1.3.2空间向量运算的坐标表示同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算，分层设计从基础概念到创新应用，通过梯度化题型培养运算能力与空间观念，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-9题）|坐标运算、模长、夹角、垂直平行判定|直接应用定义，如坐标求解（1题）、向量夹角计算（2题），夯实运算基础| |中档层（10-13题）|综合运算、几何应用|结合三角形形状判断（4题）、空间几何体中垂直关系（12题），衔接课堂例题| |拔高层（14-16题）|开放探究、创新情境|条件开放题（14题）、斜坐标系应用（16题），发展推理能力与创新意识|

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 　　 1.已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O为坐标原点），则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 2.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 3. (2025秋·拱墅区校级期末) 已知，，则等于（　　） A.  B.  C.  D.  4.在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.（多选）（2024·日照月考）已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下列结论正确的有（　　） A.（2a＋b）∥a B.5｜a｜＝｜b｜ C.a⊥（5a＋6b） D.a与b夹角的余弦值为 6.（多选）已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），则下列结论中正确的是（　　） A.若｜a｜＝2，则m＝± B.若a⊥b，则m＝－1 C.不存在实数λ，使得a＝λb D.若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2） 7. (2025秋·玉林期末) 已知点，，若，则点的坐标是　　　　. 8.若△ABC的三个顶点分别为A（0，0，），B（－，，），C（－1，0，），则角A的大小为　　　　. 9.已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值是　　　　. 10.设x，y∈R，向量a＝（x，1，1），b＝（1，y，1），c＝（2，－4，2），且a⊥b，b∥c. （1）求｜a＋b｜； （2）求向量a＋b与2a＋b－c夹角的大小. 11.（2024·珠海月考）已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（　　） A.（－∞，－6）　　 B.（－∞，－6）∪（－6，） C.（，＋∞） D.（－∞，） 12. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，其中AD＝2AB，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD＝　　　　. 13. 如图，将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，的长为，的长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为　　　　. 14. 在①（＋）⊥（－）；②｜｜＝；③0＜cos＜，＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题. 问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，　　　　　，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 15. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小为　　　　，若D1E⊥EC，则AE＝　　　　. 16.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]. （1）若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标； （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{，，}为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若＝，求向量的斜60°坐标； ②若＝[2，t，0]，且⊥，求｜｜. 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 1.B　∵＝（－3，7，－5），∴＝（－3，7，－5）＝.∴点C的坐标为.故选B. 2.C　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°. 3.B　 ，则. 4.C　∵＝（3，4，－8），＝（5，1，－7），＝（2，－3，1），∴｜｜＝＝，｜｜＝＝，｜｜＝＝，∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴△ABC一定是直角三角形. 5.BC　因为2a＋b＝（－1，2，7），a＝（－2，－1，1），而≠≠，所以2a＋b与a不共线，故A不正确；因为｜a｜＝，｜b｜＝5，所以5｜a｜＝｜b｜，故B正确；因为a·（5a＋6b）＝5a2＋6a·b＝5×（4＋1＋1）＋6×（－6－4＋5）＝0，所以a⊥（5a＋6b），故C正确；因为a·b＝－5，所以cos＜a，b＞＝＝－，故D不正确. 6.AC　由｜a｜＝2，可得＝2，解得m＝±，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确；若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D选项错误. 7. 　解析：因为点，，所以，因为，所以， 所以点的坐标是. 8.30°　解析：＝（－，，0），＝（－1，0，0），则cos A＝cos＜，＞＝＝，因为0°＜A＜180°.故角A的大小为30°. 9.　解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0）.∴｜b－a｜＝＝＝ .∴当t＝时，｜b－a｜取最小值，最小值为. 10.解：（1）由x，y∈R，向量a＝（x，1，1），b＝（1，y，1），c＝（2，－4，2），且a⊥b，b∥c，可得x＋y＋1＝0，＝＝，解得x＝1，y＝－2，则a＝（1，1，1），b＝（1，－2，1），所以a＋b＝（2，－1，2），故｜a＋b｜＝＝3. （2）因为2a＋b－c＝（1，4，1），所以（a＋b）·（2a＋b－c）＝2×1＋（－1）×4＋2×1＝0，故向量a＋b与2a＋b－c的夹角为. 11.B　因为向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，所以a·b＜0，且a，b不共线，则a·b＝－10＋3t＜0，解得t＜.当a∥b时，t＝－6，所以实数t的取值范围为（－∞，－6）∪（－6，）.故选B. 12.1∶7　解析：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB＝1，则AD＝2，设AP＝a，所以A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），E（，2，0），P（0，0，a）.设F（0，y，0），则＝（，2，－a），＝（－1，y，0）.因为BF⊥PE，所以·＝0，所以－＋2y＝0，解得y＝，所以F（0，，0）.所以AF＝，则FD＝2－＝，所以AF∶FD＝∶＝1∶7. 13.　解析：以O为坐标原点，OA，OO1所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A（0，1，0），A1（0，1，1），B1（，，1），C（，－，0）.所以＝（0，0，1），＝（0，－1，－1），则·＝02＋0×（－1）＋1×（－1）＝－1，所以cos＜，＞＝＝＝－.因此，异面直线B1C与AA1所成的角为. 14.解：由题意，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0），设E（0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则＝（b，2－a，0），＝（－2，2，－2），＝（－2，a，2），＝（b－2，0，2），所以·＝4－2（a＋b），·＝8－2b. 选择①：因为（＋）⊥（－）， 所以（＋）·（－）＝0，＝，得a＝b， 若·＝0得4－2（a＋b）＝0， 则a＝b＝1， 故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），满足·＝0，·＝8－2b＝6. 选择②：因为｜｜＝，所以＝，得a＝， 若·＝0，即4－2（a＋b）＝0，得b＝. 故存在点E，F，满足·＝0，·＝8－2b＝5. 选择③：因为0＜cos＜，＞＜1，所以与不共线， 所以b≠2－a，即a＋b≠2， 则·＝4－2（a＋b）≠0， 故不存在点E，F满足EF⊥A1C. 15.90°　1 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.又AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动.则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，m，0），0≤m≤2，则＝（1，m，－1），＝（－1，0，－1），∴·＝－1＋0＋1＝0，∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°.∵＝（－1，2－m，0），D1E⊥EC，∴·＝－1＋m（2－m）＋0＝0，解得m＝1，∴AE＝1. 16.解：（1）由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，知a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k， 所以a＋b＝（i＋2j＋3k）＋（－i＋j＋2k）＝3j＋5k， 所以a＋b＝[0，3，5]. （2）设i，j，k分别为与，，同方向的单位向量， 则＝2i，＝2j，＝3k， ①＝－ ＝（＋）－（＋） ＝－＋＋ ＝－2i＋2j＋k＝［－2，2，］. ②由题得＝＋＋＝2i＋2j＋3k， 因为＝[2，t，0]，所以＝2i＋tj， 由⊥知·＝（2i＋2j＋3k）·（2i＋tj）＝0⇒4i2＋2tj2＋（4＋2t）i·j＋6k·i＋3tk·j＝0⇒4＋2t＋（4＋2t）·＋3＋＝0⇒t＝－2. 则｜｜＝｜2i－2j｜＝ ＝ ＝＝2. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $