导数自测题 综合训练-2026年暑假复习高二升高三数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高二暑假导数自测题，含单选、多选、填空、解答题，聚焦导数计算、几何意义、单调性、极值等核心知识，梯度设计适配暑假巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|导数计算、切线方程、函数单调性|基础概念辨析，强调导数几何意义| |多选|2|极值判断、函数零点|综合考查函数性质，培养批判性思维| |填空|3|切线方程、极值条件|强化基础运算，注重细节应用| |解答题|6|极值、最值、不等式证明、含参单调性讨论|分层设计，从基本运算到综合应用，关联高考导数压轴题命题趋势|

2026年高二暑假数学-导数自测题解析 1． 单项选择题 1.已知函数f(x)=2x3-xf'(1),则f'(1)的值为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 【详解】 因为f'(x)=6x2-f'(1),则令x=1,有f'(1)=6-f'(1),所以f'(1)=3.选A. 2.已知函数f(x)=2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x·ln 2-y-1=0 D.x·ln 2-y+1=0 【详解】函数f(x)=2x，求导得f '(x)=2xln 2，则f '(0)=ln 2，而f(0)=1，所以所求切线方程为 y-1=ln 2·(x-0)，即x·ln 2-y+1=0.选D 3.求曲线在点处的切线方程为(　　) A. B. C. D. 【详解】设，则，则， 因此，曲线在点处的切线方程为，即.选A 4.已知函数，且，则=（ ） A.2 B. C. D.4 【详解】因为，所以，因为， 所以，解得，选C 5.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】，函数定义域为，， 令，得，所以函数的单调递减区间是. 选A. 6.函数（    ） A．有极大值1，无极小值 B．无极大值，也无极小值 C．有极小值0，极大值1 D．有极小值1，无极大值 【详解】，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值，选D. 7.设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【详解】由，可得，所以曲线在处的切线方程是，令得，所以 . 选A． 8.已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，由题意知当时， ，故在上单调递增，因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减，又因为，所以，所以， 所以当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.则不等式的解集为，选D. 2． 多项选择题 9.对于函数，下列说法正确的有（    ） A．的单调递减区间为 B．在处取得极大值 C．只有一个零点 D． 【答案】BC 【详解】， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调增区间为，故A错误； 在处取得极大值，故B正确； 因为， 所以函数在上有唯一零点， 又因当时，，则， 所以函数在上不存在零点， 综上只有一个零点，故C正确； 因为的单调递减区间为，， 所以，故D错误.故选：BC. 10.设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极小值点，A正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，C正确； 对D，当时， ， 所以，D正确；选ACD 三．填空题 11.曲线在点处的切线方程是__________． 【答案】. 【详解】由函数的解析式可得：， 所求切线的斜率为：， 由于切点坐标为，故切线方程为：， 即为. 12.若直线是曲线的切线，则______． 【答案】4 【详解】 13.若函数在处取得极大值，则 【答案】 【详解】，则， 由题意可得，解得，经检验符合题意. 四．解答题 14.求下列函数的极值： （1） （2） 【详解】（1）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x - 0 + ↘ ↗ 所以函数的极小值为，无极大值. （2）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x -3 3 + 0 - 0 + ↗ 54 ↘ -54 ↗ 所以函数的极小值为，极大值为.. 15.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）， （2）， 【详解】（1），的导数为， 令，可得， ， ， ，， 即有的最大值为54，最小值为； （2），的导数为， 由，可得舍去）， ， ，， 即有的最大值为22，最小值为； 16. 证明不等式：， 【详解】由题设，要证只需证即可， 令，则，而， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即在上恒成立， ∴，得证. 17.已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)试讨论函数的单调区间. 【详解】（1）当时，,则， ，又， 在点处切线的方程为； （2）由题可得， 令，解得或， 若，，当变化时，，的变化情况如表： , 0 0 增函数 减函数 增函数 的单调增区间为和,，单调减区间为； ②若，，当变化时，，的变化情况如表： , 0 0 增函数 减函数 增函数 的单调增区间为和，单调减区间为； ③若，则，函数的单调增区间为； 综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为. 18.已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【详解】(1)当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. (2)因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 设，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以的取值范围为 19.已知函数．（1）讨论的单调性； （2）设为两个不相等的正数，且，证明：． 【详解】(1)可得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 则在单调递增，在单调递减． 【证明】(2)由，得，即， 由(1)在单调递增，在单调递减，所以，且， 令，，则，为的两根，其中． 不妨令，，则，先证，即证， 即证，令， 则， 故函数单调递增，．，，得证． 同理，要证，即证， 令，，则，令， ，，单调递增，，，单调递减， 又，，且， 故，， ，恒成立，得证， 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二暑假数学-导数自测题 1． 单项选择题 1.已知函数f(x)=2x3-xf'(1),则f'(1)的值为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 2.已知函数f(x)=2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x·ln 2-y-1=0 D.x·ln 2-y+1=0 3.求曲线在点处的切线方程为(　　) A. B. C. D. 4.已知函数，且，则=（ ） A.2 B. C. D.4 5.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 6.函数（    ） A．有极大值1，无极小值 B．无极大值，也无极小值 C．有极小值0，极大值1 D．有极小值1，无极大值 7.设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 8.已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2． 多项选择题 9.对于函数，下列说法正确的有（    ） A．的单调递减区间为 B．在处取得极大值 C．只有一个零点 D． 10.设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三．填空题 11.曲线在点处的切线方程是__________． 12.若直线是曲线的切线，则______． 13.若函数在处取得极大值，则 四．解答题 14.求下列函数的极值： （1）（2） 15.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）， （2）， 16. 证明不等式：， 17.已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)试讨论函数的单调区间. 18.已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 19.已知函数．（1）讨论的单调性； （2）设为两个不相等的正数，且，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $