3.2 代数式的值-导学案 -2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦“代数式的值”，核心知识点包括概念理解、规范求值步骤、整体代入法及应用。通过复习代数式概念导入，以定义解析、步骤分解（代入、计算）及注意事项（代入准确性、取值合理性）为学习支架，衔接前后知识。 资料特色在于分类型典型例题（基础求值、整体思想、实际应用）与举一反三变式，注重规范步骤与易错点。通过公园面积计算、三角形摆放规律等问题，培养学生抽象能力、运算能力和模型意识，提升用数学思维解决实际问题的能力。

3.2 代数式的值-导学案 【学习目标】 1. 理解代数式的值的概念。 2. 会求代数式的值（规范步骤）。 3. 初步掌握整体代入法。 4. 会用公式列代数式并求值。 【知识梳理】 知识点一、代数式的值 代数式的值的定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。例如，对于代数式2x+3，当x=5时，把x=5代入2x+3，就得到2x5+3=10+3=13，这里的13就是当x=5时，代数式2x+3的值。 知识点二、求代数式的值的步骤 1.代入：用具体的数值代替代数式里的字母。要注意准确替换，不能代错。比如在代数式中，当=3,b=2时，就把换成3,b换成2。 2．计算：按照代数式中指定的运算进行计算。还是以为例，代入后变为3²-2，先算乘方3²=9，再算减法9-2-7。 注意事项： 1.代入的准确性： 当字母的值是负数或分数时，代入时要添上括号。例如，对于代数式x²，当x=-2时，应写成（-2)²，而不是﹣2²,(-2)²=4,-2²=-4，结果不同。 2．取值的合理性：字母的取值要使代数式有意义。比如在代数式中，x不能取1，因为当x=1时，分母x-1=0，分式无意义。 知识点三、代数式的值的应用 1. 解决实际问题：在很多实际问题中，我们可以先列出代数式，再通过代入具体数值求出结果。例如，某商品的单价为m元，购买n件该商品的总价为mn元。若m=5,n=10，则总价为5x10=50元。 2．规律探究：通过求不同取值下代数式的值，我们可以探究一些规律。比如对于代数式n²+n+41，当n=1时，值为1²+1+41=43;当n=2时，值为2²+2+41=47等，观察这些值的特点来探究规律。 【典型例题】 类型一、 1. 若，则的值为（　　） A． B．3 C． D．2 举一反三： 【变式1】已知代数式，当时值为3，那么当时值为（   ） A．3 B． C．2 D． 类型二、整体思想的应用 1. 若，则的值是 ． 举一反三： 【变式1】若x与y互为相反数，m与n互为倒数，，求的值． 类型三、代数式的值的应用 1. 如图，是某公园的一块长为米，宽为米的长方形空地，管理人员计划在该空地的正中间修建一个半径为米的圆形花坛，两个角处各修建一个半径为米的四分之一圆的草坪，另外两个角处各修建一个边长为5米的等腰直角三角形的草坪，其余（阴影）部分作为人们活动的区域． (1)用代数式表示出阴影部分的面积； (2)当，求阴影部分的面积．（取3） 举一反三： 【变式1】按如下规律摆放三角形： （1）图④中分别有　 　个三角形？ （2）按上述规律排列下去，第n个图形中有　 　个三角形？ （3）按上述规律排列下去，第2026个图形中有　 　个三角形？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 代数式的值-导学案 【学习目标】 1. 理解代数式的值的概念。 2. 会求代数式的值（规范步骤）。 3. 初步掌握整体代入法。 4. 会用公式列代数式并求值。 【知识梳理】 知识点一、代数式的值 代数式的值的定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。例如，对于代数式2x+3，当x=5时，把x=5代入2x+3，就得到2x5+3=10+3=13，这里的13就是当x=5时，代数式2x+3的值。 知识点二、求代数式的值的步骤 1.代入：用具体的数值代替代数式里的字母。要注意准确替换，不能代错。比如在代数式中，当=3,b=2时，就把换成3,b换成2。 2．计算：按照代数式中指定的运算进行计算。还是以为例，代入后变为3²-2，先算乘方3²=9，再算减法9-2-7。 注意事项： 1.代入的准确性： 当字母的值是负数或分数时，代入时要添上括号。例如，对于代数式x²，当x=-2时，应写成（-2)²，而不是﹣2²,(-2)²=4,-2²=-4，结果不同。 2．取值的合理性：字母的取值要使代数式有意义。比如在代数式中，x不能取1，因为当x=1时，分母x-1=0，分式无意义。 知识点三、代数式的值的应用 1. 解决实际问题：在很多实际问题中，我们可以先列出代数式，再通过代入具体数值求出结果。例如，某商品的单价为m元，购买n件该商品的总价为mn元。若m=5,n=10，则总价为5x10=50元。 2．规律探究：通过求不同取值下代数式的值，我们可以探究一些规律。比如对于代数式n²+n+41，当n=1时，值为1²+1+41=43;当n=2时，值为2²+2+41=47等，观察这些值的特点来探究规律。 【典型例题】 类型一、 1. 若，则的值为（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性． 先利用绝对值的非负性求出x、y的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 举一反三： 【变式1】已知代数式，当时值为3，那么当时值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据当时代数式的值为3，得出，再将代入代数式中求值即可，熟练掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】当时代数式的值为3， ∴， ∴， 当时代数式的值为， 故选：A． 类型二、整体思想的应用 1. 若，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以原式； 故答案为：12 举一反三： 【变式1】若x与y互为相反数，m与n互为倒数，，求的值． 【答案】0 【分析】此题考查了代数式求值，求得是解本题的关键． 【详解】解：与y互为相反数，m与n互为倒数，， ，，， ∴． 类型三、代数式的值的应用 1. 如图，是某公园的一块长为米，宽为米的长方形空地，管理人员计划在该空地的正中间修建一个半径为米的圆形花坛，两个角处各修建一个半径为米的四分之一圆的草坪，另外两个角处各修建一个边长为5米的等腰直角三角形的草坪，其余（阴影）部分作为人们活动的区域． (1)用代数式表示出阴影部分的面积； (2)当，求阴影部分的面积．（取3） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值： （1）用长方形面积减去2个等腰直角三角形面积，再减去半径为r的半圆面积和半径为r的圆的面积即可得到答案； （2）把代入（1）所求式子中计算求解即可． 【详解】（1）解：平方米； （2）解：当时，， ∴阴影部分的面积为平方米． 举一反三： 【变式1】按如下规律摆放三角形： （1）图④中分别有　 　个三角形？ （2）按上述规律排列下去，第n个图形中有　 　个三角形？ （3）按上述规律排列下去，第2026个图形中有　 　个三角形？ 【答案】（1）14；（2）3n+2；（3）6065 【分析】（1）结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的3倍多2个三角形，由此可计算出答案； （2）根据（1）中的规律可直接写出答案； （3）把n＝2021直接代入（2）的式子中即可计算出结果． 【详解】解：（1）n＝1时，有5个，即3×1+2（个）； n＝2时，有8个，即3×2+2（个）； n＝3时，有11个，即3×3+2（个）； 则n＝4时，有3×4+2＝14（个）； 故答案为：14． （2）由题意知，第n个图形中有三角形（3n+2）个， 故答案为：3n+2； （3）当n＝2026时，3×2026+2＝6080， 故答案为：6080． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 代数式的值 分层作业 (含答案) 【基础练习】 一、选择题 1. 已知代数式 ，当  时，代数式的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若 ，则代数式  的值是（ ） A. 3 B. 5 C. -3 D. -5 3. 根据下列数值代入，计算正确的是（ ） A. 当  时， B. 当  时， C. 当  时， D. 当  时， 4. 若 ，则代数式  的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D.  5. 一个长方形的长为 ，宽为 ，其面积 。若 ，，则面积  为（ ） A. 8 B. 15 C. 16 D. 30 6. 小明买了  支铅笔，每支 2 元，则总价格为  元。若 ，则总价格为（ ） A. 5 元 B. 7 元 C. 10 元 D. 15 元 7. 当  时，代数式  的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 8. 按如图所示的运算程序，输入 ，输出  的结果是（ ） 运算程序：输入   乘以 3  加上 2  输出  A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题 9. 当  时，代数式  的值是________。 10. 若 ，则代数式  的值是________。 11. 某超市苹果的价格为每千克  元，小明买了  千克，则需付款 ________ 元；若 ，则需付款 ________ 元。 12. 已知 ，则代数式  的值是________。 三、解答题 13. 当  时，求下列代数式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 14. 某学校实行网上学习，每个月的上网费用由基本月租费和上网时长费组成。收费标准为：基本月租费 10 元，上网每小时收费  元。 (1) 用代数式表示某同学上网  小时的总费用； (2) 当  元， 小时时，该同学这个月的上网费用是多少元？ 【能力提升】 一、选择题 1. 已知 ，则代数式  的值是（ ） A. 9 B. 5 C. 1 D. -3 2. 若 ，则代数式  的值是（ ） A. -4 B. 4 C. -2 D. 2 3. 已知 ，则代数式  的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 6 D. -6 4. 按如图所示的运算程序，输入 ，则输出  的结果是（ ） 运算程序：输入   计算   结果大于0吗？  是：乘以 2  输出  （注：若结果不大于0，则直接输出） A. 6 B. 3 C. -3 D. 12 5. 若 ，则代数式  的值是（ ） A. 11 B. 7 C. -7 D. -11 6. 定义运算：，例如 。若 ，则  的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 某产品原价为  元，先提价 20%，再降价 20%，则现在的价格是（ ） A.  元 B.  元 C.  元 D.  元 8. 观察下列一组数据：，第  个数用代数式表示为 。则第 10 个数的值是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 二、填空题 9. 已知  互为相反数， 互为倒数，则代数式  的值是________。 10. 已知 ，则代数式  的值是________。 11. 如图是一个简单的数值转换程序，若输入  的值为 5，输出  的值为 -1。若输入  的值为 -3，则输出  的值为________。 程序描述：输入  乘以   加上 4  输出  12. 已知 ，且 ，则代数式  的值是________。 三、解答题 13. 整体代入与求值： 已知 ，。 (1) 求代数式  的值； (2) 求代数式  的值； (3) 若 ，求  的值。（提示：利用 ） 14. 某市出租车收费标准如下：起步价 10 元（含 2 千米），超过 2 千米的部分，每千米收费 2.5 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。 (1) 设行驶路程为  千米（ 且为整数），请用含  的代数式表示车费； (2) 若小明乘坐出租车行驶了 8 千米，应付费多少元？ (3) 若小明乘坐出租车付费 27.5 元，求小明乘坐的路程是多少千米？ 参考答案 【基础练习】 一、选择题 1. C （解析：。） 2. B （解析：。） 3. C （解析：A项漏了负号，应为 ；B项 ；C项  正确；D项  结果应为负，。） 4. B （解析：。） 5. B （解析：。） 6. C （解析：。） 7. B （解析：。） 8. C （解析：。） 二、填空题 9. 2 （解析：。） 10. 1 （解析：。） 11. ；12 （解析：总费用  元。当  时， 元。） 12. 7 （解析：整体代入，原式 。） 三、解答题 13. 解： 当  时： (1) 。 (2) 。 (3) 。 (4)  。 14. 解： (1) 总费用  基本月租费 + 上网时长费 （元）。 (2) 当  时， （元）。 答：该同学这个月的上网费用是 40 元。 【能力提升】 一、选择题 1. A （解析：。） 2. B  3. A （解析：整体代入。原式 。） 4. A （解析：输入 ，计算 。乘以 2 得 6。） 5. B （解析：。原式 。） 6. A （解析：。） 7. B （解析：。） 8. B （解析：当  时，。） 二、填空题 9. 2 （解析：。原式 。） 10. 1 （解析：整体代入。原式 。） 11. -5  12. -7  三、解答题 13. 解： (1) 原式 。 (2) 原式 。 (3) 。 因为 ，所以 。 所以 （保留根号）或近似值。 14.解： (1) 车费  元。 (2) 当  时， 元。 （或者  元）。 (3) 设路程为千米。 答：路程是 9 千米。 2 学科网（北京）股份有限公司 $