25.3 实际问题与一元二次方程 一课一练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学人教版九年级上册25.3实际问题与一元二次方程同步练，分层覆盖基础应用到综合探究，梯度推进问题解决能力，强化模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|传播、增长率、营销等基本模型|单选填空为主，如第1题流感传播问题，巩固方程建立方法| |中档|图形与动态问题|结合几何直观，如第8题矩形折叠，培养空间观念| |提升|综合应用与规律探索|解答题为主，如第20题图形规律，发展创新意识与运算能力|

25.3 实际问题与一元二次方程 一课一练2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建临时舞台（阴影部分）．若舞台中间空白部分的面积为，则正方形绿地的边长为（    ） A． B． C． D． 3．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（   ） A． B． C． D． 4．某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多卖6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件售价降低x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 6．随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（     ） A． B． C． D． 7．两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 8．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 9．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 10．若平面上不重合的n个点最多可以确定45 条直线，则n的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 11．已知点在线段上，且，若，则_________． 12．为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼”代替“握手”的问候方式逐渐流行．某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘36次，若设有x人参加这次会议，则可列方程为________________． 13．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） 14．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高为，则可得到方程______． 15．一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为“合十数”．例如，因为，所以是“合十数”．在“合十数”n中，十位数字的倍与个位数字之和再减去百位数字的差记为，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为，若“合十数”n满足，则满足条件的“合十数”n的值为 ___． 三、解答题 16．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量/间 房间价格/（元・间） 总维护费用/元 提价前 60 200 提价后 (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？租出多少间房间？（纯收入=总收入-维护费用） 17．阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为n（n－3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝－5（舍去），∴这个n边形是八边形．根据以上内容，问： (1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数； (2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？ 18．乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 19．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为．    (1)求y与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ (3)当x取何值时，y有最大值？并求出最大值． 20．如图，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子，．．．，依此规律，回答下列问题． (1)第五个图形有___________个石子． (2)若第个图形有160个石子，求的值． (3)是否存在某个图形有216个石子，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C D C D D B C 1．【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形绿地的边长为，则舞台中间空白部分为长，宽的宽，根据舞台中间空白部分的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设正方形绿地的边长为，则舞台中间空白部分为长，宽的宽， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：正方形绿地的边长为． 3．【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，根据第四季度的总营业额要达到9100万元，列方程即可得到结论． 【详解】解：设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，根据题意可列的方程为 ， 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意． 设每件售价降低x元，则每天可售出件，每件盈利元，根据每天销售额每件盈利每天销售量列方程即可． 【详解】解：设每件售价降低x元，则每天可售出件，每件盈利元， 依题意得方程：． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种植物每个支干长出的小分支个数是,则支干个数为，小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数是即可求解． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是,则支干个数为，小分支个数为， 由题意得：， 解得：（舍）， 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出对应方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需要与其余支球队各进行一场比赛， 又∵每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为，因此可得方程． 7．【答案】D 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设两个相邻自然数中较大的数为，则另一个数为，根据两个相邻自然数的积是506，列出方程即可求解. 【详解】解：设两个相邻自然数中较大的数为，则另一个数为， 依题意得， 解得(不合题意，舍去)，， ∴这两个数中，较大的数是， 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键. 8．【答案】D 【知识点】矩形与折叠问题、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 9．【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 根据题意，找出等量关系，列方程求解，对各选项进行分析即可． 【详解】解：设这批椽一共有x株， 根据题意得，， 即， 解得，，（舍去）， ∴这批椽一共有株， ∴一株椽的价钱为：（文）； ．设这批椽的数量为株，则，说法正确，不符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法不正确，符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法正确，不符合题意； ．这批椽一共有株，说法正确，不符合题意． 故选：． 10．【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了解方程，熟练掌握解方程是解题的关键，根据两点确定一条直线，n个点与其余个点，连接可构成条，每两点连线重复一半，故构成不重复直线条数为条，建立方程解答即可． 【详解】根据题意，得， 解得（舍去）， 故选C． 11．【答案】/ 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元二次方程，熟记解一元二次方程的方法是解题的关键．根据题意画出图形，设，则，根据列方程求解然后列方程求解即可． 【详解】解：如图所示， 设，则 ∵点P在线段上，且，即， ∴，即， 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用（握手问题模型），熟练掌握“个元素中任取2个的组合数为”是解题的关键． 利用碰肘的总次数等于参会人数乘以（参会人数减1）除以2，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：依题意得， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即，然后解方程求解即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍去），， 因此物体经过落回地面， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】列分式方程、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，列方程，整理为整式方程即可． 【详解】设雕像下部高为，则可得到方程：， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)、因式分解的应用 【分析】根据“合十数”定义，设一个“合十数”n的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是，则有，根据题意得到，因式分解，然后讨论可得对应的值，就可求出的值． 【详解】解：设一个“合十数”n的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是，则有， 则，， ， ， ， ， ， ， a和c为1到9的整数，b为0到9的整数， 也是正整数， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 当时，， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 故，，则， 故答案为：． 16．【答案】(1)， (2)每间客房的定价应为300元，此时租出房间为50间 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用提价后每间客房的价格=提价前每间客房的价格+每间客房的定价提高的价格，可用含x的代数式表示出提价后每间客房的价格；利用提价后入住的房间数量=提价前入住的房间数量，可用含x的代数式表示出提价后入住的房间数量；利用提价后总维护费用提价后入住的房间数量，即可用含x的代数式表示出提价后总维护费用； （2）利用纯收入=总收入-维护费用，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要吸引更多的游客，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当每间客房的定价提高了x元时， 房间价格为元， 入住了间房， 总维护费用为元． 故答案为：，； （2）解：根据题意，得， 化简，得， 解方程，得，， 又∵要吸引更多的游客， ， ∴（元）， 此时租出的房间数为（间）． 答：每间客房的定价应为300元，此时租出房间为50间． 17．【答案】(1)6 (2)错误， 理由如下：由题可得n（n－3）＝10， 解得n＝， ∴符合方程的正整数n不存在， ∴n边形不可能有10条对角线， 故小明的说法不正确． 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）利用题中给出的对角线条数公式即可求解； （2）利用题中给出的对角线条数公式列出一元二次方程，求解方程的根，根据方程是否有正整数解来判断即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数是n，则n（n－3）＝9， 解得n＝6或n＝－3（舍去）． ∴这个多边形的边数是6； （2）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，通过方程是否有正整数解来判断是否存在有10条对角线的多边形是解答本题的关键． 18．【答案】(1)小明的说法不正确，理由见解析 (2)采纳销售员乙的意见，理由见解析 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副，根据“售价每降低2元，平均每月可多卖出20副”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为4830元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【详解】（1）解：设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副， 依题意得，， 解得， 降价后每副的售价为（元）， 进价为每副42元，， 平均每月的销售量能达到500副时会亏本， 小明的说法不正确； （2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设降低元， ∵售价每降低2元，平均每月可多卖出20副， ∴售价每降低1元，平均每月可多卖出10副， 由题意得， 解得或， 当时（甲的意见），销售量为副； 当时（乙的意见），销售量为副； ∵尽量减少库存， ∴采纳销售员乙的意见． 19．【答案】(1) (2) (3)当时面积最大，最大面积为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）利用矩形面积公式建立函数关系式即可； （2）利用（1）解析式，当时，解一元二次方程求解，并使求的得解使小于等于； （3）利用（1）中解析式，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，， 解此方程得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （3）解：， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 20．【答案】(1)34 (2)的值为 (3)不存在，理由见详解 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示，找出规律是解题的关键． （1）根据图示，由图的序号与图形中的石子数量得到第5个图形有个石子，由此即可求解； （2）结合（1）中的数量关系得到第个图形有（个）石子，由此列式求解即可； （3）结合（2）中的数量关系方程求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形有6个石子，， 第2个图形有10个石子，， 第3个图形有16个石子，， 第4个图形有24个石子，， ∴第5个图形有个石子， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，第个图形有（个）石子， ∴，整理得，， 因式分解得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为； （3）解：不存在，理由如下， 根据题意得到，整理得，， ∵， ∴， ∵是无理数， ∴不存在某个图形有216个石子． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $