专题11 概率的进一步认识 暑假预习讲义 2026年北师大版九年级数学上册

专题11 概率的进一步认识 暑假预习讲义 ✺知识框架 知识进阶：突破简单随机列举，掌握系统化列表、树状图列举方法，杜绝结果重复、遗漏 解题方法：依托两种列举法，精准求解有限等可能事件的理论概率 核心思想：利用试验频率的稳定性，估算无固定理论概率的随机事件 实际运用：运用概率知识判定游戏公平性、预估事件发生频次、优化游戏规则 ✅本章整体分为理论概率计算与试验概率估计两大模块，先学规范列举解题，再学试验估算方法，最终落地实际应用，知识点层层递进、体系完整。 ✺学习目标 基础知识：深化理解随机事件、等可能事件的定义，精准区分频率与概率的概念，理清二者的联系与差异。 能力提升：熟练使用列表法、树状图法完整列举试验结果，精准计算随机事件概率；牢固掌握频率估计概率的标准解题方法。 综合素养：建立随机统计思维，能结合生活中的随机现象，用概率知识严谨分析、判断、解决实际问题。 ✺题型归纳 题型1.几何概率 题型2.列举法求概率 题型3.列表法或树状图法求概率 题型4.游戏的公平性 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 题型7.概率在比赛中的应用 题型8.概率的其他应用 题型9.求某事件的频率 题型10.由频率估计概率 题型11.用频率估计概率的综合应用 题型12.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、两种列举法求理论概率 ▲对于结果有限、可能性均等的随机事件，可通过系统化列举法计算概率 （1）列表法 适用场景：仅适用于两步试验、两个影响因素的概率问题，结果较多时优势明显。 方法优势：表格规整清晰，可彻底避免结果重复、遗漏，计算准确率高。 （2）树状图法 适用场景：适用于两步及以上试验、多影响因素的复杂概率问题（三步试验首选）。 方法优势：层级直观、逻辑清晰，能清晰展示每一步试验的所有可能结果。 核心结论：列表法、树状图法只适用于有限、等可能随机事件；结果无限、可能性不等的事件，不可使用两类方法。 知识点二、放回与不放回试验区别 ▲放回、不放回试验是本章核心重点，两类试验的结果总数、计算逻辑完全不同，区分要点如下： 放回试验（可重复）：每次抽取后将物品复位，每次试验总结果数不变，结果可重复出现。 不放回试验（不可重复）：每次抽取后物品不复位，后续试验总结果数递减，结果无法重复。 知识点三、用频率估计概率 ▲部分随机事件结果无限、可能性不均等，无法用列举法求理论概率，此时可采用频率估计概率的方法求解，是课本重点探究内容： 频率稳定性定理：大量重复试验中，随机事件的发生频率会逐渐稳定在一个固定常数附近，该常数即为事件的概率。 频率：试验统计得出的动态数值，随试验次数变化产生波动，是变量。 概率：事件本身固有的固定理论数值，恒定不变。 核心规律：试验次数越多，频率越贴近概率，估算结果越精准。 知识点四、概率的实际应用 ▲结合概率基础知识点，可解决各类生活实际问题，核心应用场景如下： 判定游戏公平性：计算游戏双方获胜概率，概率相等则游戏公平，反之则不公平。 预估事件发生次数：利用公式「总试验次数×概率」，估算随机事件大概率发生次数。 优化调整游戏规则：通过修改规则，使双方获胜概率相等，从而实现游戏公平。 ✺题型精讲 题型1.几何概率 1．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 2．一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 3．如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内．经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是0.04，0.2，0.36，已知最大圆的半径是1，求白色区域的总面积． 题型2.列举法求概率 1．一个不透明的袋子中有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出两个小球，则摸到的两个小球颜色相同的概率是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 3．某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： (1)随机选择一天，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 题型3.列表法或树状图法求概率 1．乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（     ） A． B． C． D． 2．在盒子里放有分别写有整式2，，，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_________ 3．校团委举办传承红色基因，牢记初心使命唱响红歌比赛活动．报名参赛的同学被随机分成A、B、C三个小组进行第一轮预选，求双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的概率． 题型4.游戏的公平性 1．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 2．在的两个空格口中，任意填上“”或“”．若运算结果是3，则丽丽获胜，否则颖颖获胜．这个游戏对双方__________（填“公平”或“不公平”）． 3．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 2．事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 3．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 1．如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 2．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 3．为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 题型7.概率在比赛中的应用 1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 2．抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 ________（填“公平”、“不公平”）． 3．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 题型8.概率的其他应用 1．某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 2．某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有______种（用数字作答）． 3．某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数如表： 每盒中混入的节能灯数 0 1 2 3 4 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个的节能灯？ （2）从这50盒中任意抽取一盒，记事件为：该盒中没有混入的节能灯，求事件的概率． 题型9.求某事件的频率 1．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 2．一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为_______ 3．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下： 标号 1 2 3 4 次数 16 14 18 12 (1)上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是_______；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是_______； (2)若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率． (3)若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率． 题型10.由频率估计概率 1．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中患色盲的概率为（     ）（结果精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 2．彭阳红梅杏是宁夏彭阳地理标志特产，生长在高原山地，果子黄底泛红，果肉多汁香甜、果核可食用．它是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类红梅杏的移栽成活情况，得到如图统计图： 由此可估计这种红梅杏树苗移栽成活的概率约为___________（精确到0.1）． 3．完成以下问题 (1)下表是历史上一些著名数学家做掷硬币试验的数据： 试验者 抛硬币次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德•摩根 布丰 费勒 皮尔逊 由这些数据，你可以估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_____； (2)两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得分，掷出反面乙得分，先得到分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了分，乙得了分，那么这个蛋糕该如何分配呢？请你用概率的树状图模拟游戏继续，请帮助甲乙两人提出合理的分配方案． 题型11.用频率估计概率的综合应用 1．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（    ） A．24个 B．22个 C．20个 D．16个 2．在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是___________． 3．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 (1)表中________；________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ ✺巩固测试 一、单选题 1．将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 2．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（     ） A． B． C． D． 3．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．一个盒子中装有9颗蓝色幸运星，n颗红色幸运星，从中任意取出一颗红色幸运星的频率为，则n为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 二、填空题 6．在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 7．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 8．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 9．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 10．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 三、解答题 11．如表是某厂质检部门对该厂生产的一批灯泡质量检测的情况． 抽取的灯泡数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 987 1488 1982 2973 3960 合格品率 0.988 0.987 0.992 0.991 0.990 (1)求出表中_____，_____； (2)根据上表，估计从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率（精确到0.01）． 12．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的红、蓝两种小球共50个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数n a 128 180 302 481 599 1806 摸到红球的频率 0.66 0.64 b 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)求出a，b的值； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到红球的概率约为______（精确到0.1）； (3)盒子里约有红球______个； (4)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中红球只有2个，然后每次将球搅均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5，请你推测x可能是多少？ 13．如图，一转盘被等分成四个扇形，上面分别标有1、2、3、4，指针的位置固定不动，自由转动转盘，停止后，记下指针所指扇形上的数（若指针正好停在等分线上，属右边区域）下表是嘉琪转动转盘6次后记录的数据： 次数 1 2 3 4 5 6 数字 3 2 3 4 1 4 （1）求转动转盘6次后记录的数据的众数； （2）求第7次转动转盘后记录的数字是4的概率； （3）嘉琪打算继续转动转盘两次，判断是否可能发生这8次记录的数字的平均数不小于3的情况，若有可能，请求出发生此情况的概率，若不可能，请说明理由． 14．岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 概率的进一步认识 暑假预习讲义 ✺知识框架 知识进阶：突破简单随机列举，掌握系统化列表、树状图列举方法，杜绝结果重复、遗漏 解题方法：依托两种列举法，精准求解有限等可能事件的理论概率 核心思想：利用试验频率的稳定性，估算无固定理论概率的随机事件 实际运用：运用概率知识判定游戏公平性、预估事件发生频次、优化游戏规则 ✅本章整体分为理论概率计算与试验概率估计两大模块，先学规范列举解题，再学试验估算方法，最终落地实际应用，知识点层层递进、体系完整。 ✺学习目标 基础知识：深化理解随机事件、等可能事件的定义，精准区分频率与概率的概念，理清二者的联系与差异。 能力提升：熟练使用列表法、树状图法完整列举试验结果，精准计算随机事件概率；牢固掌握频率估计概率的标准解题方法。 综合素养：建立随机统计思维，能结合生活中的随机现象，用概率知识严谨分析、判断、解决实际问题。 ✺题型归纳 题型1.几何概率 题型2.列举法求概率 题型3.列表法或树状图法求概率 题型4.游戏的公平性 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 题型7.概率在比赛中的应用 题型8.概率的其他应用 题型9.求某事件的频率 题型10.由频率估计概率 题型11.用频率估计概率的综合应用 题型12.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、两种列举法求理论概率 ▲对于结果有限、可能性均等的随机事件，可通过系统化列举法计算概率 （1）列表法 适用场景：仅适用于两步试验、两个影响因素的概率问题，结果较多时优势明显。 方法优势：表格规整清晰，可彻底避免结果重复、遗漏，计算准确率高。 （2）树状图法 适用场景：适用于两步及以上试验、多影响因素的复杂概率问题（三步试验首选）。 方法优势：层级直观、逻辑清晰，能清晰展示每一步试验的所有可能结果。 核心结论：列表法、树状图法只适用于有限、等可能随机事件；结果无限、可能性不等的事件，不可使用两类方法。 知识点二、放回与不放回试验区别 ▲放回、不放回试验是本章核心重点，两类试验的结果总数、计算逻辑完全不同，区分要点如下： 放回试验（可重复）：每次抽取后将物品复位，每次试验总结果数不变，结果可重复出现。 不放回试验（不可重复）：每次抽取后物品不复位，后续试验总结果数递减，结果无法重复。 知识点三、用频率估计概率 ▲部分随机事件结果无限、可能性不均等，无法用列举法求理论概率，此时可采用频率估计概率的方法求解，是课本重点探究内容： 频率稳定性定理：大量重复试验中，随机事件的发生频率会逐渐稳定在一个固定常数附近，该常数即为事件的概率。 频率：试验统计得出的动态数值，随试验次数变化产生波动，是变量。 概率：事件本身固有的固定理论数值，恒定不变。 核心规律：试验次数越多，频率越贴近概率，估算结果越精准。 知识点四、概率的实际应用 ▲结合概率基础知识点，可解决各类生活实际问题，核心应用场景如下： 判定游戏公平性：计算游戏双方获胜概率，概率相等则游戏公平，反之则不公平。 预估事件发生次数：利用公式「总试验次数×概率」，估算随机事件大概率发生次数。 优化调整游戏规则：通过修改规则，使双方获胜概率相等，从而实现游戏公平。 ✺题型精讲 题型1.几何概率 1．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆和正方形的面积，然后求出几何概率． 【详解】解：铜钱圆的面积为， 正方形的面积为， ∴油恰好落入孔中的概率是． 2．一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 【答案】 【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 即蚂蚁停在阴影部分的概率为． 3．如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内．经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是0.04，0.2，0.36，已知最大圆的半径是1，求白色区域的总面积． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，理解几何概率的意义是解题的关键． 根据几何概率的意义可知概率比即为面积比，由圆的面积即可求出区域一、三、五的面积和，再由圆的面积减去区域一、三、五的面积和即可． 【详解】解：最大圆的面积为：． ∵小球落在区域一、三、五内的概率分别是0.04，0.2，0.36， ∴区域一、三、五的面积占大圆面积的百分比分别是． ∴区域一、三、五的面积和为． 所以白色区域的总面积为． 题型2.列举法求概率 1．一个不透明的袋子中有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出两个小球，则摸到的两个小球颜色相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将2个红球分别记为红、红，白球记为白， 列举出随机摸出两个球的所有等可能结果如下：（红1，红2），（红1，白），（红2，红1），（红2，白），（白，红1），（白，红2） ， ∴共有种等可能的结果，其中两个球颜色相同的结果有种， ∴所求概率为． 2．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 3．某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： (1)随机选择一天，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列举法求概率的知识．熟练掌握列举法求概率是解答本题的关键． （1）随机选择一天，共有7种结果，天气预报是雨的有1天，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），天气预报都是晴的有2天，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）随机选择一天，天气预报可能出现的结果有7种，即4月7日晴、4月8日晴、4月9日雨、4月10日阴、4月11日晴、4月12日晴、4月13日阴，并且这些结果出现的可能性相等．