x+1=士1、±5 ①当x+1=1时，y=-2+5=3 ②当x+1=-1时，y=-2-5=-7 ③当x+1=5时，y=-2+1=-1 ④当x+1=-5时，y=-2-1=-3 经检验，所有x的取值均使分式有意义。 答案：整数y的值为-7、-3、-1、3 7、【问题提出】已知x+片2，怎样求本的值2 1 ①【问题解决】我们可以设y=21，则=一=x+=一2，所以y的值为一。 答案：司 公【类此探究】已知x+3,求分式+十2+7的值。 解：设m=+之+7显然x+0,取倒数得： 1x4+x2+1 1 m x2 =2++1 1 X+-=3 ,12 (x+安=9 1 2+2+7-9 2+是=7 .1 二=7+1=8 1 m=8 答案：8 130/142 第18章分式 18.6分式的混合运算 1、要使式子 a2+1 ÷1 a2-2a+1a-1 的值为负整数，则整数a的值为() A.1或2 B.2或3 C.a>1 D.a>2 答案：B 解：原式 原式- /a+1 a2+1 a-1(a-102 (a-1) -a+10a-1)-(a2+D.a-1） (a-1)2 =a2-1-a2-1 a-1 2 a-1 :式子的值为负整数，且a为整数，a≠1，·a-1=1或a-1=2 解得：a=2或a=3 2、先化简，再求值：1 x+2十4x+4求值时请在-2≤x≤2内取一个使原式有意义的 2x2x2-4x 整数x代入求值。 解：原武1221+22+刃4 x-2x-2-x-2 由分式有意义的条件得：x≠0，x≠士2 -2≤x≤2，且x为整数，“x=-1或x=1 当x1时，原成4号 -4 当x=1时，原式=1-24 答案：或4 131/142 第18章分式 3、根据如图所示的程序，若输入的x满足x2-2x-3=0,求输出的D的值。 /输入x A=4+2 B=A-x-1 x-2 C=B÷,x-4 x2-4x+4 D=C·x2 输出D 解： 由题意得：0-引》 x-4 x2-4x+4 D=x+2x-2)-xx-1)(x-2)2 x2 x(x-2) X-4 =x2-4-x2+x(x-2)2 x2 x(x-2)x-4 x-4(x-2)2 = x(x-2)x-4 =x(x-2) =x2-2x :x2-2x-3=0 x2-2x=3 D=3 答案：3 4、观察下列等式： 第1个等式： 204 第2个等式： 305 第3个等式： 31 24)×3=4 132/142 第18章分式 第4个等式： )×轻- 42_6 (1)第5个等式是 答案：-× (2)猜想第n个等式是 (用含n的代数式表示)。 答案： [1 3 (m+2)(m+3)_n+2 n+1(n+1)(n+3)] n+1 (3)请证明猜想的第n个等式。 证明： 左边=人1 3 (n+2)(n+3) n+1(n+1)(m+3)】 之 [n+3-31(n+2)(m+3) (m+1)(n+3)J (n+2)(n+3) (n+1)(n+3) n n+2 n+1 右边=”+2 n+1 “左边=右边，等式成立。 133/142 第18章分式 18.7分式方程及其解法 1 1 1 1、对于实数a,b,定义一种新运算：a⑧b a-b2,1 例如：1⑧3= 1-32=- 8 2 则方程x⑧(-2)= x-41的解是() A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7 答案：B 1 1 解：根据新运算定义可得：x⑧(-2)= Γx-（-2)2=x-4 原方程可化为：，1 2 x-4x-41 方程两边同乘(x-4)去分母得： 1=2-(x-4) 去括号、移项、合并同类项： 1=2-x+4 x=6-1 解得：x=5 检验：当x=5时，x-4≠0，故x=5是原分式方程的解。 2点4，B在数轴上对应的数分别为己耳点A,B关于原点对称，则x的值是 () 7 A B.5 C.7 D.11 答案：D 解：数轴上关于原点对称的两个数互为相反数，因此：了乙+，7-0 方程两边同乘最简公分母(3-x)(x+1)得：2(x+1)+3(3-x)=0 去括号：2x+2+9-3x=0 合并同类项：-x+11=0 解得：x=11 检验：当x=11时，(3-x)(x+1)≠0，故x=11是原分式方程的解。 134/142 第18章分式 3、已知关于x的分式方程x+k,1 x+11+x =2的解为负数，则k的取值范围是() A.k<3 B.k>3 C.k<3且k≠2 D.k>3且k≠4 答案：C 解：方程两边同乘(x+1)得：x+k-1=2(x+1) 去括号、移项整理：x+k-1=2x+2 x=k-3 ·分式方程的解为负数 x<0,即k-3<0,解得k<3 又：分式分母不为0，即x+1≠0 “k-3≠-1，解得k≠2 综上：k<3且k≠2 4、如果关于x的分式方程+名=2无解。那么实数m的值是() A.m=1 B.m=-1 C.m=1或m=-1 D.m≠1且m≠-1 答案：C -mx 解：原方程变形为：x-1十一2 方程两边同乘(x-1)得： -mx+x=2(x-1) 整理得：(m+1)x=2 分式方程无解分两种情况： ①整式方程无解：令系数为0，m+1=0,解得m=-1 ②整式方程的解为增根：最简公分母x-1=0,即x=1 将x=1代入(m+1)x=2得：m+1=2,解得m=1 综上，m=1或m=-1 5、先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程x+日2+号的解为=2名-月 1 1 1 1 1 方程x+文=3+3的解为x1=3,2= 135/142 第18章分式 方程x+4+号的解为x1=4, 1 (1)根据上面的规律，猜想方程x+-5+号的解； 1 1 答案：x1=5,x2=5 1 用材料提供的方法解关于x的方程：x+x十13 解：原方程变形得：x+区+1)+1 x+1 =3+3 1 x+1)+12,1 x+1=3+3 由规律得：x+1=3或x+1= 3 2 解得：x1=2,2=一3 检验：x1=2,2=3 均使原分式有意义，是原方程的解。 1a2+3a+1 (3)已知a≠0，利用材料提供的方法解关于x的方程：x+ 4x-6 (结果保留a) 2a 1a2+3a+1 解：原方程：x+4x-62a 1 方程两边同乘2：2x+ 2x3=a+3+1 1 a 1 1 方程两边减3：(2x-3)+2x-3=a+ a 1 由规律得：2x-3=a或2x-3=- a 解得：x1=3+a, 3a+1 2x2 2a 检验：所得解均使原分式有意义，是原方程的解。 6、定义：如果两个分式M,N的和为常数k,且k为正整数，则称M与N互为“和整分 式”，常数k称为“和整值”。 如：分式M=x」 ，x十7，M+N气十1，则M与N互为和整分式”，和势 值"k=1. 136/142 第18章分式 ()已知分式A=x一工，B=x6。,判断A与B是否互为和罡分式。若是，求出和 整值”k;若不是，请说明理由。 解：A、B互为和整分式，理由如下： x-7 (x+3)2 A+B x-2十 (x-2)(x+3) =-7,x+3 x-2+x-2 2x-4 x-2 =2 .和整值k=2 (2②)已知分式c=3x4, X-2,D =2二4C与D互为和整分式”，且“和整值"k=3。若x为正 G 整数，且分式D的值也为正整数，求： ①G所代表的代数式； 解：由题意得C+D=3 3x-4 G x-2+x+2)0x-2 =3 (3x-4)(x+2)+G =3 (x+2)(x-2) 3x2+2x-8+G =3(x2-4) 3x2+2x-8+G =3x2-12 G =-2X-4 答案：G=-2x-4 ②x的值； 解：将G=-2x-4代入得： D=二2x-4 2 x2-4 =-x-2 :x为正整数，D为正整数 x-2=-1或x-2=-2 解得：x=1或x=0（舍去) 答案：x=1 137/142 第18章分式 x-3,0=mx-3 (3)已知分式P=3x-5 3元，P与Q互为“和整分式”，且“和整值"k=2,若满足以 上关系的关于x的方程无解，求实数m的值。 解：P与Q互为和整分式”，且“和整值”k=2, 3x-5,mx-3.3x-5-mx+3 .P+Q=x-33-x =2,.9 =2， x-3 (3-m)x-2=2x-6,.(1-m)x=-4 :当1-m=0,即m=1时，关于x的方程无解， 4 当1-m≠0时，x=- 1-m :关于x的方程无解，“m=3,解得m-了 4 1 综上，m的值为1或 7已知关于x的分式方程-名+1- (1)若x=1是分式方程的解，求a的值； 解：将x=1代入原方程：-2+12- a-3 1 解得：a=3 答案：a=3 (2)当a=4时，解分式方程； 解：当a=4时，方程为：红+1 1 两边同乘x-2:4x-3+x-2=-1 解得：x=5 4 检验：x号时，x-2+0,方程成立。 答案：X-号 (3)①若分式方程的解为正数，求a的取值范围； 138/142 第18章分式 解：去分母整理得：(a+1x=4,解得x三。1 解为正数，“。年>0，即a-1 4 又：x≠2，“a+1+2,即a≠1 答案：a>-1且a≠1 ②若分式方程的解为整数，求a的值； 解：x=4 为整数，则a+1=士1，士2，士4 a+1 解得：a=0,-2,1,-3,3,-5 由题意a≠1 答案：所以a的值是0，-2，-3,3，-5 (4)若分式方程无解，求a的值； 解：方程两边乘(x-2),得ax-3+x-2=-1, 整理，得(a+1)x=4 当a+1=0,即a=-1时，分式方程无解： 当a+1≠0，即a≠-1时，因为分式方程无解，所以x=2. 把x=2代入(a+1)x=4,得a=1· 综上，a的值为-1或1. 139/142 第18章分式 18.8分式方程的实际应用 1、如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿 灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2 倍，则小敏通过AB路段的速度是() A.0.5米/秒 B.1米/秒 C.1.5米/秒 D.2米/秒 B 答案：B 解答： 解：设小敏通过AB路段的速度是x米/秒，则通过BC路段的速度是1.2x米/秒。 根据题意列方程：号+品-2 解得：x=1 检验：当x=1时，x≠0,1.2x≠0，x=1是原分式方程的解，且符合题意。 答：小敏通过AB路段的速度是1米/秒。 2、随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多 便利。厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的 1.5倍。若两种机器人分别装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，则智能机 器人每小时可以装载货物() A.0.1吨 B.0.15吨 C.6吨 D.9吨 答案：D 解答： 解：设普通机器人每小时装载货物w吨，则智能机器人每小时装载货物1.5w吨。 统-单位：20分钟= 60小时 根据题意列方程：6,620 w1.5w-60 解得：w=6 检验：当w=6时，w≠0,1.5w≠0，w=6是原分式方程的解，且符合题意。 140/142 第18章分式 智能机器人每小时装载货物：1.5×6=9（吨) 答：智能机器人每小时可以装载货物9吨。 3、某中学计划在期末考试后组织八、九年级团员与社区居民共同举办一场联欢会，并向居民 赠送手编中国结。两个年级的团员分别接到制作720个中国结的任务，八年级团员平均每人 比九年级多编2个，九年级团员的人数比八年级多20%。请你提出一个能用分式方程解决的 问题并进行解答。 解答：问题一：求八、九年级团员的人数 解：设八年级团员有x人，则九年级团员有(1+20%)x人。 根据题意列方程：720 720 =2 (1+20%x 解得：x=60 检验：当x=60时，x≠0，(1+20%)x≠0，x=60是原分式方程的解，且符合题意。 九年级团员人数：(1+20%)×60=72（人） 答：八年级团员有60人，九年级团员有72人。 问题二：求八、九年级团员平均每人编中国结的数量 解：设九年级团员平均每人编y个中国结，则八年级团员平均每人编y+2)个中国结。 根据题意列方程： 720720 720 yy+2=20%× y+2 解得：y=10 检验：当y=10时，y≠0，y+2≠0，y=10是原分式方程的解，且符合题意。 八年级每人制作数量：y+2=10+2=12（个) 答：八年级团员平均每人编12个中国结，九年级团员平均每人编10个中国结。 4、为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检。在巡检 时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责A段线路的巡检，乙 无人机负责B段线路的巡检，已知A段线路单程长60m,B段线路单程长50km,甲无人机 与乙无人机的平均巡航速度比是3：2。 (1)若乙无人机完成B段线路往返巡检的时间比甲无人机完成A段线路往返巡检的时间多0.5h, 求甲、乙无人机的平均巡航速度： 141/142 第18章分式 解：设甲无人机的平均巡航速度为3xkam/h,则乙无人机的平均巡航速度为2xkm/h。 根据题意列方程：50×260×2 2x 3x 0.5 解得：x=20 检验：当x=20时，x≠0，x=20是原分式方程的解，且符合题意。 甲无人机速度：3x=3×20=60km/h 乙无人机速度：2x=2×20=40am/h 答：甲无人机的平均巡航速度为60km/h,乙无人机的平均巡航速度为40am/h。 (2)若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的平均巡 航速度较(1)中的速度提升了a%,甲无人机的平均巡航速度不变，求α的值。 解：根据题意列方程：60×2-50×2 60-40(1+a%) 解得：a=25 检验：当a=25时，方程分母不为0，a=25是原分式方程的解，且符合题意。 答：a的值为25。 142/142