11.1.4 同底数幂的除法（导学案）2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦同底数幂的除法及零指数幂、积的乘方法则，通过“温故知新”复习同底数幂乘法、幂的乘方等旧知，结合思考探究建立新旧知识联系，搭建学习支架。 导学案以“特殊到一般”推理过程引导法则推导，培养学生推理意识，通过基础变式及逆用练习提升符号运算能力，四大幂运算辨析对比助力构建知识体系，促进学生形成严谨思维与自主学习能力。

4.同底数幂的除法 《同底数幂的除法》导学案 教材版本：华东师大版八年级上册 课时：1课时 一、学习目标 1. 知识目标：理解同底数幂的除法法则的推导过程，熟记运算法则公式，掌握零指数幂的定义及取值要求。 2. 能力目标：能熟练运用同底数幂的除法法则进行基础运算、变式运算和混合运算，学会逆向运用公式求值。 3. 素养目标：延续特殊到一般的推理思想，完善幂的四则运算知识体系，提升符号运算和归纳辨析能力。 二、学习重难点 重点：掌握同底数幂的除法运算法则，熟练进行各类同底数幂除法运算。 难点：理解法则推导逻辑，准确区分四种幂的运算，掌握零指数幂的意义及公式的逆向综合应用。 三、课前预习（温故知新） 1. 同底数幂乘法：$$a^m·a^n=$$___，底数不变，指数相加。 2. 幂的乘方：$$(a^m)^n=$$___，底数不变，指数相乘。 3. 积的乘方：$$(ab)^n=$$___，各因式分别乘方再相乘。 4. 思考探究：乘法与除法互为逆运算，已知$$2^3×2^2=2^5$$，那么$$2^5÷2^2$$的结果是多少？你能发现规律吗？ 四、课堂探究（新知突破） 探究1：推导同底数幂的除法法则 结合幂的定义和除法约分思想，计算下列算式，寻找运算规律： 1. $$2^5\div2^2=\frac{2\times2\times2\times2\times2}{2\times2}=2^3$$ 2. $$10^4\div10^1=\frac{10\times10\times10\times10}{10}=10^3$$ 3. 一般形式：$$a^m\div a^n$$（m、n为正整数，$$m>n$$，$$a eq0$$） $$a^m\div a^n=a^{m-n}$$ 归纳法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式：$$a^m\div a^n=a^{m-n}$$（$$a eq0$$，m、n为正整数，且$$m>n$$） 探究2：零指数幂拓展 当幂的指数相等时，即$$m=n$$，推导可得：$$a^m\div a^m=a^{m-m}=a^0$$。 根据除法意义，非零数自身相除结果为1，因此规定：$$a^0=1$$$$a eq0$$（）。 注意：$$0^0$$无意义，底数绝对不能为0。 探究3：四大幂的运算公式汇总辨析 1. 同底数幂加减：仅能合并同类项，指数不变，系数相加减。 2. 同底数幂乘法：$$a^m·a^n=a^{m+n}$$（指数相加） 3. 幂的乘方：$$(a^m)^n=a^{mn}$$（指数相乘） 4. 同底数幂除法：$$a^m\div a^n=a^{m-n}$$（指数相减） 五、典例精讲 例1 基础计算： （1）$$x^7\div x^2$$ （2）$$a^8\div a^4$$ （3）$$(-a)^5\div (-a)^2$$ 解析：严格套用法则，底数不变，指数相减，底数为负数时，统一底数后再运算。 例2 含零指数幂运算： （1）$$5^0$$ （2）$$(x-2)^0(x eq2)$$ 解析：非零数的零次幂都等于1，需优先判断底数是否不为0。 例3 混合运算：$$(x^5)^2\div x^6$$ 解析：混合运算先算乘方，再算除法。原式$$=x^{10}\div x^6=x^4$$。 六、课堂练习 1. 直接计算： （1）$$m^9\div m^3$$ （2）$$(-b)^6\div (-b)^3$$ （3）$$y^4\div y^0$$ 2. 判断正误并改正： （1）$$a^6\div a^2=a^3$$（） （2）$$x^0=0$$（） 七、课堂小结 1. 核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，公式$$a^m\div a^n=a^{m-n}(a eq0)$$。 2. 重要结论：非零数的零次幂等于1，即$$a^0=1(a eq0)$$。 3. 解题关键：分清幂的四种运算，混合运算先乘方、后乘除，时刻注意底数不为0的限制条件。 