恰好天气预报是雨（记为事件）的结果有1种，即4月9日雨，所以． （2） 随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），并且这些结果出现的可能性相等．连续两天恰好天气预报都是晴（记为事件）的结果有2种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月11日晴，4月12日晴），所以． 题型3.列表法或树状图法求概率 1．乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：设字母A、B、C分别表示三个入口， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两人刚好从同一个入口进站的情况有种， ∴两人刚好从同一个入口进站的概率为． 2．在盒子里放有分别写有整式2，，，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_________ 【答案】/ 【分析】根据分式定义确定能组成分式的条件，计算所有等可能结果数和符合条件的结果数，代入概率公式计算． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果， ∵分母中含有字母的式子是分式，和是常数，和是含字母的整式， ∴只有分母为或时，能组成分式，因此能组成分式的结果共种， ∴能组成分式的概率为． 3．校团委举办传承红色基因，牢记初心使命唱响红歌比赛活动．报名参赛的同学被随机分成A、B、C三个小组进行第一轮预选，求双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的概率． 【答案】 【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：画树状图，如图所示： ∵共有种等可能的结果数，其中双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的结果数为， ∴双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的概率． 题型4.游戏的公平性 1．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 2．在的两个空格口中，任意填上“”或“”．若运算结果是3，则丽丽获胜，否则颖颖获胜．这个游戏对双方__________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题主要考查了有理数加减运算、简单概率计算等知识，正确计算两人获胜的概率是解题关键．根据题意，可知共有4种运算结果，其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种，然后分别计算两人获胜概率，比较即可获得答案． 【详解】解：根据题意，在的两个空格口中，任意填上“”或“”， 可有4种结果，如下所示： ，，，， 其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种， 所以丽丽获胜的概率为，颖颖获胜的概率为， 又因为， 所以，这个游戏对双方公平． 故答案为：公平． 3．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由如下： 由（1）中树状图可得， 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字都为奇数的情况有4种，取出的两张卡片上的数字都为偶数的情况有1种， ∴取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率为，即甲胜的概率为； 取出的两张卡片上的数字都为偶数的概率为，即乙胜的概率为； ∵， ∴这个游戏不公平． 【分析】（1）画树状图列举出所有可能的情况和取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况，然后利用概率公式求解； （2）分别求出甲胜的概率和乙胜的概率，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况有4种， ∴取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率为； （3） 略 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 2．事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了概率的意义及概率的简单应用，熟练掌握大量重复试验中事件发生的平均次数等于试验次数乘以事件发生的概率是解题的关键． 根据概率的意义，在大量重复试验中，事件发生的频率趋近于其概率．因此，计算事件平均每次发生的次数，可直接用试验总次数乘以事件的概率． 【详解】解：， 故答案为：． 3．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 1．如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【答案】 【分析】转盘被平均分成9等份，共有9种等可能结果，小于7的数字有6个，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的结果， ∵小于7的数字有1，2，3，4，5，6，共6个， ∴小明转出的数字小于7的概率为． 2．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 3．为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)∵指针指向红色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向黄色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向蓝色区域的结果有4种， ∴P（获得元购物券）； ∵， ∴小军妈妈获得元购物券的概率最大 【分析】（1）先确定转盘所有等可能的结果数为，再统计出能获得购物券的红、黄、蓝区域的结果数，最后用获得购物券的结果数除以总结果数得到概率； （2）先分别数出红、黄、蓝三种颜色区域的数量，再分别计算出获得对应金额购物券的概率，最后比较三个概率的大小，即可得出哪种购物券的概率最大． 【详解】（1）解：转盘共有个扇形，所以转盘停止后，指针指向的区域可能的结果共有种，且它们出现的可能性相同， 指针指向红色、黄色、蓝色的区域的结果共有种， ∴（获购物券）． （2） 略 题型7.概率在比赛中的应用 1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 2．抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 ________（填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】列举出所有情况，看“和为6”及“和为9”情况数占所有情况数的多少即可． 【详解】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞， ∴不公平． 故答案为不公平． 【点睛】此题考查用列表格的方法解决概率问题；得到“和为6”及“和为9”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 3．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，证明： 10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （3） 略 题型8.概率的其他应用 1．某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【分析】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 2．某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有______种（用数字作答）． 【答案】9 【分析】本题要根据计数原理求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的结果数，第一个人有3种结果，被拿走贺卡的人是第二个人有3种结果，则剩下的两个人只有一种结果，即可求解． 【详解】解：因为甲先去拿一张贺卡，有3种方法， 假设甲拿的是乙写的贺卡， 接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法， 则剩下的两个人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去， 这样两人只有一种拿法， 所以总的拿法为种； 故答案为：9． 【点睛】本题考查了排列组合的计数问题，解题的关键是看出前两个人都抽取贺卡后，第三个人和第四个人只有一种结果． 3．某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数如表： 每盒中混入的节能灯数 0 1 2 3 4 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个的节能灯？ （2）从这50盒中任意抽取一盒，记事件为：该盒中没有混入的节能灯，求事件的概率． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据图表，直接用混入的的节能灯的个数除以50，求平均数即可； （2）已知没有混入的节能灯的盒数为14,14除以50即为事件A的概率． 【详解】解：（1）， 答：平均每盒混入的节能灯的个数为1； （2）已知没有混入的节能灯的盒数为14， 则， 答：事件的概率为． 【点睛】本题考查平均数以及概率的求解，属于基础题，掌握平均数以及概率的求解方法是解决本题的关键． 题型9.求某事件的频率 1．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 2．一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为_______ 【答案】/ 【分析】本题考查了随机事件的频率和为1，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，第四组频率为， 故答案为： ． 3．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下： 标号 1 2 3 4 次数 16 14 18 12 (1)上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是_______；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是_______； (2)若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率． (3)若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查求概率，掌握用列表法或树状图求概率是关键，一般两步完成的事件列表法、树状图都可以用，三步或三步以上完成的事件适合用树状图． （1）直接由频率和概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解； （3）画树状图，共有12种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解． 【详解】（1）解：上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是； ∵口袋中有四个完全相同的小球， ∴小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是； （2）解：画树状图如下：    由树状图可得共有16种可能的结果，其中小明两次摸取到小球的标号相同的结果有4种， ∴小明两次摸取到小球的标号相同的概率为； （3）解：画树状图如下：    由树状图可得共有12种可能的结果，小明摸出两个小球标号的和为5的结果有4种， ∴小明摸出两个小球标号的和为5的概率为． 题型10.由频率估计概率 1．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中患色盲的概率为（     ）（结果精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】B 【分析】以抽取体检表数较大时的频率稳定值为依据，估计男性患色盲的概率． 【详解】解：当抽取的体检表数时，色盲患者的频率稳定在附近， 因此估计男性患色盲的概率为． 2．彭阳红梅杏是宁夏彭阳地理标志特产，生长在高原山地，果子黄底泛红，果肉多汁香甜、果核可食用．它是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类红梅杏的移栽成活情况，得到如图统计图： 由此可估计这种红梅杏树苗移栽成活的概率约为___________（精确到0.1）． 【答案】0.9 【分析】概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率． 由图可知，该类红梅杏的移栽成活情况频率在上下波动，故其成活的概率与频率可认为近似相等，据此即可得出答案． 【详解】解：该类红梅杏的移栽成活情况的频率稳定在， 其成活的概率估计值约为． 3．完成以下问题 (1)下表是历史上一些著名数学家做掷硬币试验的数据： 试验者 抛硬币次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德•摩根 布丰 费勒 皮尔逊 由这些数据，你可以估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_____； (2)两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得分，掷出反面乙得分，先得到分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了分，乙得了分，那么这个蛋糕该如何分配呢？请你用概率的树状图模拟游戏继续，请帮助甲乙两人提出合理的分配方案． 【答案】(1) (2)列树状图如下： 甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的 【分析】（1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在左右即可得出答案； （2）根据甲得了分，乙得了分可得最多再掷三次游戏就结束，列树状图求出乙获胜的概率为，甲获胜的概率为，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在左右， ∴估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为． （2）解：∵此时甲得了分，乙得了分， ∴最多再掷三次游戏就结束， 列树状图略 由树状图可知，三次游戏结束时，共有种等可能结果，其中连续三次是反面的情况有种， ∴乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， ∴甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的． 题型11.用频率估计概率的综合应用 1．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（    ） A．24个 B．22个 C．20个 D．16个 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此列式计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D 2．在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是___________． 【答案】15 【分析】本题考查了用频率估计概率，利用频率估计概率是解题的关键．由题意得，利用红球个数除以摸到红球的频率，可估计出球的总数即可求解． 【详解】解：由题意得，估计盒子中球的总个数为（个）， 故答案为：15． 3．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 (1)表中________；________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 【答案】(1)0.57；0.604 (2)0.6 (3)12 【分析】（1）直接根据概率公式：频率频数总次数计算即可； （2）大量重复试验可以说明摸到白球概率约为； （3）先求出原来盒子里的白球数，再考虑放了个球后盒子内总球数和白球数量，利用白球数量总球数计算即可． 【详解】（1）解：根据频率公式得，； （2）解：通过统计表可观察出随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.6左右， 故估计摸到白球的概率约为0.6． （3）解：原盒子里共有白球数为（个），现放了2个白球，则放了个黑球，现在盒子里共有个球， 根据题意，得，解得． ✺巩固测试 一、单选题 1．将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每块小方砖的边长为1，先求出整个地砖的面积、黑色方砖的面积，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设每块小方砖的边长为1， 由图可知，整个地砖的面积为，黑色方砖的面积为， 所以最终停在黑色方砖上的概率为． 2．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两个球数字之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况， ∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：． 3．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵随机摸出的5个球中，有3个是红球， ∴摸到红球的频率为， ∵袋中共有10个球， ∴估计袋中红球的个数为（个）． 4．一个盒子中装有9颗蓝色幸运星，n颗红色幸运星，从中任意取出一颗红色幸运星的频率为，则n为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查频率，由于一个盒子中装有9颗蓝色幸运星，n颗红色幸运星，根据从中任意取出一颗红色幸运星的频率为列出方程，解方程即可求解； 【详解】解：由题意，得， 解得， 故答案为：B． 5．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【答案】A 【详解】解：根据统计图得到试验的概率在上下． A的概率是， B的概率是， C的概率是， D的概率是， 则符合这一结果的试验可能是A． 二、填空题 6．在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 【答案】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，即可求解． 【详解】解：一共有7张完全相同的卡片，其中数字为奇数的卡片为1，1，3，5，共4张， ∴抽出标有数字为奇数的卡片的概率为． 7．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 8．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题考查了用列举法求事件的概率，游戏的公平性，正确理解题意是关键．通过列表列举所有可能结果，计算双方获胜概率，并比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】解：根据题意，列表如下： 由表可知，共有4种等可能的结果，其中掷出一对8的结果有2种，掷出一个8和一个9的结果有2种， ， 因此游戏公平． 故答案为：公平． 9．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【答案】 【分析】由图②得小球落在不规则图案内的概率约为，求出矩形的面积，再根据小球落在不规则图案内的概率估计其面积即可． 【详解】解：由图②得，小球落在不规则图案内的概率约为， 由题意得矩形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， ∴， ∴不规则图案的面积大约为． 10．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 【答案】24 【分析】利用白球的频率和个数求出总数，即可得出黑球的个数． 【详解】解：根据题意可知白球的概率为， （个）， （个）， ∴估计游戏中黑球的个数为24个． 三、解答题 11．如表是某厂质检部门对该厂生产的一批灯泡质量检测的情况． 抽取的灯泡数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 987 1488 1982 2973 3960 合格品率 0.988 0.987 0.992 0.991 0.990 (1)求出表中_____，_____； (2)根据上表，估计从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率（精确到0.01）． 【答案】(1)494   0.991 (2)从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率为0.99 【分析】（1）利用500乘以其合格品率即可求出，利用1982除以2000即可求出； （2）由表中数据可判断合格品率在0.99左右摆动，根据频率估计概率可判断从这批灯泡中任意抽取一颗是合格品的概率． 【详解】（1）解：，． （2）解：随着抽取灯泡数增大，合格品频率逐渐稳定在0.99附近，根据频率估计概率，且结果精确到0.01， 从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率为0.99． 12．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的红、蓝两种小球共50个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数n a 128 180 302 481 599 1806 摸到红球的频率 0.66 0.64 b 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)求出a，b的值； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到红球的概率约为______（精确到0.1）； (3)盒子里约有红球______个； (4)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中红球只有2个，然后每次将球搅均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5，请你推测x可能是多少？ 【答案】(1)66；0.6 (2)0.6 (3)30 (4)14 【分析】（1）根据频率公式进行求解即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率求数量即可； （4）根据频率估算概率，再根据概率求数量即可. 【详解】（1）解：； （2）解：由表格可知，摸到红球的概率约为； （3）解：∵摸到红球的概率约为， ∴红球有个； （4）解：∵摸到红球的频率稳定在0.5， ∴摸到红球的概率为0.5， ∴， 解得. 13．如图，一转盘被等分成四个扇形，上面分别标有1、2、3、4，指针的位置固定不动，自由转动转盘，停止后，记下指针所指扇形上的数（若指针正好停在等分线上，属右边区域）下表是嘉琪转动转盘6次后记录的数据： 次数 1 2 3 4 5 6 数字 3 2 3 4 1 4 （1）求转动转盘6次后记录的数据的众数； （2）求第7次转动转盘后记录的数字是4的概率； （3）嘉琪打算继续转动转盘两次，判断是否可能发生这8次记录的数字的平均数不小于3的情况，若有可能，请求出发生此情况的概率，若不可能，请说明理由． 【答案】（1）3和4；（2）；（3）可能，． 【分析】（1）根据众数的概念求解即可； （2）根据概率的计算公式求解即可； （3）根据连续转动转盘两次，设第7，8次转动转盘后记录的数字之和为x，8次转动的平均数不小于3，得到，然后列表，得到第7，8次转动转盘后记录的数字之，判断和的结果的个数，从而求出概率． 【详解】解：（1）∵转动转盘6次记录的数据，3和4各出现两次，次数最多 ∴6次记录的数据的众数是3和4 （2）第7次转动转盘后记录的数字共有4种等可能结果，其中是4的结果有1种， ∴P（是4）＝ （3）可能． 设第7，8次转动转盘后记录的数字之和为x ∵八次记录的数字的平均数不小于3. ∴ 得 列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共有16种等可能结果，其中两个数字之和的结果有3种 P（8次平均数不小于3）． 【点睛】本题考查了众数的概念，算术平均数，概率的基本概念，列表法求概率等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 14．岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【答案】(1)； (2)； (3)解：如图， ∴（谢谢），（古灶挂件），（祖庙模型）（电影票）， ∴（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【分析】根据概率公式即可求解； 先列表，然后通过概率公式即可求解； 根据概率公式进行图案设计即可． 【详解】（1）解：一次就抽到“古灶挂件”的概率是； （2）解：列表如下， 谢谢 谢谢 谢谢 古灶挂件 古灶挂件 醒狮恤 国潮狮头 祖庙模型 电影票 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 国潮狮头，醒狮恤 祖庙模型，醒狮恤 电影票，醒狮恤 国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 醒狮恤，国潮狮头 祖庙模型，国潮狮头 电影票，国潮狮头 祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 醒狮恤，祖庙模型 国潮狮头，祖庙模型 电影票，祖庙模型 电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 古灶挂件，电影票 古灶挂件，电影票 醒狮恤，电影票 国潮狮头，电影票 祖庙模型，电影票 一共有种等可能的结果，第二次抽到“古灶挂件”的结果有种， ∴第二次抽到“古灶挂件”的概率是； （3）略． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $