2.1 等式性质与不等式性质讲义 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义以等式与不等式性质为核心，通过表格系统梳理等式基本性质、恒等式公式及不等式10条性质，构建“基础回顾-题型突破-综合应用”的知识框架，清晰呈现性质间的逻辑联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型设计的实践性与方法指导的针对性，如题型1结合平流层高度问题引导用不等式表示不等关系，培养数学眼光，题型4通过作差作商比较大小强化推理能力，渗透数学思维。课时精练包含选择、填空等多种形式，基础题巩固知识，综合题提升应用能力，助力学生自主复习，也为教师分层教学提供精准素材。

2.1 等式性质与不等式性质 【题型1】利用不等式表示不等关系 2 【题型2】利用不等式性质判断不等式正确性 4 【题型3】由不等式的性质证明不等式 5 【题型4】利用作差与作商比较大小 7 【题型5】利用不等式求代数式的范围 8 【题型6】“糖水不等式”的理解与应用 9 课时精练 11 【基础回顾】 1、 等式性质的相关概念 知识点1:等式的基本性质 名称 性质内容 性质1 对称性 性质2 传递性 性质3 同加（减）性 性质4 同乘性 性质5 同除性 知识点2:恒等式 （1）含义:一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任何实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等. （2）重要的恒等式公式 ①平方差公式:; ②完全平方公式:; ③立方和公式:; ④立方差公式:; ⑤三数和平方: ; ⑥完全立方:. 2、 不等式性质的相关概念 知识点1:不等式的性质 33 / 13 学科网（北京）股份有限公司 性质 名称 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加性 可逆 4 移项法则 可逆 5 同向可加性 同向 6 可倒数性 同向同正 7 可乘性 的正负 8 同向同正可乘性 同向同正 9 可乘方性 同正 10 可开方性 同正 【题型1】利用不等式表示不等关系 1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·云南曲靖·月考）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 5．（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北保定·月考）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． (多选）8．（24-25高一·全国·寒假作业）下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” (多选）9．（25-26高一上·贵州·月考）一个大于10且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大4，用x，y分别表示这个两位数的十位数字和个位数字，则（   ） A． B． C． D． (多选）10．（24-25高一上·河北石家庄·月考）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【题型2】利用不等式性质判断不等式正确性 1．（浙江浙里特色联盟2025-2026学年第二学期期中联考高一数学试题）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 4．（2026·天津南开·一模）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知，使成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． (多选）8．（2026·山西吕梁·二模）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． (多选）9．（25-26高一上·四川巴中·月考）已知均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若， D．若，则 (多选）10．（2026·四川遂宁·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【题型3】由不等式的性质证明不等式 1．（2026·浙江·一模）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（湖北襄阳市2026届高三下学期4月统一调研测试数学试题）已知，，为正实数，命题：，命题：，则命题是命题的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A．性质1和性质2 B．性质2和性质4 C．性质3和性质4 D．性质4和性质5 4．（25-26高一上·福建·期中）设，，则下列不等式中恒成立的是（   ）. A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京通州·期中）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东东莞·月考）已知是正实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·福建莆田·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 (多选）8．（25-26高一上·山东济南·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 (多选）9．（24-25高一上·甘肃白银·月考）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， (多选）10．（2026·山东淄博·一模）已知实数，满足，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 【题型4】利用作差与作商比较大小 35 / 13 学科网（北京）股份有限公司 比较两数（式）大小的方法： 1.作差法:根据, ,实质是判断的值与0的大小关系. 2.作商法:对同号两数或代数式之间比较大小可用作商法,实质是判断与1的大小关系. 注意:（1）比较代数式的大小通常采用作差法,如果含有根式,也可以先平方再作差,但此时一定要保证代数式大于零; （2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等）,直到能明显看出其正负号为止. （3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较,作商后应变形为能与“1”比较大小的式子,要注意指数函数的有关性质. 1．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽·期末）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·广东肇庆·月考）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2018高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 6．（2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（内蒙古包头区2025-2026学年度高一年级上学期期末教学质量检测数学试题）下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 (多选）8．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 (多选）9．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． (多选）10．（23-24高三上·河南信阳·月考）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】利用不等式求代数式的范围 利用不等式的性质求取值范围的策略: 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 求解这种不等式问题要特别注意,不能简单地分别求出单个变量的范围,再去求其他整体的范围. 1．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·二轮复习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西·月考）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽·月考）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． (多选8．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． (多选）9．（25-26高一上·广东·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． (多选）10．（25-26高一上·新疆巴州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型6】“糖水不等式”的理解与应用 “糖水不等式”的理解与变形 若a克不饱和糖水中含有b克糖,则糖的质量分数为,这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中添加克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,从而可抽象出不等式,数学中常称其为糖水不等式. 假设我们能从糖水中抽取掉m克糖,生活经验告诉我们糖水会变淡,从而可抽象出不等式. 总结:（1）设,则，取倒数可得. （2）设,且,则,取倒数可得. 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反映这一事实的不等关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 4．（25-26高一上·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高一上·广东湛江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·月考）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 7．（25-26高三·上海·二轮复习）已知实数满足，则（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．(多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且）， 若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 9． (多选）（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10． (多选）（25-26高一下·新疆和田·月考）若，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知a、b都是非零实数，那么“”是 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．（2026高二上·北京·学业考试）已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）若且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2026·江西赣州·二模）已知，，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·山东枣庄·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 (多选）9．（25-26高二下·湖南株洲·月考）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 (多选）10．（25-26高一上·贵州毕节·月考）若，且，则下列不等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． (多选）11．（25-26高一上·福建宁德·期中）下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（25-26高一下·山东德州·月考）已知，则的取值范围为______ 13．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则的取值范围是________. 14．（2027高三·全国·专题练习）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为________． $2.1 等式性质与不等式性质 【题型1】利用不等式表示不等关系 2 【题型2】利用不等式性质判断不等式正确性 6 【题型3】由不等式的性质证明不等式 9 【题型4】利用作差与作商比较大小 13 【题型5】利用不等式求代数式的范围 17 【题型6】“糖水不等式”的理解与应用 20 课时精练 25 【基础回顾】 1、 等式性质的相关概念 知识点1:等式的基本性质 名称 性质内容 性质1 对称性 性质2 传递性 性质3 同加（减）性 性质4 同乘性 性质5 同除性 知识点2:恒等式 （1）含义:一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任何实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等. （2）重要的恒等式公式 ①平方差公式:; ②完全平方公式:; ③立方和公式:; ④立方差公式:; ⑤三数和平方: ; ⑥完全立方:. 2、 不等式性质的相关概念 知识点1:不等式的性质 33 / 30 学科网（北京）股份有限公司 性质 名称 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加性 可逆 4 移项法则 可逆 5 同向可加性 同向 6 可倒数性 同向同正 7 可乘性 的正负 8 同向同正可乘性 同向同正 9 可乘方性 同正 10 可开方性 同正 【题型1】利用不等式表示不等关系 1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 4．（25-26高一上·云南曲靖·月考）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. 5．（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 6．（25-26高一上·河北保定·月考）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 7．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. (多选）8．（24-25高一·全国·寒假作业）下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 【答案】CD 【详解】对于A，x与2的和是非负数，应表示为“”，故A错误； 对于B，小明比小华轻，应表示为“”，故B错误； 对于C，的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c， 则可表示为“且且”，C正确； 对于D，若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“”，D正确. 故选：CD (多选）9．（25-26高一上·贵州·月考）一个大于10且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大4，用x，y分别表示这个两位数的十位数字和个位数字，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意，显然A正确，C错误， 取，则，B错误， 对于D，由，则 ，故，D正确. 故选：AD (多选）10．（24-25高一上·河北石家庄·月考）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【答案】ABD 【详解】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 【题型2】利用不等式性质判断不等式正确性 1．（浙江浙里特色联盟2025-2026学年第二学期期中联考高一数学试题）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，由不等式的基本性质可得， 即“”“”； 若，不妨取，，，则， 但，所以“”“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 3．（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 4．（2026·天津南开·一模）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 5．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知，使成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若，由不等式的性质，可得成立，即充分性成立； 反之：若，则成立，即必要性成立， 所以是的充要条件，所以A不符合题意； 对于B，若，当时，可得；当时，可得，即充分性不成立； 反之：若，当时，可得；当时，可得，即必要性不成立； 所以是的既不充分也不必要条件，所以B不符合题意； 对于C，例如：当时，满足，此时，所以C不符合题意； 对于D，若，则，所以，可得，所以充分性成立； 反之：若，当时，可得，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，所以D符合题意. 6．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于选项A，在时不成立； 对于选项B，取时不成立； 对于选项C，取时不成立； 对于选项D，由得，又，所以两式相加得. 7．（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. (多选）8．（2026·山西吕梁·二模）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，取，此时，但，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，因为，故，而，故，故C正确； 对于D，， 若，则， 故即，故D错误. (多选）9．（25-26高一上·四川巴中·月考）已知均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若， D．若，则 【答案】AD 【详解】由，所以，所以，故A正确； 令，所以，得，故B错误； 当时，，故C错误； 由，又，，所以，即，故D正确. (多选）10．（2026·四川遂宁·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 【题型3】由不等式的性质证明不等式 1．（2026·浙江·一模）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（湖北襄阳市2026届高三下学期4月统一调研测试数学试题）已知，，为正实数，命题：，命题：，则命题是命题的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为为正实数，所以， 所以不等式 所以， 所以命题是命题的充要条件. 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A．性质1和性质2 B．性质2和性质4 C．性质3和性质4 D．性质4和性质5 【答案】B 【详解】因为，，利用性质4得到． 因为，，利用性质4得到． 再由，，利用性质2得到. 故选：B 4．（25-26高一上·福建·期中）设，，则下列不等式中恒成立的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取，则，故A错误； 取，则，故B错误； 因为，则，又， 所以，所以C正确； 取，则，，故D错误. 故选：C 5．（25-26高一上·北京通州·期中）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，，所以，故B错误； 对于C，当时，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D错误， 故选：A. 6．（25-26高一上·广东东莞·月考）已知是正实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为是正实数，所以. 若，则，两边同除以得，即，故由能推出，即充分性成立； 若，两边同乘以得，所以，即，故由能推出，即必要性成立； 所以是的充要条件. 故选：B 7．（25-26高一上·福建莆田·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：当，，A错误； 对于B：因为，所以，又， 所以，B错误； 对于C：因为，，又，所以，C正确； 对于D：当时，满足， 但，D错误； 故选：C. (多选）8．（25-26高一上·山东济南·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A：若，则当时，；时，；时，，A错误； 对于B：因为，所以，所以，所以， 即，不等式两侧同时乘以，得，即，B正确； 对于C：因为，所以，所以，C正确； 对于D：因为，所以，所以，即，D错误； 故选：BC. (多选）9．（24-25高一上·甘肃白银·月考）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 【答案】ABC 【详解】对于A，由，可知A不成立，故A符合题意； 对于B，由，可知B不成立，故B符合题意； 对于C，若，，可知C不成立，故C符合题意； 对于D，若，，可知D成立，故D不符合题意. 故选：ABC. (多选）10．（2026·山东淄博·一模）已知实数，满足，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】若，则满足，但不满足，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 因为，，所以，则，故C正确； 因为，，所以，则，故D错误. 【题型4】利用作差与作商比较大小 3 / 30 学科网（北京）股份有限公司 比较两数（式）大小的方法： 1.作差法:根据, ,实质是判断的值与0的大小关系. 2.作商法:对同号两数或代数式之间比较大小可用作商法,实质是判断与1的大小关系. 注意:（1）比较代数式的大小通常采用作差法,如果含有根式,也可以先平方再作差,但此时一定要保证代数式大于零; （2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等）,直到能明显看出其正负号为止. （3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较,作商后应变形为能与“1”比较大小的式子,要注意指数函数的有关性质. 1．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，因为，所以，A错误； ，因为，所以，则，，B错误； 因为，所以，C错误； 因为且，所以，则，即，所以，D正确. 故选：D 3．（25-26高一上·安徽·期末）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，即充分性成立； 若，则，即，即 ， 所以，即必要性成立. 故选：C. 4．（25-26高一上·广东肇庆·月考）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A项：因为：，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：若，则，所以C选项错误； 对于D项：由，得：， 所以得：，故D项正确. 故选：D. 5．（2018高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 6．（2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 7．（内蒙古包头区2025-2026学年度高一年级上学期期末教学质量检测数学试题）下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，又，则，所以， 得到，所以B错误， 对于C，取，显然满足，此时， 不满足，所以C错误， 对于D，因为，又，则， 所以，得到，所以D正确， 故选：D. (多选）8．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】选项A中，a，b的符号不确定，例如：当时，，故A不正确； 选项B中，若，则，故B不正确； 选项C中，若，则，故C正确； 选项D中，， ， ， 即，即，故D正确． 故选：CD． (多选）9．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，由，所以，所以A正确； 对于B，因为，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由， 因为，可得，且，， 所以，即，所以，所以C错误； 对于D，由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以D正确. 故选：ABD. (多选）10．（23-24高三上·河南信阳·月考）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 【题型5】利用不等式求代数式的范围 利用不等式的性质求取值范围的策略: 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 求解这种不等式问题要特别注意,不能简单地分别求出单个变量的范围,再去求其他整体的范围. 1．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 2．（25-26高三·全国·二轮复习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 所以，解得， 即， ， 则， 因此. 故选：D. 4．（25-26高一上·陕西·月考）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，， . 故选：C. 5．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 6．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以，又因为，即，所以令， 所以，所以，解得，即. 故选：D. 7．（25-26高一上·安徽·月考）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，所以. 故选：A. (多选）8．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，，则， 则，，A选项正确，B选项正确； 当时，，C选项错误； 当时，，D选项错误； 故选：AB. (多选）9．（25-26高一上·广东·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，，所以， 即，故A正确； 因为，所以，即，故B不正确； 因为，则，又因为，所以，所以，故C不正确； 因为，则，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. (多选）10．（25-26高一上·新疆巴州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】， ，故A正确； ，，故B错误； ，则，故C正确； ，则，即，故D错误． 故选：AC． 【题型6】“糖水不等式”的理解与应用 “糖水不等式”的理解与变形 若a克不饱和糖水中含有b克糖,则糖的质量分数为,这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中添加克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,从而可抽象出不等式,数学中常称其为糖水不等式. 假设我们能从糖水中抽取掉m克糖,生活经验告诉我们糖水会变淡,从而可抽象出不等式. 总结:（1）设,则，取倒数可得. （2）设,且,则，取倒数可得. 【例题精讲】 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反映这一事实的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，即为浓度增加：， 故选：B． 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 4．（25-26高一上·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，即，故B错误； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误. 故选：C 5．（25-26高一上·广东湛江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，所以，A错误； ，所以，B错误； ，所以错误； ，所以，D正确． 故选：D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·月考）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，取，满足，， 此时，故A错误； 对于B，取，满足，此时，故B错误； 对于C，因为，所以，又， 所以，所以，又， 所以，故C正确， 对于D，取，满足， 此时，故D错误， 故选：C 7．（25-26高三·上海·二轮复习）已知实数满足，则（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因，则，，则，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C：因且，所以，即，故C正确； 对于D：若，则，故D错误. 故选：C 8．(多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【详解】对于A，， ，即，故A正确； 对于B，当，时，，，故B错误； 对于C，由题，，则， ， 又，所以，故C正确； 对于D，，，， ，故D正确. 故选：ACD. 9．(多选）（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A. ，取，则， 则不成立，故选项A错误；     选项B. ，，，，故选项B正确； C.，，， ，，，，，，故选项C错误； D. ， ，，， ，故选项D正确. 10．(多选）（25-26高一下·新疆和田·月考）若，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【答案】BCD 【详解】对A：当时符合且，则，故A错误； 对B：等价于，又，故成立，故B正确； 对C：因为且，所以，故C正确； 对D：，所以成立，故D正确. 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知a、b都是非零实数，那么“”是 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【详解】由， 如果满足，此时，不能推出， 如果满足，此时，也不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件. 2．（2026高二上·北京·学业考试）已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若则原式不成立，故A错误； 对于B，，即，故B正确； 对于C，若则原式不成立，故C错误； 对于D，若则原式不成立，故D错误； 3．（2026·辽宁抚顺·一模）若且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，由，得，故A错误； 对于B，当时，有，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，若，，则，不满足，故D错误. 4．（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 5．（2026·江西赣州·二模）已知，，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】， 因为，所以， 若，则，即， 若，则，即， 所以“”是“”的充要条件. 6．（2026·山东枣庄·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，， 故ACD错误，B正确. 7．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C 8．（25-26高一上·全国·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 ， 则，解得，所以； 又，， 所以 ， 所以. 故选：B. 二、多选题 (多选）9．（25-26高二下·湖南株洲·月考）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】选项A：， 因为，所以， 又因为，所以， 即.因此，A为真命题； 选项B：取，，满足， 计算得，，，显然不成立.因此，B为假命题； 选项C：由基本不等式，得：（）， 两边取倒数得，再乘以得， 由于，等号不成立，故.因此，C为真命题； 选项D：由，得且， ，即. 因此，D为真命题. (多选）10．（25-26高一上·贵州毕节·月考）若，且，则下列不等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，若，，满足，则，A不一定成立； 对于B，若，，满足，取，则，B不一定成立； 对于C，若，则，C不一定成立； 对于D，，，又，，D一定成立. (多选）11．（25-26高一上·福建宁德·期中）下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】选项A，因为，所以，，，.选项A正确. 选项B，当时，.选项B错误. 选项C，因为， 所以.选项C正确. 选项D，，所以，解得， 所以，，两式相加,.选项D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（25-26高一下·山东德州·月考）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 13．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】， 即， 解得， 又， 即， 解得或. 综上，得或， 即0或. 故答案为：. 14．（2027高三·全国·专题练习）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为________． 【答案】 【详解】令，，，其中，，， 所以 若，则，故， 令， 因此故， 则． 若，则，即， ， 则故， 则，当且仅当且时，等号成立，即时等号成立． 综上可知，的最小值为． 故答案为：． $