八、课后作业 1. 基础题：完成教材课后对应习题，巩固同底数幂除法及零指数幂运算。 2. 提升题：已知$$a^m=6，a^n=2$$，求$$a^{m-n}$$的值，练习公式逆向应用。导学案 教材版本：华东师大版八年级上册 课时：1课时 一、学习目标 1. 知识目标：理解积的乘方运算法则的推导过程，熟记积的乘方公式，厘清积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘法三者的区别与联系。 2. 能力目标：能够熟练运用积的乘方法则进行基础运算、变式运算和混合运算，掌握法则的正向与逆向应用。 3. 素养目标：经历从特殊实例归纳一般公式的推理过程，培养符号运算能力和归纳总结能力，养成规范解题、严谨计算的学习习惯。 二、学习重难点 重点：掌握积的乘方运算法则，熟练完成各类积的乘方基础运算与简单混合运算。 难点：理解积的乘方法则的推导逻辑，准确区分三种幂的运算，灵活运用法则逆向变形解决简便计算和求值问题。 三、课前预习（温故知新） 1. 同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数___，指数___，公式：$$a^m·a^n=a^{m+n}$$。 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数___，指数___，公式：$$(a^m)^n=a^{mn}$$。 3. 思考探究：$$(ab)^3$$表示什么意义？它与之前学习的幂的运算形式有何不同？尝试结合乘法交换律、结合律计算结果。 四、课堂探究（新知突破） 探究1：推导积的乘方法则 结合乘方的定义、乘法交换律和结合律，通过具体实例推导规律： 1. $$(ab)^2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a^2b^2$$ 2. $$(ab)^3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a^3b^3$$ 3. 一般形式：$$(ab)^n$$（n为正整数） $$(ab)^n=\underbrace{(ab)·(ab)·\dots·(ab)}_{n个ab}=\underbrace{a·a·\dots·a}_{n个a}·\underbrace{b·b·\dots·b}_{n个b}=a^nb^n$$ 归纳法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：$$(ab)^n=a^nb^n$$（n为正整数） 拓展：多个因式的积的乘方同样适用法则：$$(abc)^n=a^nb^nc^n$$（n为正整数）。法则可逆向运用：$$a^nb^n=(ab)^n$$，常用于简便运算。 探究2：三大幂的运算公式辨析 1. 同底数幂相乘：$$a^m·a^n=a^{m+n}$$，特点：底数相同，指数相加。 2. 幂的乘方：$$(a^m)^n=a^{mn}$$，特点：单一幂乘方，指数相乘。 3. 积的乘方：$$(ab)^n=a^nb^n$$，特点：多个因式乘积乘方，每个因式都要单独乘方。 五、典例精讲 例1 基础计算： （1）$$(xy)^4$$ （2）$$(-2a)^3$$ （3）$$(3ab)^2$$ 解析：套用积的乘方法则，将括号内每一个因式分别乘方，注意数字系数、负号、字母都要单独运算，再合并结果。 例2 混合运算：$$(2x^2)^3·x^4$$ 解析：幂的混合运算遵循“先乘方、后乘法”的顺序。原式$$=8x^6·x^4=8x^{10}$$，综合运用积的乘方、幂的乘方和同底数幂乘法法则。 例3 简便运算：$$4^5×0.25^5$$ 解析：逆用积的乘方法则，原式$$=(4×0.25)^5=1^5=1$$，简化高次幂复杂计算。 六、课堂练习 1. 直接计算： （1）$$(mn)^3$$ （2）$$(-3x)^2$$ （3）$$(2a^3b)^2$$ 2. 判断正误并改正： （1）$$(ab^2)^3=a^3b^2$$（） （2）$$(-2a)^2=-4a^2$$（） 七、课堂小结 1. 核心法则：积的乘方，各因式分别乘方，再把幂相乘，公式$$(ab)^n=a^nb^n$$。 2. 易错要点：括号内所有因式（系数、字母、负数）都要乘方，不能遗漏因式、漏乘指数。 3. 解题技巧：混合运算先算积的乘方与幂的乘方，再算同底数幂乘法；逆用公式可快速完成简便计算。 八、课后作业 1. 基础题：完成教材对应课后习题，巩固积的乘方基础运算与简单混合运算。 2. 提升题：利用积的乘方逆运算计算 $$8^{10}×0.125^{10}$$，熟练掌握公式逆向应用。 自主学习 一、知识链接 填一填：22·23=_________；103·104=_________；a3·a4=___________. 二、新知预习 试一试：根据上述式子填空： （1）________；（2）________； （3）________（a≠0）. 合作探究 一、探究过程 探究点1　同底数幂的除法运算法则 思考：由上面的计算，我们发现：a7÷a3＝a4＝a7－3. 如果将7换成m，3换成n，则am÷an＝a（ ）. 【归纳总结】一般地，设m、n为正整数，m>n，a≠0，有= . 这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数______. 例1　计算： (1)a8÷a3； (2)(－a)10÷(－a)3； (3)(2a)7÷(2a)4. 例2　计算： (1)(－a)5÷a3； (2)[(－xy)6]2÷(xy)2； (3)(a＋b)4÷(-a-b)2. 【方法总结】当底数都相同时，直接运用法则计算，如例1．当底数为相反数时，要先将底数进行转化，即a＞0时，如例2. 【针对训练】计算： (1)b5÷b5＝________； (2)(ab)7÷(ab)3＝________； (3)y9÷(y7÷y3)＝________． 探究点2 　同底数幂的乘除法混合运算 例3　计算：(1)(－a2)4÷(a3)2·a4 ； (2)273×92÷312． 【方法总结】乘除法混合运算时，顺序大致为括号→乘方→从左到右，中间可能还涉及到将底数化为相同，如例3（2）. 探究点3 同底数幂除法法则的逆用 例4 已知3a＝4，3b＝5，3c＝8． （1）求3b+c的值； （2）求32a﹣3b的值． 【针对训练】若5x＝16，5x-3y＝2，求5y的值． 二、课堂小结 同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减， 用数学符号表示：=（m，n为正整数，且m＞n，a≠0） 同底数幂除法法则的逆用 用数学符号表示： =（m，n为正整数，且m＞n，a≠0） 当堂检测 1.计算x8÷（﹣x）2正确的结果是（　　） A．x10 B．x6 C．﹣x6 D．x4 2．下面运算正确的是(　　)． A．x3÷x3＝0 B．x12÷x2＝x6 C．xn＋2÷xn＋1＝x D．a6÷a2＝a3 3．计算： (1)(ab)6÷(ab)3＝________； (2)yn＋2÷yn＝________； (3)(m3)4÷(m2)3＝________；(4)252÷52＝________. 4.计算： （1）a7÷（﹣a2）； （2）x2•（x2）3÷x5； （3）（a2）5•（﹣a）4÷（﹣a2）3； （4）（-y2）3÷y3÷(-y)2． 5.（1）已知2x＝3，4y＝5，求23x﹣4y的值； （2）已知3m＝4，3m+n﹣2＝．求3n的值． 参考答案 自主学习 一、知识链接 填一填：25 107 a7 二、新知预习 试一试：（1）23 （2）104 （3）a4 合作探究 一、探究过程 探究点1： 思考：m-n 【归纳总结】 am-n 相减 例1 解： (1)原式=a5. (2) 原式=－a7. (3) 原式=8a3. 例2 解：(1)原式=-a2. (2) 原式= (xy)10. (3) 原式= (a＋b)2. 【针对训练】(1)1 (2)a4b4 (3)y5 探究点2： 例3 解：(1) 原式=a6. (2) 原式=3. 探究点3： 例4 解：（1）3b+c＝3b•3c＝5×8＝40. （2）32a﹣3b＝32a÷33b＝（3a）2÷（3b）3＝42÷53＝． 【针对训练】 解：因为5x＝16，所以5x-3y＝5x÷53y＝5x÷（5y）3＝16÷（5y）3＝2，所以5y＝2． 当堂检测 1.B 2．C 3．（1）a3b3 （2）y2 （3）m6 （4）25 4. 解：（1）原式＝﹣a7÷a2＝﹣a5. （2）原式＝x2•x6÷x5＝x3． （3）原式＝a10•a4÷（﹣a6）＝﹣a8． （4）原式＝（-y6）÷y3÷y2＝-y． 5. 解：（1）因为2x＝3，4y＝5，所以23x﹣4y＝（2x）3÷（4y）2＝33÷52＝. （2）因为3m＝4，所以3m+n﹣2＝3m×3n÷32＝4×3n÷9＝，所以3n＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $