第27章反比例函数 双曲线与直线：图象法解方程不等式 题集 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数综合应用，以图象交点为核心，构建“方程解-解析式-不等式解集”的知识逻辑链，强化数形结合与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数交点与方程|多题涉及|已知交点坐标或横坐标，求方程解|交点坐标与方程解等价，体现数学眼光的几何直观| |解析式求解|每题必考|利用交点求一次函数/反比例函数解析式|待定系数法应用，强化数学思维的推理能力| |图象应用与不等式|高频考查|根据图象写函数值大小关系的自变量范围|从图象特征到数量关系，培养数学语言的表达能力|

1. 如图，反比例函数 和正比例函数的图象交于、两点，点的坐标为，则 的解集是 ．y x O 或 或 或 ∵ ， ∴ ， ∵反比例函数 ∴ 点的坐标是 ∴ 和正比例函数 ， 的图象交于 、 两点, 的解集是 或 ． 【知识点】反比例函数与方程、不等式 【知识点】反比例函数与一次函数综合 【思想】数形结合思想 【能力】运算能力 2. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点，． （ 1 ）求反比例函数 和一次函数的表达式． （ 2 ）利用图象直接写出不等式 的解． 10 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ） （ 2 ） ， 或 ． ． （ 1 ）∵ ∴将 ∴ 在 代入 ， 上， ， 过 ， ， 上， 中， ． ∵ ∴ ∵ 在 ∴ ， ∴ （ 2 ）∵ ． ， ∴在图象上对应一次函数在反比例函数上方的情况， ∴由图可知： 或 ． 【方法】图象法 【能力】运算能力 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式 【知识点】反比例函数与方程、不等式 【知识点】已知两点求一次函数解析式 【思想】数形结合思想 3. 已知一次函数 与反比例函数 在同一直角坐标系中的图形如图所示，则当 时，的取值范围是（ ）． A. 或 B. 或 C. D. B 由图象可知，时， 于 的交点横坐标为 和 ， ∴当 或 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 4. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数 的图象在第一象限的交点为，轴，垂足为，若，，的面积为． （ 1 ）求一次函数与反比例函数的解析式． （ 2 ）直接写出当时， 的解集． （ 1 ）一次函数 （ 2 ） ，反比例函数的解析式是 ． （ 1 ）∵ ∴ ， ， ， ∴ 代入 ， ， 得： ， 解得： ， ∴一次函数 ， ， ∵ ∴当 ∴ ∴ ， ，时， ， 轴， ． ， ∴反比例函数的解析式是 （ 2 ）当 时， ． 的解集是 ． 【知识点】反比例函数的解析式 【知识点】反比例函数与一次函数综合 【知识点】反比例函数与方程、不等式 【知识点】一次函数的解析式 【思想】数形结合思想 5. 已知一次函数与反比例函数 的图象交于点 ， ． （ 1 ）求这两个函数的表达式． （ 2 ）直接写出关于的不等式 的解． （ 3 ）若点在一次函数的图象上，若点在反比例函数的图象上， ，请比较 与 的大小． （ 1 ）反比例函数解析式 ；一次函数解析式 ． （ 2 ） （ 3 ） 或 ． ． （ 1 ）把 代入 得 ， ∴反比例函数解析式为 把 代入 得 ， ，解得 ，则 ， 把 ， 代入 得 ， 解得 ， ∴一次函数解析式为 （ 2 ）不等式 ． 的解集为 或 ． （ 3 ）∵ ∴ ∴ ， ， ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于点 、，与轴相交于点．y x O （ 1 ）求该反比例函数和一次函数的解析式． （ 2 ）直接写出不等式 的解集． （ 1 ） （ 2 ） ． 或 ． （ 1 ） ，∵ ，∴ ． 故答案为： （ 2 ）略． ． 【知识点】反比例函数与方程、不等式 【知识点】反比例函数与一次函数综合 【思想】函数思想 【能力】运算能力 7. 如图，直线 与双曲线 交于 、 两点． y x O （ 1 ）求一次函数与反比例函数的解析式． （ 2 ）根据图象解关于的不等式． （ 1 ） （ 2 ） ； ． 或 ． （ 1 ） 反比例函数： ， ，∴ ，∴ ． 故答案为： ； ． （ 2 ）若 若 ， ， ， ， ； ． 故答案为： 或 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 在第一象限的公共点是 ，则满足 的的取值范围是 ．y 4 3 2 1 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 1 x 2 3 4 5 或 ∴ ∴ ∵ 与 与 均关于原点对称， 的另一个交点的横坐标为 ， 的取值范围是 或 ． 【知识点】反比例函数与几何图形公共点问题 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，已知 ， ，点 在直线上，反比例函数 的图象经过点． （ 1 ）求一次函数及反比例函数的解析式． （ 2 ）结合图象直接写出：当时，不等式 的解集． （ 1 ）一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ． （ 2 ）当 时，不等式 的解集为 ． （ 1 ）依题意，得 ， 解得 ． ∴一次函数的解析式为 ． ∵点 ∴ 把 在直线 上， ． 代入反比例函数 中，得 ． ． ∴反比例函数的解析式为 （ 2 ）结合图象可知： 当 时，不等式 的解集为 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 10. 一次函数与反比例函数 的图象交于 ， 两点， （ 1 ）求的值． （ 2 ）求和的值． （ 3 ）结合图象直接写出不等式 的解集． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ， ． 或 ． （ 1 ）∵反比例函数 的图象过点 ， ∴ （ 2 ）∵点 ∴ ∴点 ． 在反比例函数 的图象上， ． 的坐标为 ． ∵直线 ∴ 过点 ， ， ， 解得 ． （ 3 ） 或 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 11. 已知反比例函数 （为常数，）的图象经过点，则当时，函数值的取值范围是 （ ）． A. B. C. D. D 把 代入 得 ， 所以反比例函数解析式为 ， 当 所以当故选： 时， ；当 时， 时，函数值 的取值范围为 ； ， ． 【知识点】反比例函数增减性 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 交于、两点，点的横坐标为，点横坐标为，则不等式 的解集为 ． 由函数图象知，当 的解集为 故答案为： 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即不等式 ， 【知识点】反比例函数与方程、不等式 【能力】运算能力 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点和点 ． （ 1 ）求，的值． （ 2 ）根据图象判断，当不等式 成立时，的取值范围是什么？ （ 1 ） （ 2 ） ， ． 或 ． （ 1 ）把 代入 中，得到 ， ， 反比例函数的解析式为 把 （ 2 ） 代入 ， 中，得到 ， ． 观察图象可知：不等式 成立时， 的取值范围是 或 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 14. 如图，抛物线与双曲线 的交点的横坐标是，则关于的不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. C ∵ ． ， 即抛物线图象在双曲线图象下方， ∴ ． 【知识点】反比例函数与方程、不等式 15. 如图，反比例函数 和正比例函数的图象交于、两点，则 的解集是（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 或 C ∵ ， ∴ ， ∵反比例函数 ∴ 点的坐标是 ∴ 和正比例函数 ， 的图象交于 、 两点， 的解集是 或 ， 故选 ． 【能力】推理论证能力 【知识点】反比例函数与方程、不等式 $ 1. 如图，反比例函数 的图象与一次函数的图象交于 ，两点，点的横坐标为． （ 1 ）根据图象信息可得关于的方程 的解为 ． （ 2 ）求一次函数的解析式． 2. 已知，如图一次函数 与反比例函数 的图象如图示，当 时，的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 或 3. 如图，已知一次函数（为常数）的图象与反比例函数 （为常数，）的图象相交于点． ⑴求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标； ⑵观察图象，写出使函数值 的自变量的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 4. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与一次函数的图象的一个交点为． （ 1 ）求这个反比例函数的解析式． （ 2 ）如果一次函数的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，请根据图象直接写出不等式 的解集． 5. 在平面直角坐标系中，直线 与双直线 的一个交点为，另一个交点为 ． （ 1 ）求和的值． （ 2 ）解答： 求出直线 与双曲线 的另一个交点的坐标．直接写出当 时自变量的取值范围．1 2 6. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于，与轴的负半轴交于点，且，y O x （ 1 ）求函数 和的解析式． （ 2 ）已知直线与轴相交于点，在第一象限内，求反比例函数 的图象上一点，使得 ． （ 3 ）直接写出当时，的取值范围． 7. 如图，反比例函数 与一次函数的图象交于、两点，、两点的横坐标分别为， ，则关于的不等式 的解集为（ ）． A. B. C. D. 或 8. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象分别交于第二、四象限的 ，两点，点的横坐标为． （ 1 ）求反比例函数的表达式． （ 2 ）根据图象回答：当取何值时， ．请直接写出答案： ． 9. 如图，已知反比例函数 与一次函数 的图象交于 ， 两点． y x O （ 1 ） ， ． （ 2 ）使得 成立的 的取值范围为 ． （ 3 ）思考：使得 成立的的取值范围为 ． 10. 如图，反比例函数 的图象与一次函数的图象交于点 、，则不等式 解集为 ． 11. 如图，已知一次函数与反比例函数 的图象交于 、两点，则不等式 解集为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 12. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与 的图象相交于点 ，．则关于的不等式 的解集是 ． 13. 如图，直线 与双曲线 相交于和，则不等式 的解集为（ ）． A. 或 B. 或 C. 且 D. 或 14. 如图，直线与双曲线 相交于，两点． y x O （ 1 ）求直线和双曲线的解析式； （ 2 ）若，， 为双曲线上的三点，且 ，请直接写出 ，，的大小关系式； （ 3 ）观察图象，请直接写出不等式 的解集． 15. 一次函数 与反比例函数 中，若 与 的部分对应值如下表： … … … … … … 则不等式 的解集是 ． $ 1. 如图，反比例函数 的图象与一次函数的图象交于 ，两点，点的横坐标为． （ 1 ）根据图象信息可得关于的方程 的解为 ． （ 2 ）求一次函数的解析式． （ 1 ） 或 （ 2 ） ． （ 1 ）方程 的解即为一次函数图像在反比例函数图像交点的横坐标， ∵点 的横坐标为 ，点 ∴关于 的方程 （ 2 ）∵反比例函数 的横坐标为 的解为 或 ， ． ∴ ∵点 ∴点 把 ，∴ 的横坐标为的纵坐标为 的图像与一次函数 ， ， ， 的图像交于 , ， 的坐标代入 得： ， 解得 ， ∴ ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 2. 已知，如图一次函数 与反比例函数 的图象如图示，当 时，的取值范围是（ ）． 10 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 或 D 根据题意得： 时， 的取值范围是 或 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 3. 如图，已知一次函数（为常数）的图象与反比例函数 （为常数，）的图象相交于点． ⑴求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标； ⑵观察图象，写出使函数值 的自变量的取值范围．见解析 ⑴由题意，得 ， 解得 ，所以一次函数的解析式为 ． 由题意，得 ， 解得 ，所以反比例函数的解析式为 由题意，得 ，解得 ， ． ． 当 时， ，所以交点 ． ⑵由图象可知，当 或 时，函数值 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 4. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与一次函数的图象的一个交点为． （ 1 ）求这个反比例函数的解析式． （ 2 ）如果一次函数的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，请根据图象直接写出不等式 的解集． （ 1 ） （ 2 ） ． 或 ． （ 1 ）将 ∴ 将 代入 得 ， ， 代入 ，得 ∴反比例函数的解析式为 ， ． （ 2 ） 或 ． 【思想】数形结合思想 【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值） 【知识点】反比例函数系数与图象关系 【知识点】反比例函数与一次函数综合 【知识点】反比例函数与方程、不等式 5. 在平面直角坐标系中，直线 与双直线 的一个交点为，另一个交点为 ． （ 1 ）求和的值． （ 2 ）解答： 求出直线 与双曲线 的另一个交点的坐标．直接写出当 时自变量的取值范围．1 2 （ 1 ） （ 2 ）1 2 ， ． ． 或 ． （ 1 ）∵ 在 上， ∴ ∴把 ∴ （ 2 ）1 ， ， 代入 ． ， 中得： ， ∵ ∴ ， ， ， 则 ， ∴ ∴ ∵ ， ， ， ， ∴ ． 2 或 ． 【知识点】反比例函数系数与图象关系 【知识点】反比例函数与一次函数综合 【知识点】反比例函数与方程、不等式 【能力】推理论证能力 6. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于，与轴的负半轴交于点，且，y O x （ 1 ）求函数 和的解析式． （ 2 ）已知直线与轴相交于点，在第一象限内，求反比例函数 的图象上一点，使得 ． （ 3 ）直接写出当 时，的取值范围． （ 1 ）反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 ． （ 2 ） ． （ 3 ） 或 ． （ 1 ）把点 代入反比例函数 ，可得 ， ∴反比例函数解析式为 ， ∵ ∴ 把点 ， ， ， ，解得 代入一次函数 ， ，可得， ∴一次函数解析式为 ． （ 2 ）在 即 ∴设由 解得 ∴ 中，令 ，则 ， ， ， ， ，可得 ， ， ． （ 3 ） 或 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 7. 如图，反比例函数 与一次函数的图象交于、两点，、两点的横坐标分别为， ，则关于的不等式 的解集为（ ）． A. B. C. D. 或 B ∵反比例函数图象与一次函数图象交点的横坐标分别为 和 ，又∵反比例函数 小于一次函数 ． ∵反比例的函数图象位于一次函数的下方， ∴ ． 故选 ． 【知识点】反比例函数与方程、不等式 8. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象分别交于第二、四象限的 ，两点，点的横坐标为． （ 1 ）求反比例函数的表达式． （ 2 ）根据图象回答：当取何值时， ．请直接写出答案： ． （ 1 ） （ 2 ） ． 或 （ 1 ）把 即点 的坐标为： 代入一次函数 ， 得： ， 把点 解得： 代入反比例函数 ， 得： ， 即反比例函数为 （ 2 ）一次函数 ． 与反比例函数 联立得： ， 解得： 或 即点 的坐标为： 由图象可知：当故答案为： ， ，点 的坐标为： 或 时， ， ． 或 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 9. 如图，已知反比例函数 与一次函数 的图象交于 ， 两点． y x O （ 1 ） ， ． （ 2 ）使得 成立的 的取值范围为 ． （ 3 ）思考：使得 成立的的取值范围为 ． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ; 或 或 【知识点】反比例函数与一次函数综合 10. 如图，反比例函数 的图象与一次函数的图象交于点 、，则不等式 解集为 ． ， 【知识点】反比例函数与方程、不等式 11. 如图，已知一次函数与反比例函数 的图象交于 、两点，则不等式 解集为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 D 由图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时， 或 ． 【能力】运算能力 【知识点】反比例函数与方程、不等式 【知识点】反比例函数与一次函数综合 12. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与 的图象相交于点 ，．则关于的不等式 的解集是 ． 或 ， 从图中可以看出当 ， 或 时直线 在曲线 上方即 ∴当 故答案为 或 时， ． 或 ． 【能力】运算能力 【知识点】反比例函数与方程、不等式 13. 如图，直线 与双曲线 相交于和，则不等式 的解集为（ ）． A. B. C. D. 或 或 或 且 A ∵直线 ∴由图象得：不等式故选 ． 与双曲线 的解集为 相交于 和 ， 或 ， 【能力】运算能力 【思想】分类讨论思想 【知识点】反比例函数与方程、不等式 14. 如图，直线与双曲线 相交于 ， 两点． y x O （ 1 ）求直线和双曲线的解析式； （ 2 ）若，， 为双曲线上的三点，且 ，请直接写出 ，，的大小关系式； （ 3 ）观察图象，请直接写出不等式 的解集． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ， 或 （ 1 ） 双曲线 经过点 ， 双曲线的解析式为： 点 在双曲线 ，则 ． 上， ． 由点 得 ， 在直线 上， ， 解得 直线的解析式为： ． （ 2 ） 在第三象限内 随 的增大而减小，故 ， 又 是正数，故 ， （ 3 ）由图可知 或 ． 【知识点】反比例函数与方程、不等式 15. 一次函数 与反比例函数 中，若与的部分对应值如下表： … … … … … … 则不等式 的解集是 ． 或 由表可知 与 交于点 和点 ，用描点法可得出二者的大致 图象． y x 若 ，则反比例函数图象在一次函数图象上方， 由函数图象可知解集为 故答案为： 或 或 ． ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 【知识点】反比例函数与方程、不等式 O 【方法】图象法 【能力】运算能力 【思想】函数思想 $ 1. 如图，反比例函数 和正比例函数的图象交于、两点，点的坐标为，则 的解集是 ．y x O 2. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点，． （ 1 ）求反比例函数 和一次函数的表达式． （ 2 ）利用图象直接写出不等式 的解． 3. 已知一次函数 与反比例函数 在同一直角坐标系中的图形如图所示，则当 时，的取值范围是（ ）． A. 或 B. 或 C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 4. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数 的图象在第一象限的交点为，轴，垂足为，若，，的面积为． （ 1 ）求一次函数与反比例函数的解析式． （ 2 ）直接写出当时， 的解集． 5. 已知一次函数与反比例函数 的图象交于点 ， ． （ 1 ）求这两个函数的表达式． （ 2 ）直接写出关于的不等式 的解． （ 3 ）若点在一次函数的图象上，若点在反比例函数的图象上， ，请比较与的大小． 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于点 、，与轴相交于点．y x O （ 1 ）求该反比例函数和一次函数的解析式． （ 2 ）直接写出不等式 的解集． 7. 如图，直线 与双曲线 交于、两点． y x O （ 1 ）求一次函数与反比例函数的解析式． （ 2 ）根据图象解关于的不等式． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 在第一象限的公共点是 ，则满足 的的取值范围是 ．y 4 3 2 1 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 1 x 2 3 4 5 9. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与 轴交于点，与轴交于点 ，已 知 ， ，点 在直线 上，反比例函数 的图象经过点． （ 1 ）求一次函数及反比例函数的解析式． （ 2 ）结合图象直接写出：当时，不等式 的解集． 10. 一次函数与反比例函数 的图象交于 ， 两点， （ 1 ）求的值． （ 2 ）求和的值． （ 3 ）结合图象直接写出不等式的解集． 11. 已知反比例函数 （为常数，）的图象经过点，则当时，函数值的取值范围是 （ ）． A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 交于、两点，点的横坐标为，点横坐标为，则不等式 的解集为 ． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点和点 ． （ 1 ）求，的值． （ 2 ）根据图象判断，当不等式 成立时，的取值范围是什么？ 14. 如图，抛物线与双曲线 的交点的横坐标是，则关于的不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 15. 如图，反比例函数 和正比例函数的图象交于、两点，则的解集是（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 或 $