2026-2027学年北师大版数学八年级上册开学考模拟试题（陕西专用）

**基本信息** 立足开学检测，融合柳絮直径、台风影响等生活情境与数学思维，覆盖实数、几何、函数等核心知识，梯度设计适配八年级衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|实数大小比较、科学记数法、全等三角形|第7题函数图象分析考察数学眼光，第10题圆柱展开体现空间观念| |填空题|6/18|无理数识别、勾股定理应用、四边形周长最值|第15题电梯最大长度结合实际，第16题轴对称求最值培养推理能力| |解答题|9/82|二次根式化简、概率计算、台风路径问题|23题台风影响农场综合勾股定理与应用意识，25题中线拓展题考察创新思维|

2026-2027学年八年级上学期开学考北师大版数学模拟试题（陕西专用） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题2分，计20分。每小题只有一个选项是符合题意的。） 1．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）在下列四个实数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．0.67 2．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）“碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦”．每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰．据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，垂直平分，分别交于点D、E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4题图 5题图 6题图 5．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，数轴上点表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ）   A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图所示，、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也于同日下午骑摩托车按相同的路线从地出发驶往地，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程与该日下午时间之间的关系．根据图中提供的信息，判断下列说法正确的是（   ） A．甲在整个骑行过程中的平均速度为10千米/时 B．甲比乙早出发2小时 C．乙出发后0.5小时追上了甲 D．乙骑摩托车的速度为千米/时 8．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 9．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 10．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）在实数，，，，中，无理数有______个． 12．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和9，则b的面积为_____________． 13．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若的三边长分别为、、，且、满足，第三边上的中线长为，则的取值范围是_______． 14．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，，D是上一点，．若，则的面积为______． 12题图 14题图 15题图 15．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）王叔叔家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是______．（结果保留根号） 16．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知正方形的边长为6，点在上，且，点，分别是边，上的动点（均不与顶点重合），则四边形周长的最小值是______． 三、解答题（共9小题，计82分） 17．（8分）（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）计算题： (1)； (2)． 18．（5分）（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）先化简，再求值： ，其中，． 19．（5分）（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在四边形内部作一点，使得，并且点到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）． 20．（7分）（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，过点作，且，连接，．试说明：． 21．（8分）（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)从中任意摸出一个球，摸到红球是 事件；摸到黄球是 事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率； (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中、与原来10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数． 22．（8分）（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有．例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 请根据材料解答下列问题： (1)填空： ； (2)填空： ； (3)化简：． 23．（9分）（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，求出台风同时影响农场A和B市的时间有多长？ 24．（10分）（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，某航模社团小组在一个等腰直角三角形模型板内设计一个飞机机翼模型．已知，，是边上一点（点不与、重合），按照模型要求，过点作交于点，过点作．且．连接、． (1)用含的式子表示和的长； (2)当的长度取得最小值时，求的最小值，并求出此时的长度． 25．（12分）（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）【问题解决】 （1）如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 （2）如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连接，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连接，为中点，且，在同侧，连接，．若，，，则的面积为______． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年八年级上学期开学考北师大版数学模拟试题（陕西专用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B D B C A C A 一、选择题（共10小题，每小题2分，计20分。每小题只有一个选项是符合题意的。） 1．B 【解析】解：有选项可知，0和0.67是非负数，和是负数， ∵，∴，∵，∴， ∴最小的数是 ．故选：B ． 2．C 【分析】用科学记数法表示较小数时的形式为 ，其中 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0 的数字后面即可，确定n的值时，n等于该数从左起第一个不为0的数字前所有0的个数． 【解析】解：0.0000105 ，故选：C． 3．D 【解析】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意；故选：D 4．B 【分析】设，先根据线段垂直平分线的性质及等边对等角得出，再由三角形外角性质得出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行求解即可． 【解析】解：设， ∵垂直平分，∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 故选：B． 5．D 【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【解析】解：由勾股定理，得：，∴， ∵点表示的数为，∴点表示的数为；故选D． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数，解题的关键是利用勾股定理求出的长． 6．B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，进而得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【解析】解：∵，，，∴， ∴，∴；故选B． 7．C 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，一元一次方程的应用，解题的关键是正确识别函数图象，根据图象获取需要数据． 用总路程除以甲、乙的总时间，即可求出甲、乙的速度，由图象可判断甲比乙早出发1小时，求出甲在段时的速度，设乙出发t小时后追上甲，根据追上甲时，两人路程相同，列出方程求解即可． 【解析】解：甲在整个骑行过程中的平均速度，故A错误； 根据题意得，甲比乙早出发小时，故B错误； 乙骑摩托车的速度，故D错误； 甲在段时的速度， 设乙出发t小时后追上甲，根据题意得，， 解得，，∴乙出发后0.5小时追上了甲，故C正确．故选：C． 8．A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键． 由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【解析】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴，∴，故选：A． 9．C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质，得到，平行线的性质，推出，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【解析】解：∵长方形，∴，∴， ∵折叠，∴， ∴，∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：；∴；故选：C 10．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【解析】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米），故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11． 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个之间增加一个）．”是解题的关键． 【解析】解：，，是有理数， ，是无理数，共有个，故答案为：． 12．13 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，同角的余角相等等知识．证明出是解题关键．根据正方形的性质得出，，，，再根据同角的余角相等可得出，即可证，最后结合全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【解析】解：如图， ∵a，b，c都为正方形，a，c的面积分别为4和9， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．故答案为：13． 13． 【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性，完全平方公式因式分解，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，根据非负数的性质可得 ，设，，，延长到，证明三角形全等，进而根据三角形的三边关系，即可求解． 【解析】解：∵，∴，即 ∵，，∴，解得： 如图，设，，。延长到，使，连接， 是的中线，， 在和中，， ， 在中，有， 即，．故答案为：． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分别过点作的垂线，垂足分别为，证明，推出，根据题意易证是等腰三角形，根据三线合一得到，进而得到，利用的面积为即可求解． 【解析】解：分别过点作的垂线，垂足分别为， 则， ∵， ∴，即， ∵，∴，∴， ∵，∴是等腰三角形， ∵，∴，∴， ∴的面积为．故答案为：． 15．/米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求解即可，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【解析】解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∴电梯内能放入这些木条的最大长度是， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查利用轴对称结合图形周长最小问题，勾股定理，解题的关键是利用轴对称确定动点的位置．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则：，进而得到，进而得到四点共线时，最小，此时四边形周长最小，勾股定理求出的长，再加上的长即可得解． 【解析】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则：， ∴， ∴四点共线时，最小， 此时四边形的周长最小为， ∵正方形的边长为6，， ∴， 由对称性可知：， ∴， ∴， ∴四边形周长最小的最小值为：； 故答案为：． 三、解答题（共9小题，计82分） 17．（1）解：； （2）解： 18．解：原式 ； 当，时，原式． 19．解：如图所示，点即为所求． 【分析】本题考查了尺规作图作线段垂直平分线和角平分线，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定以及角平分线的判定定理．要使得，则点在线段的垂直平分线上；要使得点到两边的距离相等，则点在的角平分线上；分别作出线段的垂直平分线和的角平分线，交点即为点． 20．证明：，，， ，，， 在和中，，，． 【分析】本题考查平行线的性质、“等边对等角”、全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题的关键．由，，，由，得，则，而，，即可根据“”证明，则． 21．（1）解：因为一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同，所以从中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件；摸到黄球是不可能事件， 故答案为：随机；不可能． （2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为， 答：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为． （3）解：设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个， 由题意得：，解得，经检验，是分式方程的解， 答：后来放入袋中的黑球个数为18个． 【点睛】本题考查了随机事件与不可能事件的定义、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． 22．（1）解：∵，，即，， ∴．故答案为：； （2）解：首先把化为，这里，， ∵，，即，， ∴．故答案为：； （3） ． 【点睛】本题是一道阅读理解题，主要考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键是掌握题目中告知问题的解题思路与方法，然后利用这种解题方法解决新问题． 23．【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，则，根据勾股定理求出的长，进而求出台风同时影响农场A和B市的距离即可求出结论． 【解析】(1)会受到台风的影响．理由如下：如图， 过点A作，垂足为D， ， 在中，，， ， ∵，∴，∴， ∵，农场A会受到台风的影响， (2)解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响， 所以，， 由勾股定理，可得， ， ∴台风同时影响农场A和B市的距离为 ∵台风的速度是，∴受台风影响的时间为． 24．【分析】（1）本题需要利用等腰直角三角形的性质求出的长度，再通过构造矩形和直角三角形，运用勾股定理求出的表达式． （2）连接，证明四边形为平行四边形，易得，当时，的长度取最小值，即的长度取得最小值，进一步可得此时，然后根据“平行四边形两对角线相互平分”确定的长度，即可获得答案． 【解析】（1）解：∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 如图，过作于点， ∵，∴，，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，∴； （2）解：如图，连接， ∵，，∴，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵点为线段上一点， ∴当时，的长度取最小值，即的长度取得最小值， ∵，， ∴，∴此时， 又∵，∴，即， ∴此时，∴， ∵四边形为平行四边形，∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中点的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 25．【分析】（1）延长至点D，使得，连接，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围； （2）延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证； （3）延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，进而得到为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理推出，进而推出三点共线，，求出的长，根据平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，得到，三角形的中线求出的面积即可． 【解析】解：（1）延长至点D，使得，连接， ∵为的中线，∴， 在和中，，， ， 在中，，即：，， ，； （2）解：为等腰直角三角形，理由： 延长至点，使得，连接，， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，， ∴， ∵M为中点，∴， 在和中，，， ，，∴， ， 又，，，， 又，， ∴为等腰直角三角形， ∵，∴，为等腰直角三角形； （3）如图，延长至点，使得，连接，，， 为中点，同上可得， ，，， 设， ， ∵，，，，， 同理可得，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，，∴， 在中，，∴为直角三角形，， ∴， ∴，且三点共线，∴， ∴， ∵是的中点，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是：熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $