25.3《实际问题与一元二次方程》分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册第25章“实际问题与一元二次方程”同步练，通过“基础-进阶-中考”三层分层设计，覆盖9大知识点，从单一应用到综合建模，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|几何图形、传播等9大知识点|选择/填空为主，如矩形面积（题1）、流感传播（题5），夯实列方程步骤，发展抽象能力| |进阶思维题|增长率与利润、动点与几何综合|解答题突出多知识点融合，如降价盈利（题12）、运动面积计算（题13），培养推理能力| |中考链接题|中考高频考点（增长率、利润、几何应用）|真题题型如成本下降率（题5）、篱笆围场（题8），强化模型意识与问题解决能力|

人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.3实际问题与 一元二次方程 本节知识点总结 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： ① 审：审题，弄清已知量和未知量； ② 设：设未知数； ③ 列：根据等量关系列方程； ④ 解：解方程； ⑤ 验：检验根是否符合实际意义； ⑥ 答：写出答案。 2. 几何图形问题： ① 面积问题：利用面积公式列方程； ② 周长问题：利用周长公式列方程； ③ 勾股定理问题：直角三角形三边关系。 3. 传播问题： ① 传染病问题：每轮传染中平均一个人传染x个人，两轮后共有1 + x + x(1+x)人患病； ② 分支问题：主干长出若干支干，每个支干又长出同样数目的小分支。 4. 增长率与下降率问题： ① 增长率：a(1+x)² = b（a为原量，b为两次增长后的量）； ② 下降率：a(1-x)² = b（a为原量，b为两次下降后的量）。 5. 比赛场次与握手问题： ① 单循环赛（每两队赛一场）：n(n-1)/2 场； ② 双循环赛（主客场）：n(n-1) 场； ③ 握手问题：n(n-1)/2 次； ④ 多边形对角线：n(n-3)/2 条。 6. 数字问题： ① 连续整数：设中间数为x，则三个数为x-1, x, x+1； ② 两位数：十位数字为a，个位数字为b，则两位数为10a + b。 7. 利润问题： ① 利润 = 售价 - 进价； ② 总利润 = 单件利润 × 销售量。 8. 动点问题： 设运动时间为t，用含t的代数式表示各线段长度，再根据面积或勾股定理列方程。 9. 重要提醒：解出方程的根后，必须检验是否符合实际意义，舍去不合题意的根。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 几何图形面积问题 1．（2024秋·广东广州·单元测）一个矩形的长比宽多2cm，面积为15cm²，求这个矩形的长和宽。若设宽为x cm，则可列方程为（　　） A．x(x+2) = 15 B．x(x-2) = 15 C．2x(x+2) = 15 D．2x(x-2) = 15 2．（2024秋·山东济南·期中）直角三角形的两条直角边长相差7cm，斜边长为13cm，则较短的直角边长为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．（2024秋·浙江杭州·期末）用一根长为24cm的铁丝围成一个面积为32cm²的矩形，求这个矩形的长和宽。若设长为x cm，则可列方程为________。 4.（2024秋·江苏苏州·月考）如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为300m²，设道路的宽为x m，则可列方程为_______。 题型02 传播问题 5．（2024秋·北京海淀·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（　　） A．1 + x + x(1+x) = 121 B．1 + x + x² = 121 C．x + x(1+x) = 121 D．1 + 2x = 121 6．（2024秋·上海浦东·单元测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（　　） A．1 + x + x² = 91 B．x + x² = 91 C．1 + 2x = 91 D．x(1+x) = 91 7．（2024秋·湖北武汉·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了_______个人。 题型03 增长率与下降率问题 8．（2024秋·四川成都·期中）某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　） A．100(1-x)² = 81 B．100(1+x)² = 81 C．100(1-2x) = 81 D．81(1+x)² = 100 9．（2024秋·陕西西安·期末）某工厂今年的产值为100万元，计划后年产值达到144万元，设每年产值的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．100(1+x)² = 144 B．100(1-x)² = 144 C．100 + 100(1+x) = 144 D．100(1+2x) = 144 10．（2024秋·重庆渝中·月考）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得___ _____。 11．（2024秋·辽宁沈阳·期中）某市2022年投入教育经费2500万元，预计2024年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则可列方程为________。 题型04 比赛场次与握手问题 12．（2024秋·河南郑州·单元测）参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，设共有x个队参加比赛，则可列方程为（　　） A．x(x-1) = 45 B．½x(x-1) = 45 C．x(x+1) = 45 D．½x(x+1) = 45 13．（2024秋·河北石家庄·期中）一次同学聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加聚会，则可列方程为（　　） A．x(x-1) = 10 B．½x(x-1) = 10 C．x(x+1) = 10 D．½x(x+1) = 10 14．（2024秋·湖南长沙·月考）n边形的对角线共有20条，求n的值。可列方程为________。 题型05 数字问题 15．（2024秋·福建福州·期末）两个连续偶数的积是168，求这两个数。设较小的偶数为x，则可列方程为（　　） A．x(x+1) = 168 B．x(x+2) = 168 C．x(x-2) = 168 D．2x(2x+2) = 168 16．（2024秋·江西南昌·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积是736，求原两位数。设原两位数的十位数字为x，则可列方程为（　　） A．(10x + 5-x)(10(5-x) + x) = 736 B．(x + 5-x)(5-x + x) = 736 C．(10x + 5)(10(5-x) + x) = 736 D．(10x + 5-x)(5-x + x) = 736 17．（2024秋·安徽合肥·月考）三个连续整数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，求这三个数。设中间的数为x，则可列方程为_______。 题型06 利润问题 18．（2024秋·山东青岛·期末）某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价。设成本价为x元，则可列方程为（　　） A．x = 150 × 25% B．25%x = 150 C．150 - x = 25%x D．150 - x = 25% 19．（2024秋·广东深圳·期中）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，设每个台灯涨价x元，则可列方程为（　　） A．(40+x-30)(600-10x) = 10000 B．(40-30+x)(600+10x) = 10000 C．(40+x)(600-10x) = 10000 D．(40-30)(600-10x) = 10000 20．（2024秋·江苏无锡·月考）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，设每千克应涨价x元，则可列方程为_______。 题型07 动点问题 21．（2024秋·浙江宁波·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动。若P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当△PCQ的面积为8cm²时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．1或2 22.（2024秋·山东烟台·期中）如图，在矩形ABCD中，AB = 6cm，BC = 12cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。若P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当△PBQ的面积等于8cm²时，t的值为___2或_____。 23．（2024秋·广东佛山·月考）如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。若P、Q同时出发，_______秒后，PQ的长度等于4 cm。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）某商品原价为200元，连续两次降价后售价为128元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．200(1-x)² = 128 B．200(1-2x) = 128 C．128(1+x)² = 200 D．200(1-x²) = 128 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2024-2025九年级上·广东广州·期中）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，设共有x家公司参加商品交易会，则可列方程为（　　） A．x(x-1) = 45 B．x(x-1) = 45 C．x(x+1) = 45 D．x(x+1) = 45 4．（2024-2025九年级上·江苏南京·月考）如图，在长为100m、宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m²，设道路的宽为x m，则可列方程为（　　） A．100×80 - 100x - 80x = 7644 B．(100-x)(80-x) = 7644 C．100×80 - 100x - 80x - x² = 7644 D．(100+x)(80+x) = 7644 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期末）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分率相同，则平均每月的增长率为（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 6．（2024-2025九年级上·山东济南·期中）一个两位数，十位数字比个位数字大3，且十位数字与个位数字的积等于这个两位数的三分之一，设个位数字为x，则可列方程为（　　） A．x(x+3) = (10x + x+3) B．x(x+3) = (10(x+3) + x) C．x(x-3) = (10x + x-3) D．x(x-3) = (10(x-3) + x) （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·四川成都·月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是73，则每个支干长出________个小分支。 8．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm²的矩形，设矩形的长为x cm，则可列方程为_______，解得长为________cm。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）某厂今年一月份的产值为100万元，第一季度总产值为331万元，设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为________。 10．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·月考）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，设这次会议到会的人数为x人，则可列方程为________，解得x = ________。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期末）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。设销售单价为每千克x元，月销售利润为8000元，则可列方程为________。 （三）解答题 12．（2024-2025九年级上·河南郑州·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 13．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12cm，BC = 6cm，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动。若P、Q同时出发，问： （1）几秒后，△PCQ的面积等于4cm²？ （2）几秒后，PQ的长度等于4 cm？ 14．（2024-2025九年级上·湖南长沙·月考）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%。商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？ 15．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m。 （1）鸡场的面积能达到180m²吗？能达到200m²吗？ （2）鸡场的面积能达到250m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．100(1-x)² = 81 B．100(1-2x) = 81 C．81(1+x)² = 100 D．100(1-x²) = 81 2．（2024·上海·中考）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A．x(x-1) = 2070 B．½x(x-1) = 2070 C．x(x+1) = 2070 D．½x(x+1) = 2070 3．（2024·广东·中考）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（　　） A．(44-x)(20+5x) = 1600 B．(44+x)(20-5x) = 1600 C．(44-x)(20-5x) = 1600 D．(44+x)(20+5x) = 1600 4．（2024·江苏苏州·中考）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5cm、容积是500cm³的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽。设这块铁皮的宽为x cm，则可列方程为（　　） A．5(x-5)(2x-5) = 500 B．5(x-10)(2x-10) = 500 C．5×2x × x = 500 D．(x-5)(2x-5) = 500 5．（2024·浙江杭州·中考）某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，6月份的生产成本是361万元。假设该公司5、6、7月每个月生产成本的下降率都相同。 （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测7月份该公司的生产成本。 6．（2024·山东济南·中考）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 8cm，BC = 6cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动。若P、Q同时出发，当△PCQ的面积等于△ABC面积的三分之一时，求运动的时间。 7．（2024·湖北武汉·中考）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；每件的售价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。设每件商品的售价为x元，每天的销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （注：本题用一元二次方程求解，设利润为2250元时的售价） 8．（2024·四川成都·中考）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x m，面积为S m²。 （1）求S与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为45m²的花圃，AB的长是多少米？ 9．（2024·陕西·中考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？ 10．（2024·重庆·中考）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.3实际问题与 一元二次方程 本节知识点总结 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： ① 审：审题，弄清已知量和未知量； ② 设：设未知数； ③ 列：根据等量关系列方程； ④ 解：解方程； ⑤ 验：检验根是否符合实际意义； ⑥ 答：写出答案。 2. 几何图形问题： ① 面积问题：利用面积公式列方程； ② 周长问题：利用周长公式列方程； ③ 勾股定理问题：直角三角形三边关系。 3. 传播问题： ① 传染病问题：每轮传染中平均一个人传染x个人，两轮后共有1 + x + x(1+x)人患病； ② 分支问题：主干长出若干支干，每个支干又长出同样数目的小分支。 4. 增长率与下降率问题： ① 增长率：a(1+x)² = b（a为原量，b为两次增长后的量）； ② 下降率：a(1-x)² = b（a为原量，b为两次下降后的量）。 5. 比赛场次与握手问题： ① 单循环赛（每两队赛一场）：n(n-1)/2 场； ② 双循环赛（主客场）：n(n-1) 场； ③ 握手问题：n(n-1)/2 次； ④ 多边形对角线：n(n-3)/2 条。 6. 数字问题： ① 连续整数：设中间数为x，则三个数为x-1, x, x+1； ② 两位数：十位数字为a，个位数字为b，则两位数为10a + b。 7. 利润问题： ① 利润 = 售价 - 进价； ② 总利润 = 单件利润 × 销售量。 8. 动点问题： 设运动时间为t，用含t的代数式表示各线段长度，再根据面积或勾股定理列方程。 9. 重要提醒：解出方程的根后，必须检验是否符合实际意义，舍去不合题意的根。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 几何图形面积问题 1．（2024秋·广东广州·单元测）一个矩形的长比宽多2cm，面积为15cm²，求这个矩形的长和宽。若设宽为x cm，则可列方程为（　　） A．x(x+2) = 15 B．x(x-2) = 15 C．2x(x+2) = 15 D．2x(x-2) = 15 【答案】A 【分析】设宽为x，则长为x+2，根据矩形面积公式列方程。 【详解】解：设矩形的宽为x cm，则长为(x+2) cm， 根据题意，得x(x+2) = 15。 故选：A。 2．（2024秋·山东济南·期中）直角三角形的两条直角边长相差7cm，斜边长为13cm，则较短的直角边长为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】A 【分析】设较短直角边为x，则较长直角边为x+7，利用勾股定理列方程。 【详解】解：设较短的直角边长为x cm，则较长的直角边长为(x+7) cm， 根据勾股定理，得x² + (x+7)² = 13²， x² + x² + 14x + 49 = 169， 2x² + 14x - 120 = 0， x² + 7x - 60 = 0， (x+12)(x-5) = 0， 解得x₁ = 5，x₂ = -12（舍去）。 ∴较短的直角边长为5cm。 故选：A。 3．（2024秋·浙江杭州·期末）用一根长为24cm的铁丝围成一个面积为32cm²的矩形，求这个矩形的长和宽。若设长为x cm，则可列方程为____x(12-x) = 32____。 【答案】x(12-x) = 32 【分析】周长为24cm，则长+宽=12cm，宽为12-x，根据面积公式列方程。 【详解】解：设矩形的长为x cm， ∵周长为24cm，∴宽为(12-x) cm， 根据题意，得x(12-x) = 32。 4.（2024秋·江苏苏州·月考）如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为300m²，设道路的宽为x m，则可列方程为____(22-x)(17-x) = 300____。 【答案】(22-x)(17-x) = 300 【分析】将道路平移到边缘，剩余部分形成一个新的矩形，长为22-x，宽为17-x。 【详解】解：设道路的宽为x m， 将两条道路平移到矩形边缘， 剩余部分形成一个长为(22-x) m、宽为(17-x) m的矩形， 根据题意，得(22-x)(17-x) = 300。 题型02 传播问题 5．（2024秋·北京海淀·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（　　） A．1 + x + x(1+x) = 121 B．1 + x + x² = 121 C．x + x(1+x) = 121 D．1 + 2x = 121 【答案】A 【分析】第一轮传染后有1+x人患病，第二轮传染后有1+x+x(1+x)人患病。 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 第一轮传染后，共有(1+x)人患病； 第二轮传染中，这(1+x)人每人又传染了x个人， 第二轮新增x(1+x)人患病， 两轮后共有1 + x + x(1+x)人患病， ∴1 + x + x(1+x) = 121。 故选：A。 6．（2024秋·上海浦东·单元测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（　　） A．1 + x + x² = 91 B．x + x² = 91 C．1 + 2x = 91 D．x(1+x) = 91 【答案】A 【分析】主干1个，支干x个，小分支x²个，总数为1+x+x²。 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 则主干有1个，支干有x个，小分支有x·x = x²个， 总数为1 + x + x²， ∴1 + x + x² = 91。 故选：A。 7．（2024秋·湖北武汉·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了____7____个人。 【答案】7 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据两轮后共有64人患病列方程求解。 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得1 + x + x(1+x) = 64， (1+x)² = 64， 1+x = ±8， 解得x₁ = 7，x₂ = -9（舍去）。 ∴每轮传染中平均一个人传染了7个人。 题型03 增长率与下降率问题 8．（2024秋·四川成都·期中）某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　） A．100(1-x)² = 81 B．100(1+x)² = 81 C．100(1-2x) = 81 D．81(1+x)² = 100 【答案】A 【分析】连续两次降价，每次降价的百分率为x，第一次降价后为100(1-x)，第二次降价后为100(1-x)²。 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 第一次降价后的价格为100(1-x)元， 第二次降价后的价格为100(1-x)(1-x) = 100(1-x)²元， ∴100(1-x)² = 81。 故选：A。 9．（2024秋·陕西西安·期末）某工厂今年的产值为100万元，计划后年产值达到144万元，设每年产值的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．100(1+x)² = 144 B．100(1-x)² = 144 C．100 + 100(1+x) = 144 D．100(1+2x) = 144 【答案】A 【分析】今年到后年经过两年，每年增长率为x，则后年产值为100(1+x)²。 【详解】解：设每年产值的平均增长率为x， 今年产值为100万元， 明年产值为100(1+x)万元， 后年产值为100(1+x)(1+x) = 100(1+x)²万元， ∴100(1+x)² = 144。 故选：A。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得___168(1-x)² = 128_____。 【答案】168(1-x)² = 128 【分析】连续两次降价，每次降价的百分率为x，两次降价后价格为168(1-x)²。 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 第一次降价后的价格为168(1-x)元， 第二次降价后的价格为168(1-x)²元， ∴168(1-x)² = 128。 11．（2024秋·辽宁沈阳·期中）某市2022年投入教育经费2500万元，预计2024年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则可列方程为___2500(1+x)² = 3600_____。 【答案】2500(1+x)² = 3600 【分析】2022年到2024年经过两年，每年增长率为x，则2024年经费为2500(1+x)²。 【详解】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为x， 2022年投入2500万元， 2023年投入2500(1+x)万元， 2024年投入2500(1+x)²万元， ∴2500(1+x)² = 3600。 题型04 比赛场次与握手问题 12．（2024秋·河南郑州·单元测）参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，设共有x个队参加比赛，则可列方程为（　　） A．x(x-1) = 45 B．½x(x-1) = 45 C．x(x+1) = 45 D．½x(x+1) = 45 【答案】B 【分析】单循环赛，每两队赛一场，共赛x(x-1)/2场。 【详解】解：设共有x个队参加比赛， 每个队都要与其他(x-1)个队各赛一场， 但每场比赛被计算了两次， ∴比赛总场数为½x(x-1)场， ∴½x(x-1) = 45。 故选：B。 13．（2024秋·河北石家庄·期中）一次同学聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加聚会，则可列方程为（　　） A．x(x-1) = 10 B．½x(x-1) = 10 C．x(x+1) = 10 D．½x(x+1) = 10 【答案】B 【分析】握手问题与单循环赛类似，每两人握一次手，共握手x(x-1)/2次。 【详解】解：设有x人参加聚会， 每个人都要与其他(x-1)个人握手， 但每次握手被计算了两次， ∴握手总次数为½x(x-1)次， ∴½x(x-1) = 10。 故选：B。 14．（2024秋·湖南长沙·月考）n边形的对角线共有20条，求n的值。可列方程为_____n(n-3) = 20___。 【答案】n(n-3) = 20 【分析】n边形每个顶点有(n-3)条对角线，n个顶点共有n(n-3)条，但每条对角线被计算了两次。 【详解】解：n边形共有n个顶点， 从每个顶点出发，可以引(n-3)条对角线（不能与自身及相邻两个顶点连线）， n个顶点共可引n(n-3)条对角线， 但每条对角线被两个顶点各计算了一次， ∴n边形对角线总数为n(n-3)条， ∴½n(n-3) = 20。 题型05 数字问题 15．（2024秋·福建福州·期末）两个连续偶数的积是168，求这两个数。设较小的偶数为x，则可列方程为（　　） A．x(x+1) = 168 B．x(x+2) = 168 C．x(x-2) = 168 D．2x(2x+2) = 168 【答案】B 【分析】两个连续偶数相差2，较小的为x，则较大的为x+2。 【详解】解：设较小的偶数为x，则较大的偶数为(x+2)， 根据题意，得x(x+2) = 168。 故选：B。 16．（2024秋·江西南昌·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积是736，求原两位数。设原两位数的十位数字为x，则可列方程为（　　） A．(10x + 5-x)(10(5-x) + x) = 736 B．(x + 5-x)(5-x + x) = 736 C．(10x + 5)(10(5-x) + x) = 736 D．(10x + 5-x)(5-x + x) = 736 【答案】A 【分析】原两位数：十位x，个位5-x，数值为10x+(5-x)；新两位数：十位5-x，个位x，数值为10(5-x)+x。 【详解】解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5-x)， 原两位数为10x + (5-x)， 对调后，新两位数的十位数字为(5-x)，个位数字为x， 新两位数为10(5-x) + x， 根据题意，得(10x + 5-x)(10(5-x) + x) = 736。 故选：A。 17．（2024秋·安徽合肥·月考）三个连续整数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，求这三个数。设中间的数为x，则可列方程为___(x-1)² + x² = (x+1)²_____。 【答案】(x-1)² + x² = (x+1)² 【分析】三个连续整数为x-1, x, x+1，根据题意列方程。 【详解】解：设中间的数为x，则三个连续整数为(x-1), x, (x+1)， 根据题意，得(x-1)² + x² = (x+1)²。 题型06 利润问题 18．（2024秋·山东青岛·期末）某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价。设成本价为x元，则可列方程为（　　） A．x = 150 × 25% B．25%x = 150 C．150 - x = 25%x D．150 - x = 25% 【答案】C 【分析】利润 = 售价 - 成本，利润率 = 利润/成本，所以利润 = 成本×利润率。 【详解】解：设成本价为x元， 利润为(150 - x)元， 又利润率为25%，∴利润为25%x元， ∴150 - x = 25%x。 故选：C。 19．（2024秋·广东深圳·期中）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，设每个台灯涨价x元，则可列方程为（　　） A．(40+x-30)(600-10x) = 10000 B．(40-30+x)(600+10x) = 10000 C．(40+x)(600-10x) = 10000 D．(40-30)(600-10x) = 10000 【答案】A 【分析】单件利润 = 售价 - 进价 = (40+x-30)元，销售量 = (600-10x)个，总利润 = 单件利润 × 销售量。 【详解】解：设每个台灯涨价x元， 则每个台灯的售价为(40+x)元， 每个台灯的利润为(40+x-30)元， 销售量为(600-10x)个， 总利润 = 单件利润 × 销售量， ∴(40+x-30)(600-10x) = 10000。 故选：A。 20．（2024秋·江苏无锡·月考）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，设每千克应涨价x元，则可列方程为___(10+x)(500-20x) = 6000_____。 【答案】(10+x)(500-20x) = 6000 【分析】每千克利润为(10+x)元，销售量为(500-20x)千克，总利润 = 每千克利润 × 销售量。 【详解】解：设每千克应涨价x元， 则每千克盈利(10+x)元， 每天可售出(500-20x)千克， 总利润 = 每千克利润 × 销售量， ∴(10+x)(500-20x) = 6000。 题型07 动点问题 21．（2024秋·浙江宁波·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动。若P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当△PCQ的面积为8cm²时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．1或2 【答案】A 【分析】设运动时间为t秒，PC = 6-t，CQ = 2t，根据三角形面积公式列方程。 【详解】解：设运动时间为t秒， 则AP = t cm，PC = (6-t) cm， CQ = 2t cm。 ∵∠C = 90°， ∴S△PCQ = ½ × PC × CQ = ½(6-t) × 2t = t(6-t)， 根据题意，得t(6-t) = 8， 6t - t² = 8， t² - 6t + 8 = 0， (t-2)(t-4) = 0， 解得t₁ = 2，t₂ = 4。 当t = 4时，CQ = 2×4 = 8cm，即Q与B重合，符合题意； 当t = 2时，CQ = 4cm < 8cm，符合题意。 ∴t的值为2或4。 故选：C。 22.（2024秋·山东烟台·期中）如图，在矩形ABCD中，AB = 6cm，BC = 12cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。若P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当△PBQ的面积等于8cm²时，t的值为___2或4_____。 【答案】2或4 【分析】PB = 6-t，BQ = 2t，根据三角形面积公式列方程。 【详解】解：设运动时间为t秒， 则AP = t cm，PB = (6-t) cm， BQ = 2t cm。 ∵∠B = 90°， ∴S△PBQ = × PB × BQ = (6-t) × 2t = t(6-t)， 根据题意，得t(6-t) = 8， t² - 6t + 8 = 0， (t-2)(t-4) = 0， 解得t₁ = 2，t₂ = 4。 当t = 2时，PB = 4cm，BQ = 4cm，符合题意； 当t = 4时，PB = 2cm，BQ = 8cm < 12cm，符合题意。 ∴t的值为2或4。 23．（2024秋·广东佛山·月考）如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。若P、Q同时出发，___或2_____秒后，PQ的长度等于4 cm。 【答案】或2 【分析】设运动时间为t秒，PB = 6-t，BQ = 2t，利用勾股定理列方程。 【详解】解：设t秒后PQ的长度等于4 cm， 则AP = t cm，PB = (6-t) cm， BQ = 2t cm。 ∵∠B = 90°， ∴PQ² = PB² + BQ²， (4)² = (6-t)² + (2t)²， 32 = 36 - 12t + t² + 4t²， 5t² - 12t + 4 = 0， (5t-2)(t-2) = 0， 解得t₁ = 2/5，t₂ = 2。 当t = 时，BQ = cm < 8cm，符合题意； 当t = 2时，BQ = 4cm < 8cm，符合题意。 ∴秒或2秒后，PQ的长度等于4 cm。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）某商品原价为200元，连续两次降价后售价为128元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．200(1-x)² = 128 B．200(1-2x) = 128 C．128(1+x)² = 200 D．200(1-x²) = 128 【答案】A 【分析】连续两次降价，每次降价百分率为x，两次降价后价格为200(1-x)²。 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 第一次降价后的价格为200(1-x)元， 第二次降价后的价格为200(1-x)(1-x) = 200(1-x)²元， ∴200(1-x)² = 128。 故选：A。 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，两轮后共有(1+x)²人患病。 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得1 + x + x(1+x) = 81， (1+x)² = 81， 1+x = ±9， 解得x₁ = 8，x₂ = -10（舍去）。 ∴每轮传染中平均一个人传染了8个人。 故选：B。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·期中）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，设共有x家公司参加商品交易会，则可列方程为（　　） A．x(x-1) = 45 B．x(x-1) = 45 C．x(x+1) = 45 D．x(x+1) = 45 【答案】B 【分析】每两家公司签订一份合同，与单循环赛类似，共签订x(x-1)/2份合同。 【详解】解：设共有x家公司参加商品交易会， 每家公司都要与其他(x-1)家公司签订合同， 但每份合同被两家公司各计算了一次， ∴合同总数为x(x-1)份， ∴x(x-1) = 45。 故选：B。 4．（2024-2025九年级上·江苏南京·月考）如图，在长为100m、宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m²，设道路的宽为x m，则可列方程为（　　） A．100×80 - 100x - 80x = 7644 B．(100-x)(80-x) = 7644 C．100×80 - 100x - 80x - x² = 7644 D．(100+x)(80+x) = 7644 【答案】B 【分析】将道路平移到边缘，剩余绿化部分形成一个新的矩形，长为100-x，宽为80-x。 【详解】解：设道路的宽为x m， 将两条道路平移到矩形场地的边缘， 剩余绿化部分形成一个长为(100-x) m、宽为(80-x) m的矩形， 根据题意，得(100-x)(80-x) = 7644。 故选：B。 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期末）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分率相同，则平均每月的增长率为（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 【答案】C 【分析】设平均每月的增长率为x，一月份到三月份经过两个月，三月份营业额为200(1+x)²。 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意，得200(1+x)² = 288， (1+x)² = 1.44， 1+x = ±1.2， 解得x₁ = 0.2 = 20%，x₂ = -2.2（舍去）。 ∴平均每月的增长率为20%。 故选：C。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·期中）一个两位数，十位数字比个位数字大3，且十位数字与个位数字的积等于这个两位数的三分之一，设个位数字为x，则可列方程为（　　） A．x(x+3) = (10x + x+3) B．x(x+3) = (10(x+3) + x) C．x(x-3) = (10x + x-3) D．x(x-3) = (10(x-3) + x) 【答案】B 【分析】个位数字为x，十位数字为x+3，两位数为10(x+3)+x。 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为(x+3)， 这个两位数为10(x+3) + x， 十位数字与个位数字的积为x(x+3)， 根据题意，得x(x+3) = (10(x+3) + x)。 故选：B。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·四川成都·月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是73，则每个支干长出____8____个小分支。 【答案】8 【分析】设每个支干长出x个小分支，总数为1+x+x²=73。 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 则主干有1个，支干有x个，小分支有x²个， 根据题意，得1 + x + x² = 73， x² + x - 72 = 0， (x+9)(x-8) = 0， 解得x₁ = 8，x₂ = -9（舍去）。 ∴每个支干长出8个小分支。 8．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm²的矩形，设矩形的长为x cm，则可列方程为___x(20-x) = 64_____，解得长为_____16___cm。 【答案】x(20-x) = 64；16 【分析】周长为40cm，则长+宽=20cm，宽为20-x，根据面积公式列方程。 【详解】解：设矩形的长为x cm， ∵周长为40cm，∴宽为(20-x) cm， 根据题意，得x(20-x) = 64， 20x - x² = 64， x² - 20x + 64 = 0， (x-4)(x-16) = 0， 解得x₁ = 16，x₂ = 4。 ∵长 > 宽，∴长为16cm，宽为4cm。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）某厂今年一月份的产值为100万元，第一季度总产值为331万元，设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为__100 + 100(1+x) + 100(1+x)² = 331______。 【答案】100 + 100(1+x) + 100(1+x)² = 331 【分析】第一季度包括一月、二月、三月，一月100万，二月100(1+x)万，三月100(1+x)²万。 【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率为x， 一月份产值为100万元， 二月份产值为100(1+x)万元， 三月份产值为100(1+x)²万元， 第一季度总产值为三个月产值之和， ∴100 + 100(1+x) + 100(1+x)² = 331。 10．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·月考）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，设这次会议到会的人数为x人，则可列方程为____x(x-1) = 66____，解得x = ___12_____。 【答案】x(x-1) = 66；12 【分析】握手问题，每两人握一次手，共握手x(x-1)/2次。 【详解】解：设这次会议到会的人数为x人， 根据题意，得x(x-1) = 66， x(x-1) = 132， x² - x - 132 = 0， (x-12)(x+11) = 0， 解得x₁ = 12，x₂ = -11（舍去）。 ∴这次会议到会的人数为12人。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期末）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。设销售单价为每千克x元，月销售利润为8000元，则可列方程为___(x-40)[500-10(x-50)] = 8000_____。 【答案】(x-40)[500-10(x-50)] = 8000 【分析】单件利润为(x-40)元，销售量为[500-10(x-50)]kg，总利润 = 单件利润 × 销售量。 【详解】解：设销售单价为每千克x元， 则每千克利润为(x-40)元， 销售单价从50元涨到x元，涨了(x-50)元， 月销售量减少10(x-50) kg， ∴月销售量为[500-10(x-50)] kg， 月销售利润 = 每千克利润 × 月销售量， ∴(x-40)[500-10(x-50)] = 8000。 （三）解答题 12．（2024-2025九年级上·河南郑州·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价10元或20元 【分析】设每件衬衫降价x元，单件利润为(40-x)元，销售量为(20+2x)件，根据总利润列方程。 【详解】解：设每件衬衫应降价x元， 则每件盈利(40-x)元， 每天可售出(20+2x)件。 根据题意，得(40-x)(20+2x) = 1200， 800 + 80x - 20x - 2x² = 1200， -2x² + 60x - 400 = 0， x² - 30x + 200 = 0， (x-10)(x-20) = 0， 解得x₁ = 10，x₂ = 20。 检验：当x = 10时，每件盈利30元，每天售出40件，30×40 = 1200元，符合题意； 当x = 20时，每件盈利20元，每天售出60件，20×60 = 1200元，符合题意。 答：每件衬衫应降价10元或20元。 13．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12cm，BC = 6cm，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动。若P、Q同时出发，问： （1）几秒后，△PCQ的面积等于4cm²？ （2）几秒后，PQ的长度等于4 cm？ 【答案】（1）1秒；（2）2秒 【分析】设运动时间为t秒，PC = t，CQ = 12-2t，根据面积和勾股定理列方程。 【详解】解：设t秒后满足条件， 则PC = t cm，CQ = (12-2t) cm。 （1）根据题意，得 × PC × CQ = 4， × t × (12-2t) = 4， t(12-2t) = 8， 12t - 2t² = 8， t² - 6t + 4 = 0， 解得t₁ = 3 + ，t₂ = 3 - 。 ∵CQ = 12-2t > 0，∴t < 6， 又PC = t > 0，∴t > 0， ∴t = 3 + < 6，符合题意； t = 3 - > 0，符合题意。 （2）根据勾股定理，得PQ² = PC² + CQ²， (4√2)² = t² + (12-2t)²， 32 = t² + 144 - 48t + 4t²， 5t² - 48t + 112 = 0， (5t-28)(t-4) = 0， 解得t₁ = 4，t₂ = = 5.6。 当t = 4时，CQ = 12-8 = 4cm > 0，符合题意； 当t = 5.6时，CQ = 12-11.2 = 0.8cm > 0，符合题意。 答：（1）(3±)秒后，△PCQ的面积等于4cm²； （2）4秒或5.6秒后，PQ的长度等于4 cm。 14．（2024-2025九年级上·湖南长沙·月考）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%。商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？ 【答案】需要卖出100件商品，每件商品应售价25元 【分析】设每件商品售价为a元，单件利润为(a-21)元，销售量为(350-10a)件，根据总利润列方程，注意a ≤ 21×(1+20%) = 25.2。 【详解】解：设每件商品售价为a元， 则每件利润为(a-21)元， 可卖出(350-10a)件。 根据题意，得(a-21)(350-10a) = 400， 350a - 10a² - 7350 + 210a = 400， -10a² + 560a - 7750 = 0， a² - 56a + 775 = 0， (a-25)(a-31) = 0， 解得a₁ = 25，a₂ = 31。 ∵物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%， ∴a ≤ 21×(1+20%) = 25.2， ∴a = 31不符合题意，舍去。 ∴a = 25， 此时销售量为350 - 10×25 = 100件。 检验：(25-21)×100 = 4×100 = 400元，符合题意。 答：需要卖出100件商品，每件商品应售价25元。 15．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m。 （1）鸡场的面积能达到180m²吗？能达到200m²吗？ （2）鸡场的面积能达到250m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。 【答案】（1）能达到180m²，能达到200m²；（2）不能达到250m² 【分析】设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(40-2x) m，根据面积列方程，注意40-2x ≤ 25。 【详解】解：设垂直于墙的边长为x m， 则平行于墙的边长为(40-2x) m， 鸡场面积为x(40-2x) m²。 由题意，40-2x ≤ 25，解得x ≥ 7.5， 又x > 0，40-2x > 0，∴0 < x < 20， ∴7.5 ≤ x < 20。 （1）当面积为180m²时： x(40-2x) = 180， 40x - 2x² = 180， x² - 20x + 90 = 0， 解得x₁ = 10 + ≥ 7.5，x₂ = 10 - ≤7.5 （舍去） ∴鸡场的面积能达到180m²。 当面积为200m²时： x(40-2x) = 200， 40x - 2x² = 200， x² - 20x + 100 = 0， (x-10)² = 0， 解得x₁ = x₂ = 10。 ∵10 ≥ 7.5，符合题意， ∴鸡场的面积能达到200m²。 （2）当面积为250m²时： x(40-2x) = 250， 40x - 2x² = 250， x² - 20x + 125 = 0， Δ = (-20)² - 4×1×125 = 400 - 500 = -100 < 0， ∴方程无实数根， ∴鸡场的面积不能达到250m²。 答：（1）鸡场的面积能达到180m²，也能达到200m²； （2）鸡场的面积不能达到250m²。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．100(1-x)² = 81 B．100(1-2x) = 81 C．81(1+x)² = 100 D．100(1-x²) = 81 【答案】A 【分析】连续两次降价，每次降价百分率为x，两次降价后价格为100(1-x)²。 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 第一次降价后的价格为100(1-x)元， 第二次降价后的价格为100(1-x)²元， ∴100(1-x)² = 81。 故选：A。 2．（2024·上海·中考）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A．x(x-1) = 2070 B．½x(x-1) = 2070 C．x(x+1) = 2070 D．½x(x+1) = 2070 【答案】A 【分析】每个同学向其他同学各送一张相片，即每人送出(x-1)张，全班共送x(x-1)张。注意这是互送，不是单循环。 【详解】解：设全班有x名学生， 每个同学都要向其他(x-1)名同学各送一张相片， 即每人送出(x-1)张相片， ∴全班共送x(x-1)张相片， ∴x(x-1) = 2070。 故选：A。 3．（2024·广东·中考）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（　　） A．(44-x)(20+5x) = 1600 B．(44+x)(20-5x) = 1600 C．(44-x)(20-5x) = 1600 D．(44+x)(20+5x) = 1600 【答案】A 【分析】每件降价x元，单件利润为(44-x)元，销售量为(20+5x)件，总利润 = 单件利润 × 销售量。 【详解】解：设每件降价x元， 则每件盈利(44-x)元， 每天可销售(20+5x)件， 每天盈利 = 每件盈利 × 销售量， ∴(44-x)(20+5x) = 1600。 故选：A。 4．（2024·江苏苏州·中考）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5cm、容积是500cm³的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽。设这块铁皮的宽为x cm，则可列方程为（　　） A．5(x-5)(2x-5) = 500 B．5(x-10)(2x-10) = 500 C．5×2x × x = 500 D．(x-5)(2x-5) = 500 【答案】B 【分析】高为5cm，说明截去的正方形边长为5cm，容器底面长为2x-10，宽为x-10，容积 = 底面积 × 高。 【详解】解：设这块铁皮的宽为x cm，则长为2x cm， 四角各截去一个边长为5cm的正方形， 制成的长方体容器的高为5cm， 底面长为(2x-10) cm，宽为(x-10) cm， 容积 = 底面积 × 高， ∴5(x-10)(2x-10) = 500。 故选：B。 5．（2024·浙江杭州·中考）某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，6月份的生产成本是361万元。假设该公司5、6、7月每个月生产成本的下降率都相同。 （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测7月份该公司的生产成本。 【答案】（1）5%；（2）342.95万元 【分析】设每个月生产成本的下降率为x，4月到6月经过两个月，6月成本为400(1-x)²万元。 【详解】（1）解：设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意，得400(1-x)² = 361， (1-x)² = 0.9025， 1-x = ±0.95， 解得x₁ = 0.05 = 5%，x₂ = 1.95（舍去）。 检验：400×(1-5%)² = 400×0.9025 = 361万元，符合题意。 答：每个月生产成本的下降率为5%。 （2）解：7月份的生产成本为： 361×(1-5%) = 361×0.95 = 342.95（万元）。 答：预测7月份该公司的生产成本为342.95万元。 6．（2024·山东济南·中考）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 8cm，BC = 6cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动。若P、Q同时出发，当△PCQ的面积等于△ABC面积的三分之一时，求运动的时间。 【答案】2秒 【分析】设运动时间为t秒，PC = 8-t，CQ = 2t，根据面积关系列方程。 【详解】解：设运动时间为t秒， 则AP = t cm，PC = (8-t) cm， CQ = 2t cm。 S△ABC = × AC × BC = × 8 × 6 = 24 cm²， S△PCQ = × PC × CQ = (8-t) × 2t = t(8-t) cm²。 根据题意，得t(8-t) = × 24， t(8-t) = 8， 8t - t² = 8， t² - 8t + 8 = 0， 解得t₁ = 4 + 2，t₂ = 4 - 2。 ∵CQ = 2t ≤ BC = 6，∴t ≤ 3， 又PC = 8-t > 0，∴t < 8， ∴0 < t ≤ 3。 t₁ = 4 + 2 > 3，舍去； t₂ = 4 - 2 ，符合题意。 答：运动的时间为(4-2√2)秒。 7．（2024·湖北武汉·中考）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；每件的售价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。设每件商品的售价为x元，每天的销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （注：本题用一元二次方程求解，设利润为2250元时的售价） 【答案】（1）y = -10x² + 1300x - 40000；（2）售价定为65元时，最大利润为2250元 【分析】单件利润为(x-50)元，销售量为[200-10(x-60)]件，总利润 = 单件利润 × 销售量。 【详解】（1）解：设每件商品的售价为x元， 则每件利润为(x-50)元， 每天的销售量为[200-10(x-60)] = (800-10x)件， 每天的销售利润y = (x-50)(800-10x)， y = 800x - 10x² - 40000 + 500x， y = -10x² + 1300x - 40000。 （2）解：y = -10x² + 1300x - 40000， y = -10(x² - 130x) - 40000， y = -10(x-65)² + 42250 - 40000， y = -10(x-65)² + 2250。 ∵-10 < 0， ∴当x = 65时，y有最大值，最大值为2250。 答：（1）y与x的函数关系式为y = -10x² + 1300x - 40000； （2）当每件商品的售价定为65元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元。 8．（2024·四川成都·中考）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x m，面积为S m²。 （1）求S与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为45m²的花圃，AB的长是多少米？ 【答案】（1）S = -3x² + 24x；（2）AB的长是5米 【分析】宽AB为x m，则长BC为(24-3x) m，面积S = x(24-3x)，注意24-3x ≤ 10。 【详解】（1）解：设花圃的宽AB为x m， 则长BC为(24-3x) m， 花圃面积S = AB × BC = x(24-3x)， 即S = -3x² + 24x。 由题意，24-3x ≤ 10，解得x ≥ ， 又24-3x > 0，∴x < 8， ∴14/3 ≤ x < 8。 （2）解：当S = 45时， -3x² + 24x = 45， 3x² - 24x + 45 = 0， x² - 8x + 15 = 0， (x-3)(x-5) = 0， 解得x₁ = 3，x₂ = 5。 ∵x ≥ ， ∴x = 3不符合题意，舍去， ∴x = 5。 检验：当x = 5时，BC = 24-15 = 9m ≤ 10m，符合题意。 答：AB的长是5米。 9．（2024·陕西·中考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？ 【答案】（1）10个人；（2）1331人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，两轮后共有(1+x)²人患病；三轮后共有(1+x)³人患病。 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得1 + x + x(1+x) = 121， (1+x)² = 121， 1+x = ±11， 解得x₁ = 10，x₂ = -12（舍去）。 检验：(1+10)² = 121，符合题意。 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。 （2）解：三轮传染后患病人数为： (1+10)³ = 11³ = 1331（人）。 答：三轮传染后有1331人患流感。 10．（2024·重庆·中考）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？ 【答案】衬衫的单价应降10元或20元 【分析】设衬衫的单价应降x元，单件利润为(40-x)元，销售量为(20+2x)件，根据总利润列方程。 【详解】解：设衬衫的单价应降x元， 则每件盈利(40-x)元， 每天可售出(20+2x)件。 根据题意，得(40-x)(20+2x) = 1200， 800 + 80x - 20x - 2x² = 1200， -2x² + 60x - 400 = 0， x² - 30x + 200 = 0， (x-10)(x-20) = 0， 解得x₁ = 10，x₂ = 20。 检验：当x = 10时，每件盈利30元，每天售出40件，30×40 = 1200元，符合题意； 当x = 20时，每件盈利20元，每天售出60件，20×60 = 1200元，符合题意。 答：衬衫的单价应降10元或20元。 学科网（北京）股份有限公司 $