3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线与椭圆的位置关系”，涵盖位置关系判断、弦长公式及距离最值等核心知识点。通过行星椭圆轨道受彗星影响的问题导入，衔接椭圆几何性质前序知识，搭建从理论到应用的学习支架。 资料以情境化问题培养数学眼光，例题与变式题梯度设计提升数学思维，结合数形结合思想，题型涵盖选择、填空及解答题。助力学生理解逻辑联系，发展推理能力与应用意识，适合课堂教学与自主学习。

第三章　圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.2椭圆的简单几何性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系 学习目标1、通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。2、了解椭圆的简单应用。 问题 行星椭圆轨道受到彗星直线运动轨迹的影响，一条直线与椭圆会出现哪几种位置关系？如何判断直线和椭圆有无交点？ 一、直线与椭圆的位置关系 知识梳理 （1） 直线与椭圆的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 相切 相离 【例1】设直线，椭圆． （1）直线与椭圆有一个公共点，则满足的条件是______． （2）直线与椭圆有两个公共点，则满足的条件是______． （3）直线与椭圆没有公共点，则满足的条件是______． 【变式1-1】已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 【变式1-2】经过点且与椭圆相切的直线方程是( ) A． B． C． D． 【例2】椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为（ ） A． B． C． D． 2、 直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 【例3】一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（ ） A．3 B．6 C． D． 【变式3-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【变式3-3】已知斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点且，求直线的方程． 巩固加练 1.直线：，椭圆C：，直线与椭圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与m的取值有关 2.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆相切，记F1，F2到直线l的距离分别为d1，d2，则d1·d2的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.（多选）已知椭圆的焦点分别为，，焦距为2c，过的直线与椭圆C交于A，B两点.，，若的周长为20，则经过点的直线（ ） A．与椭圆C可能相交 B．与椭圆C可能相切 C．与椭圆C可能相离 D．与椭圆C不可能相切 5.在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________. 6.过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______． 7.已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当求此时直线的方程； 8.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.2椭圆的简单几何性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系 学习目标1、通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。2、了解椭圆的简单应用。 问题 行星椭圆轨道受到彗星直线运动轨迹的影响，一条直线与椭圆会出现哪几种位置关系？如何判断直线和椭圆有无交点？ 参考答案　彗星沿直线穿行，有可能和行星轨道相交、擦肩而过，或是没有交汇。想要分析二者是否相遇，就需要研究直线与椭圆的位置关系。 一、直线与椭圆的位置关系 知识梳理 （1） 直线与椭圆的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 >0 相切 一解 =0 相离 无解 <0 【例1】设直线，椭圆． （1）直线与椭圆有一个公共点，则满足的条件是______． （2）直线与椭圆有两个公共点，则满足的条件是______． （3）直线与椭圆没有公共点，则满足的条件是______． 【答案】；；或 【解析】由消去并化简得，. （1） 当，即时，直线与椭圆有一个公共点. （2） （2）当，即时，直线与椭圆有两个公共点. （3） （3）当，即或时，直线与椭圆没有公共点. 【变式1-1】已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 【答案】A 【解析】由，则， 则直线，恒过定点， 由，则点，在椭圆1内部， ∴直线与椭圆相交．故选：A 【变式1-2】经过点且与椭圆相切的直线方程是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意； 当存在斜率时，直线方程设为：， 与椭圆的方程联立得，， 得到 直线与椭圆相切，故，即 解得所以切线方程为，故本题选A． 【例2】椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为， 则 所以 所以椭圆上点P到直线的最短距离为 故选：A 【变式2-1】已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线与椭圆相切，由得， ∴，， 切线方程为和，与距离较规远的是， ∴所求最大距离为．故选：A. 2、 直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 【例3】一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（ ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】设过原点的直线的方程为：， 直线与椭圆的一个两个交点分别设为， 则根据对称性可知两点关于原点对称，即， 而 直线被椭圆截得的弦长为,所以.故选：B. 【变式3-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程 整理可得：，设， 则，，根据弦长公式有： =．故B，C，D错误.故选：A. 【变式3-2】斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为， 由消去y得，则，. 所以， 所以当时，取得最大值，故选:D. 【变式3-3】已知斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点且，求直线的方程． 【答案】 【解析】设直线方程：，， 联立，消去得：， 由韦达定理得：，， 则， 解得：满足 故直线的方程为：. 巩固加练 1.直线：，椭圆C：，直线与椭圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与m的取值有关 【答案】A 【解析】 ， 所以直线恒过， 因为，所以点在椭圆内部， 因此直线与椭圆的位置关系是相交，故选：A 2.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】C 【解析】设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1. 故选：C 3.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆相切，记F1，F2到直线l的距离分别为d1，d2，则d1·d2的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】由得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，由Δ＝0得：m2＝2＋6k2， 所以d1·d2＝·＝＝＝2. 故选：B 4.（多选）已知椭圆的焦点分别为，，焦距为2c，过的直线与椭圆C交于A，B两点.，，若的周长为20，则经过点的直线（ ） A．与椭圆C可能相交 B．与椭圆C可能相切 C．与椭圆C可能相离 D．与椭圆C不可能相切 【答案】AB 【解析】由椭圆的定义知，，设，则，则，，而，即有，解得，又的周长为20，则有，解得，， 因为，即，解得，则， 椭圆C的方程为，显然，即点在椭圆上， 所以经过点的直线与椭圆C相交或相切. 故选：AB 5.在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________. 【答案】 【解析】令与椭圆相切，消去x整理得：， 所以，可得，显然与椭圆无交点， 当，切线为，与距离为； 当，切线为，与距离为； 所以点P到直线的距离d的最小值为. 故答案为： 6.过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______． 【答案】 【解析】∵椭圆方程为，∴焦点分别为，， ∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°， ∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y， 得．设，， 可得，∴， 因此，． 故答案为:． 7.已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当求此时直线的方程； 【答案】（1）；（2）或为. 【解析】（1），，即， ，又经过点1)， ，解得， 所以椭圆方程为. （2）当直线的斜率不存在时，即直线的方程，此时， 直线的斜率存在， 不妨设直线的方程为，设， 联立方程组可得消可得， 其判别式， ， ， 整理可得，解得即 此时直线方程为或为 8.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值. 【答案】（1）＋＝1；（2）2 【解析】(1)因为e2＝＝＝，所以a2＝4b2. 又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)， 所以＋＝1.所以a2＝8，b2＝2. 故所求椭圆方程为＋＝1. (2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0. 所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4. 又直线l与椭圆相交，所以Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2. 则|AB|＝×＝. 点P到直线l的距离d＝＝. 所以S△PAB＝d|AB|＝××＝≤＝2. 当且仅当m2＝2，即m＝±时，△PAB的面积取得最大值为2. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $