第十八章 分式（重难点单元自测）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦八年级下分式全章核心知识，以科技（CPU主频、无人机配送）、文化（山西老陈醋）、生活（聚餐费用）情境为载体，梯度设计试题，适配单元复习，有效检测数学抽象、运算推理与模型应用素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|分式定义、性质、科学记数法|结合CPU主频考科学记数法，体现数学眼光| |填空题|8/32|分式值为零、变形、裂项|电路电阻公式应用，渗透跨学科思维| |解答题|8/78|化简求值、应用题、创新题|无人机配送行程问题，培养模型意识；裂项法解方程，发展推理能力|

第十八章分式 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东梅州·期末）使分式无意义的是（     ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·吉林长春·阶段检测）运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）“主频”是指的时钟频率，它的高低在很大程度上反映了速度的快慢．某款的主频是，意味着它执行一个基本动作的时间大约是秒．将数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·四川成都·期末）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 8．（20-21八年级上·河北承德·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 9．（25-26八年级下·四川成都·期末）周末几名同学计划去聚餐，订了一桌价值280元的晚餐，出发前4名同学临时有事情不能参加，结果每个同学比原计划多出了16元的餐费，设最先打算参加聚餐的同学共x人，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 10．（2022·山东潍坊·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．8 C．12 D．15 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级下·山西晋中·期末）若分式的值为零，则的值为_______ 12．（21-22九年级下·江苏·周测）若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 14．（25-26八年级下·四川成都·期末）若，其中，为常数，则的值为________． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径．线上平台上有一种标价为元的商品，若按标价的八折销售，每件商品的利润率为，则这种商品每件的成本价为___元． 16．（21-22八年级下·四川资阳·阶段检测）若关于x的分式方程的解为正整数，则满足条件的正整数k的值为_____． 17．（2026·江西九江·二模）如图所示的电路总电阻为，若（总电阻与，的关系为），则________Ω． 18．（25-26八年级下·广东梅州·期末）对于任意有理数a和非零有理数b，规定一种特别的运算“★”：．例如，若，则________． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 20．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）已知分式：及一组数据，0，1．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个合适的数代入并求值． 21．（2026·山西阳泉·三模）山西老陈醋是中国四大名醋之一，至今已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某副食店第一次购进了总价为9000元的陈醋若干壶，第二次又补购了4050元相同规格的陈醋，进货单价比第一次便宜了2元，并且第二次的补货量恰好是第一次的一半．求这两次购进陈醋的单价分别是多少元． 22．（2022·浙江丽水·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程： 解：去分母，得； 去括号，得； 移项，得； 合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 23．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程会产生增根？ (2)当此方程的解是正数时，求k的取值范围． 24．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如． 求： (1)如果分式的值为整数，求的整数值． (2)求代数式的最小值． 25．（25-26八年级下·山西晋中·期末）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 26．（25-26八年级下·江西景德镇·期末）美美在学习电路图时，通过实验探究，得出了并联电路的总电阻，通过变形可知，而这一变形在研究数学问题时经常遇到；例如，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，请利用以上方法解决下列问题： (1)______． (2)解方程：； (3)若分式方程有增根，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章分式 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据分式定义：若表示两个整式（），且中含有字母，则式子是分式. ∵选项A分母是，为常数，不含字母，属于整式，不符合要求； 选项B分母是，为字母，满足分式定义，符合要求； 选项C分母是，为常数，不含字母，属于整式，不符合要求； 选项D中是常数，因此分母不含字母，属于整式，不符合要求. 2．（25-26八年级下·广东梅州·期末）使分式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分式无意义时，分式的分母等于， ∴令， 解得 ∴使分式无意义的是． 3．（22-23八年级下·吉林长春·阶段检测）运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 原等式左边分母为，右边分母为， ∴分母乘了， ∴ 分子也需要同乘， ∴ 4．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）“主频”是指的时钟频率，它的高低在很大程度上反映了速度的快慢．某款的主频是，意味着它执行一个基本动作的时间大约是秒．将数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 6．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式 ． 故选：C． 7．（25-26八年级下·四川成都·期末）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 8．（20-21八年级上·河北承德·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 9．（25-26八年级下·四川成都·期末）周末几名同学计划去聚餐，订了一桌价值280元的晚餐，出发前4名同学临时有事情不能参加，结果每个同学比原计划多出了16元的餐费，设最先打算参加聚餐的同学共x人，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设最先打算参加聚餐的同学共x人， ∵原计划每人分摊餐费为元，实际参加人数为人， ∴实际每人分摊餐费为元， 又∵实际每个同学比原计划多出了16元餐费， ∴可得方程． 10．（2022·山东潍坊·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．8 C．12 D．15 【答案】D 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 解分式方程， 方程两边同乘得， 整理得， 解得， ∵分式方程的解是正整数，且分母不为0即， ∴且， 解得且， 综上，，，且是正整数， 符合条件的整数为， 所有满足条件的整数的和为． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级下·山西晋中·期末）若分式的值为零，则的值为_______ 【答案】 【详解】解：分式的值为零， ，且， 解得，，且，且， ． 12．（21-22九年级下·江苏·周测）若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26八年级下·四川成都·期末）若，其中，为常数，则的值为________． 【答案】 【详解】解：对等式右边通分整理，得， 由题意得， ∴，解得， ∴. 15．（2026·陕西西安·模拟预测）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径．线上平台上有一种标价为元的商品，若按标价的八折销售，每件商品的利润率为，则这种商品每件的成本价为___元． 【答案】 【详解】解：设这种商品每件的成本价为元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 16．（21-22八年级下·四川资阳·阶段检测）若关于x的分式方程的解为正整数，则满足条件的正整数k的值为_____． 【答案】1或3 【详解】解：， 等式两边都乘得， 整理得， 解得， ∵方程的解为正整数，且， ∴且， ∵k为正整数， ∴或3． 17．（2026·江西九江·二模）如图所示的电路总电阻为，若（总电阻与，的关系为），则________Ω． 【答案】25 【详解】解：由题意得， 方程两边同时乘以得， ∴． 18．（25-26八年级下·广东梅州·期末）对于任意有理数a和非零有理数b，规定一种特别的运算“★”：．例如，若，则________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ，解得：， 经检验：是分式方程的解． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【详解】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵由题得分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 20．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）已知分式：及一组数据，0，1．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个合适的数代入并求值． 【答案】； 【详解】解： ， ∵要使原分式有意义，则，且， 解得，且， ∴将代入，原式． 21．（2026·山西阳泉·三模）山西老陈醋是中国四大名醋之一，至今已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某副食店第一次购进了总价为9000元的陈醋若干壶，第二次又补购了4050元相同规格的陈醋，进货单价比第一次便宜了2元，并且第二次的补货量恰好是第一次的一半．求这两次购进陈醋的单价分别是多少元． 【答案】第一次购进陈醋的单价是20元，第二次购进陈醋的单价是18元 【详解】解：设第一次购进陈醋的单价是x元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：第一次购进陈醋的单价是20元，第二次购进陈醋的单价是18元． 22．（2022·浙江丽水·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程： 解：去分母，得； 去括号，得； 移项，得； 合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】解：圆圆的解答过程有错误，正确解答过程如下： 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 【详解】见答案． 23．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程会产生增根？ (2)当此方程的解是正数时，求k的取值范围． 【答案】(1)当时，此方程会产生增根 (2)k的取值范围是且 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得， 方程会产生增根， ∴，即， ，解得， 当时，此方程会产生增根； （2）解：方程的解是正数， 且， 解得且． 当此方程的解是正数时，的取值范围是且． 24．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如． 求： (1)如果分式的值为整数，求的整数值． (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)的整数值为，，， (2)最小值为 【详解】（1）解： ， 分式的值为整数， 是整数，即是的约数， 可取，，，， 此时的整数值为，，，； （2） 作为分母，不能为， 最小可取， 此时的最小值为， 代数式的最小值为． 25．（25-26八年级下·山西晋中·期末）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)48千米/时 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， , 解得， 经检验，是原分式方程的根，符合题意， （千米/时）， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）解：设无人机的速度提高到千米/时， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 26．（25-26八年级下·江西景德镇·期末）美美在学习电路图时，通过实验探究，得出了并联电路的总电阻，通过变形可知，而这一变形在研究数学问题时经常遇到；例如，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，请利用以上方法解决下列问题： (1)______． (2)解方程：； (3)若分式方程有增根，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3)或18． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， ， ， ； 经检验，是原方程的解； （3）解：， ， ， ， ， ， ∵方程有增根， ∴或或， 当时，； 当时，，； 当时，（不符合题意，舍去） 综上：或18． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $