3.2 代数式的值 第2课时几何中的代数式求值导教案2026-2027学年数学人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦“几何中的代数式求值”，核心知识点包括周长、面积、体积公式应用及组合图形面积计算。课堂导入通过回顾小学几何公式，唤醒已有知识，建立几何公式与代数式的联系，搭建从旧知到新知的学习支架。 特色在于以操场跑道、三角尺等实际问题为载体，引导学生分解组合图形，利用和差关系列代数式，培养数学抽象与建模能力。例题练习层次递进，注重运算顺序和结果实际意义，提升数学运算能力，符合新课标核心素养要求，助力学生掌握几何中代数式求值方法。

3.2 代数式的值 第2课时 几何中的代数式求值 课题3.2 代数式的值 第2课时 几何中的代数式求值 课型新授课 备课人 授课班级 一、教学目标 1. 核心素养目标 （1）数学抽象：通过回顾正方形、长方形、圆等常见几何图形的周长、面积和体积公式，理解几何公式中字母所表示的量的含义，能从几何图形中抽象出代数式。 （2）逻辑推理：通过将具体数值代入几何公式进行计算，体会从一般公式到特殊值的推理过程，感受代数式求值在几何中的应用。 （3）数学运算：掌握几何中的代数式求值方法，能准确地将数值代入几何公式并按运算关系求出结果，注意运算顺序和近似值的处理。 （4）数学建模：能用代数式表示几何图形的周长、面积、体积等数量关系，通过求代数式的值解决操场跑道、三角尺面积等实际问题。 2. 教学重难点 重点：利用几何公式进行代数式求值，包括周长公式、面积公式和体积公式的应用。 突破策略：通过回顾常见几何公式，让学生熟悉公式中的字母含义。再通过例3（操场跑道周长）和例4（三角尺面积）两个实例，让学生在实际问题中掌握代入求值的方法。 难点：组合图形面积的计算，需要将图形分解为基本图形后利用和差关系求解。 突破策略：通过三角尺面积和休闲区面积两个例子，引导学生观察图形特征，学会将组合图形分解为基本图形（如三角形、长方形、圆等），再利用面积的和差关系列出代数式并求值。 二、教学过程 （一）情境导入 【过渡语】在前面的学习中，我们学习了求代数式的值的方法。今天我们将这些方法应用到几何问题中，学习几何中的代数式求值。 教师引导：同学们，我们在上一节课学习了代数式的值的概念和求代数式的值的方法——代入和计算。我们还学习了代入时要注意负数和分数加括号。今天我们将把这些方法应用到几何问题中。 教师提问：有些同类事物中的某种数量关系常常可以用公式来描述。大家在小学阶段学过哪些几何公式呢？ 学生回答1：正方形的周长公式C = 4a，其中a是边长。 学生回答2：长方形的周长公式C = 2(a+b)，其中a和b是长和宽。 学生回答3：圆的周长公式C = 2πr，其中r是半径。 学生回答4：正方形的面积公式S = a的平方，长方形的面积公式S = ab，圆的面积公式S = πr的平方。 学生回答5：长方体的体积公式V = abc，正方体的体积公式V = a的立方。 教师引导：非常好！这些几何公式中都用字母表示了图形的量。当字母取定具体的数值时，我们就可以通过代入求出周长、面积或体积的值。这就是今天要学习的——几何中的代数式求值。 设计意图：通过回顾小学阶段学习的几何公式，帮助学生唤醒已有知识，建立几何公式与代数式之间的联系。从"公式中的字母"自然过渡到"代入求值"，为本节课的学习做好铺垫。 （二）探究新知 1. 探究一：周长公式及其应用 【过渡语】让我们先来回顾常见的周长公式，并尝试代入数值进行计算。 教师引导：首先回顾常见图形的周长公式。 正方形的周长公式： 长方形的周长公式： 圆的周长公式： 教师提问：在正方形周长公式C = 4a中，字母a表示什么？学生回答：a表示正方形的边长。 教师追问：在长方形周长公式C = 2(a+b)中，a和b分别表示什么？学生回答：a和b分别表示长方形的长和宽。 教师追问：在圆的周长公式C = 2πr中，r表示什么？π是什么？学生回答：r表示圆的半径，π是圆周率，约等于3.14。 教师追问：当正方形的边长a = 5时，周长C是多少？学生回答：C = 4乘以5 = 20。 教师追问：当长方形的长a = 3，宽b = 7时，周长C是多少？学生回答：C = 2乘以(3+7) = 2乘以10 = 20。 教师追问：当圆的半径r = 5时，周长C是多少？（π取3.14）学生回答：C = 2乘以3.14乘以5 = 31.4。 【知识点】常见图形的周长公式：正方形C = 4a，长方形C = 2(a+b)，圆C = 2πr。将具体数值代入公式中的字母，按照运算关系计算，就可以求出周长的值。 设计意图：通过回顾周长公式并代入具体数值计算，帮助学生理解几何公式就是代数式，代入数值就可以求值。从正方形到长方形再到圆，公式从简单到复杂，层次递进。 2. 探究二：面积公式及其应用 【过渡语】接下来我们回顾面积公式，这些公式在后面的例题中会经常用到。 教师引导：现在回顾常见图形的面积公式。 正方形的面积公式： 长方形的面积公式： 圆的面积公式： 教师提问：在正方形面积公式S = a的平方中，a的平方表示什么？学生回答：a的平方表示a乘以a，即边长乘以边长。 教师追问：当正方形的边长a = 6时，面积S是多少？学生回答：S = 6的平方 = 36。 教师追问：在圆的面积公式S = πr的平方中，r的平方表示什么？学生回答：r的平方表示r乘以r，即半径乘以半径。 教师追问：当圆的半径r = 3时，面积S是多少？（π取3.14）学生回答：S = 3.14乘以3的平方 = 3.14乘以9 = 28.26。 教师引导：除了正方形、长方形和圆，我们还学过三角形和梯形的面积公式。 三角形的面积公式： 梯形的面积公式： 教师讲解：三角形的面积公式S = 二分之一ah，其中a是底，h是高。这里的二分之一是一个分数，表示底乘以高再除以2。 教师追问：当三角形的底a = 8，高h = 5时，面积S是多少？学生回答：S = 二分之一乘以8乘以5 = 20。 教师讲解：梯形的面积公式S = (a+b)，其中a和b是上底和下底，h是高。这个公式表示上底加下底的和乘以高再除以2。 教师追问：当梯形的上底a = 3，下底b = 5，高h = 4时，面积S是多少？学生回答：S = (3+5)乘以 = = 16。 【知识点】常见图形的面积公式：正方形S = a的平方，长方形S = ab，圆S = πr的平方，三角形S = 二分之一ah，梯形S = (a+b)。代入数值时要注意平方运算和分数运算的顺序。 设计意图：面积公式是本节课的核心内容之一。通过系统地回顾五种常见图形的面积公式，并代入数值计算，帮助学生熟悉公式中的字母含义和运算关系。特别是三角形和梯形面积公式中的分数运算，为例4的三角尺面积问题做铺垫。 3. 探究三：体积公式及其应用 【过渡语】最后我们回顾体积公式，体积公式也是几何中常用的代数式。 教师引导：现在回顾常见立体图形的体积公式。 长方体的体积公式： 正方体的体积公式： 教师提问：在长方体体积公式V = abc中，a、b、c分别表示什么？学生回答：a、b、c分别表示长方体的长、宽、高。 教师追问：当长方体的长a = 3，宽b = 4，高c = 5时，体积V是多少？学生回答：V = 3乘以4乘以5 = 60。 教师提问：在正方体体积公式V = a的立方中，a的立方表示什么？学生回答：a的立方表示a乘以a乘以a，即棱长乘以棱长乘以棱长。 教师追问：当正方体的棱长a = 2时，体积V是多少？学生回答：V = 2的立方 = 8。 教师追问：如果长方体的长a = 60，宽和高都是b = 40，体积V是多少？学生回答：V = a乘以b乘以b = a乘以b的平方 = 60乘以40的平方 = 60乘以1600 = 96000。 【知识点】常见立体图形的体积公式：长方体V = abc，正方体V = a的立方。当某些维度相同时，公式可以简化，如宽和高相同时V = ab的平方。代入数值时要注意立方运算。 设计意图：体积公式的回顾为后续练习中的长方体体积问题做铺垫。通过特殊情形（宽和高相同）的讨论，引导学生理解公式的变形，培养灵活运用公式的能力。 （三）例题精讲 1. 例3：操场跑道的周长 【过渡语】让我们通过一个操场跑道的实际问题来学习几何中的代数式求值。 例3：如图，操场上的跑道由两个半圆和一个长方形组成。设长方形的长为a米，宽为b米（即两个半圆的半径为米，但此处按题意半圆的直径为b）。跑道的周长（即跑道外边缘的总长度）为多少？当a = 67.3m，b = 52.6m时，跑道的周长大约是多少米？（π取3.14） 教师引导：观察跑道图形，跑道由两条直道和两条弯道组成。两条直道就是长方形的两条长边，每条长为a；两条弯道合起来正好是一个完整的圆，圆的半径为b。 所以跑道的周长公式为： 教师讲解：周长C = 2a + πb，其中2a是两条直道的长度，πb是一个圆的周长（两条半圆弯道合起来）。 当时，代入计算： 教师讲解：将a = 67.3代入2a中的a，得2乘以67.3 = 134.6；将b = 52.6代入πb中的b，取π = 3.14，得3.14乘以52.6 = 165.164。所以C = 134.6 + 165.164 = 299.764，约等于300米。 教师追问：为什么结果要取近似值？学生回答：因为π取3.14是一个近似值，所以最终结果也是近似值，用约等号表示。 教师追问：如果a = 50m，b = 30m呢？学生回答：C = 2乘以50 + 3.14乘以30 = 100 + 94.2 = 194.2米。 教师追问：如果π取3呢？学生回答：C = 2乘以67.3 + 3乘以52.6 = 134.6 + 157.8 = 292.4米。π的取值不同，结果也不同。 【知识点】在几何中的代数式求值时，当涉及π的运算，通常取π = 3.14进行计算。由于π是近似值，最终结果也用约等号（约等于）表示。 方法总结 几何中的代数式求值步骤： 第一步：根据图形特征，选择合适的几何公式（或建立代数式）； 第二步：将已知数值代入公式中的字母； 第三步：按照运算关系进行计算，得出结果。 注意：涉及π时通常取3.14，结果用约等号表示；注意运算顺序，先乘方再乘除最后加减。 设计意图：例3以操场跑道为背景，将两个半圆和一个长方形的周长问题转化为代数式求值问题。通过分析图形特征建立公式C = 2a + πb，再代入数值计算。帮助学生理解几何公式就是代数式，代入数值即可求值。 2. 例4：三角尺的面积 【过渡语】接下来我们看一个组合图形面积的问题——三角尺的面积。 例4：一把三角尺的形状如图所示，它是由一个直角三角形去掉一个半径为r的圆形孔组成的。设三角形的两条直角边分别为a和b，圆孔的半径为r。用代数式表示三角尺的面积，并计算当a = 10cm，b = 17.3cm，r = 2cm时三角尺的面积。（π取3.14） 教师引导：观察三角尺的图形，它是一个直角三角形中间挖去了一个圆形孔。所以三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积。 三角尺的面积公式为： 教师讲解：三角形的面积 = 二分之一ab（直角三角形的两条直角边就是底和高），圆的面积 = πr的平方。所以三角尺的面积S = 二分之一ab - πr的平方。 当时，代入计算： 教师讲解：将a = 10，b = 17.3代入二分之一ab，得二分之一乘以10乘以17.3 = 5乘以17.3 = 86.5；将r = 2代入πr的平方，得3.14乘以2的平方 = 3.14乘以4 = 12.56。所以S = 86.5 - 12.56 = 73.94平方厘米。 教师追问：二分之一乘以10等于多少？学生回答：二分之一乘以10 = 5。 教师追问：2的平方等于多少？学生回答：2的平方 = 2乘以2 = 4。 教师追问：3.14乘以4等于多少？学生回答：3.14乘以4 = 12.56。 教师追问：86.5减去12.56等于多少？学生回答：86.5 - 12.56 = 73.94。 教师追问：如果r = 3cm呢？学生回答：S = 二分之一乘以10乘以17.3 - 3.14乘以3的平方 = 86.5 - 3.14乘以9 = 86.5 - 28.26 = 58.24平方厘米。圆孔越大，三角尺的面积越小。 教师追问：如果没有圆孔（即r = 0）呢？学生回答：S = 二分之一乘以10乘以17.3 - 0 = 86.5平方厘米。这就是纯三角形的面积。 【知识点】组合图形的面积可以通过"分解法"求解：将组合图形分解为基本图形，利用面积的和差关系列出代数式。如三角尺面积 = 三角形面积 - 圆面积。 特别提醒 组合图形面积的计算方法： (1) 观察图形特征，确定由哪些基本图形组成； (2) 列出各基本图形的面积公式； (3) 利用和差关系（相加或相减）得到组合图形的面积代数式； (4) 代入数值计算。 常见组合方式：相加（拼接）、相减（挖空）。 设计意图：例4是本节课的重点和难点。三角尺由三角形挖去圆形孔组成，需要学生学会将组合图形分解为基本图形，利用面积差列出代数式。通过详细的分步讲解和追问，帮助学生掌握组合图形面积的求法。特别提醒框系统总结了分解法的方法步骤。 （四）巩固练习 1. 巩固练习：休闲区面积 【过渡语】现在让我们通过一个休闲区面积的问题来巩固组合图形面积的求法。 问题：一个休闲区，它是一个长方形场地中间挖去了一个圆形花坛。设长方形的长为x米，宽为y米，圆形花坛的半径为r米。用代数式表示休闲区的面积，并计算当x = 50m，y = 20m，r = 8m时休闲区的面积。（π取3.14） 分析：休闲区面积 = 长方形面积 - 圆形面积，即 当时，代入计算： 答：休闲区的面积约等于799平方米。 教师讲解：长方形面积 = xy = 50乘以20 = 1000平方米；圆形面积 = πr的平方 = 3.14乘以8的平方 = 3.14乘以64 = 200.96平方米。休闲区面积 = 1000 - 200.96 = 799.04，约等于799平方米。 教师追问：8的平方等于多少？学生回答：8的平方 = 8乘以8 = 64。 教师追问：3.14乘以64等于多少？学生回答：3.14乘以64 = 200.96。 教师追问：如果r = 10m呢？学生回答：S = 50乘以20 - 3.14乘以10的平方 = 1000 - 314 = 686平方米。花坛越大，休闲区面积越小。 教师追问：如果花坛的半径增大到使圆面积超过长方形面积，会怎样？学生回答：那休闲区面积就变成负数了，这在实际问题中是不可能的，所以花坛的半径必须使圆面积不超过长方形面积。 【知识点】在解决实际问题时，代数式求值的结果要符合实际意义。如面积不能为负数，花坛的半径不能超过长方形的尺寸限制。 设计意图：巩固练习与例4类似，都是组合图形面积问题，但图形组成不同（长方形减去圆形）。通过类比，帮助学生巩固分解法求组合图形面积的方法。追问中涉及实际意义的讨论，培养学生的应用意识。 2. 练习1：平行四边形和梯形的面积 【过渡语】让我们通过两道基本练习来巩固面积公式的应用。 练习1：(1) 已知平行四边形的底a = 2，高b = 3，求平行四边形的面积。 分析：平行四边形的面积公式，代入。 答：平行四边形的面积为6。 教师追问：如果a = 5，b = 3呢？学生回答：S = 5乘以3 = 15。 练习1：(2) 已知梯形的上底a = 2，下底b = 4，高h = 5，求梯形的面积。 分析：梯形的面积公式，代入。 答：梯形的面积为15。 教师讲解：(2+4)乘以 = 6乘以 = = 15。注意先算括号内的加法，再算乘法，最后算除法。 教师追问：如果a = 3，b = 5，h = 4呢？学生回答：S = (3+5)乘以 = 8乘以 = = 16。 教师追问：梯形面积公式中，(a+b)/2表示什么？学生回答：(a+b)/2表示上底和下底的平均值，即梯形的中位线长度。 设计意图：练习1选取了平行四边形和梯形两种基本图形的面积计算，帮助学生巩固面积公式的应用。梯形面积公式涉及分数运算，需要学生注意运算顺序。通过追问加深对公式含义的理解。 3. 练习2：长方体的体积 练习2：一个长方体的底面是正方形，边长为b，高为a。已知a = 60，b = 40，求长方体的体积。 分析：长方体的体积公式，其中a是高，b是底面边长。代入。 答：长方体的体积为96000立方厘米。 教师讲解：底面是正方形，面积为b的平方。体积 = 底面积乘以高 = b的平方乘以a = a乘以b的平方。代入a = 60，b = 40，得V = 60乘以40的平方 = 60乘以1600 = 96000。 教师追问：40的平方等于多少？学生回答：40的平方 = 40乘以40 = 1600。 教师追问：60乘以1600等于多少？学生回答：60乘以1600 = 96000。 教师追问：如果a = 50，b = 40呢？学生回答：V = 50乘以40的平方 = 50乘以1600 = 80000。 教师追问：如果底面不是正方形，而是长方形（长为b，宽为c）呢？学生回答：V = abc，就是一般的体积公式。 设计意图：练习2将体积公式进行了变形应用——当底面是正方形时，体积公式变为V = ab的平方。这帮助学生理解公式的灵活性，培养根据实际情况选择合适公式的能力。 4. 练习3：圆环的面积 【过渡语】最后一道练习是关于圆环面积的计算，这也是一个组合图形问题。 练习3：一个圆环的外圆半径R = 15，内圆半径r = 10，求圆环的面积。（π取3.14） 分析：圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积，即 代入，计算： 答：圆环的面积为392.5平方厘米。 教师讲解：外圆面积 = πR的平方 = 3.14乘以15的平方 = 3.14乘以225 = 706.5；内圆面积 = πr的平方 = 3.14乘以10的平方 = 3.14乘以100 = 314。圆环面积 = 706.5 - 314 = 392.5。 教师追问：15的平方等于多少？学生回答：15的平方 = 15乘以15 = 225。 教师追问：10的平方等于多少？学生回答：10的平方 = 10乘以10 = 100。 教师追问：如果R = 8，r = 3呢？学生回答：S = 3.14乘以8的平方 - 3.14乘以3的平方 = 3.14乘以64 - 3.14乘以9 = 200.96 - 28.26 = 172.7。 教师追问：圆环面积公式还可以怎样写？学生回答：S = πR的平方 - πr的平方 = π(R的平方 - r的平方)。可以先把π提取出来，再计算平方差。 【知识点】圆环面积 = πR的平方 - πr的平方 = π(R的平方 - r的平方)。利用乘法分配律，可以先将π提取出来，简化计算。 设计意图：练习3是圆环面积问题，与例4和巩固练习类似，都是利用面积差求组合图形面积。通过提取公因式π的讨论，引导学生灵活运用运算律简化计算，培养运算能力。 三、课堂小结 1. 常见几何公式 周长公式：正方形C = 4a，长方形C = 2(a+b)，圆C = 2πr。 面积公式：正方形S = a的平方，长方形S = ab，圆S = πr的平方，三角形S = 二分之一ah，梯形S = (a+b)。 体积公式：长方体V = abc，正方体V = a的立方。 2. 几何中的代数式求值 将具体数值代入几何公式中的字母，按照运算关系计算，就可以求出周长、面积或体积的值。步骤为：选择公式、代入数值、计算结果。 注意：涉及π时通常取3.14，结果用约等号表示；注意运算顺序，先乘方再乘除最后加减，有括号先算括号。 3. 组合图形面积的求法 将组合图形分解为基本图形，利用面积的和差关系列出代数式。常见方式：相加（拼接）和相减（挖空）。 例如：三角尺面积 = 三角形面积 - 圆面积；休闲区面积 = 长方形面积 - 圆面积；圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 4. 方法总结 将图形分解，利用和差关系求解。这是解决组合图形面积问题的核心方法。 在计算过程中，可以利用运算律（如乘法分配律）简化计算。例如圆环面积 = πR的平方 - πr的平方 = π(R的平方 - r的平方)。 5. 易错提示 易错提示 几何中的代数式求值常见错误： (1) 运算顺序错误：计算3.14乘以8的平方时，应先算平方（8的平方=64），再算乘法（3.14乘以64），不能先乘后平方； (2) π的取值：通常取π=3.14，结果用约等号（约等于）表示，不能用等号； (3) 分数运算：三角形面积公式中的二分之一要先算，梯形面积公式中(a+b)要先算括号和乘法，最后算除法； (4) 组合图形分解错误：要仔细观察图形，正确判断是相加还是相减； (5) 单位问题：注意题目中的单位，计算结果的单位要与题目一致。 归纳总结 本节课核心要点： (1) 几何公式就是代数式，代入数值即可求值； (2) 组合图形面积 = 分解 + 和差关系； (3) 涉及π取3.14，结果用约等号； (4) 注意运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减。 学科网（北京）股份有限公司 $