2026-2027学年吉林市实验中学高三数学高考总复习试卷- 选修二

**基本信息** 高三数学一轮复习试卷，以数列、导数为核心，融入《算法统宗》问题及谢宾斯基三角形情境，注重文化传承与数学思维培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|等差数列性质、等比数列求和|基础巩固，如第2题结合古代数学文化| |多选题|3题|导数运算、数列单调性|能力辨析，如第11题分析数列前n项和最值| |填空题|3题|数列通项公式、等差数列基本量|简洁应用，如第14题由Sn求an| |解答题|5题|导数应用、分形几何、利润优化|综合创新，如第16题谢宾斯基三角形探究数列通项，第18题利润问题培养应用意识|

吉林市实验中学高三数学高考总复习试卷 选修二 出题人： 命题人： 一、单选题 1．在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.请问：此人走了288里路时恰好走了（    ）天. A．1 B．2 C．3 D．5 3．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 4．已知等差数列的前5项和为25，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．设数列满足，数列满足，数列是由数列公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，设数列的前项和为，则（    ） A．838 B．842 C．846 D．850 6．设等差数列，的前n项和分别为，，若，则（  ） A． B． C． D． 7．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．2 B．7 C．2或7 D．3或9 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列求导运算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知数列的前项和为，若，则以下说法正确的是（    ） A．数列是单调递增数列 B．当最大时，的值取5或6 C．数列是等差数列 D．当时，的最大值为10 三、填空题 12．数列满足，则_______________. 13．已知等差数列，，，则_________. 14．若数列的前项和为，则数列的通项公式为__________. 四、解答题 15．求下列函数的导数. (1) (2) 16．如图，作一个白色的正三角形，第一次操作为：挖去正三角形的“中心三角形”（即以原三角形各边中点为顶点的三角形），这样就得到了三个更小的白色三角形；第二次操作为：挖去第一次操作后得到的所有白色三角形的“中心三角形”；以此类推，第次操作为：挖去第次操作后得到的所有白色三角形的“中心三角形”，得到一系列更小的白色三角形．这些白色三角形构成的图案在“分形几何学”中被称为“谢宾斯基三角形”，记第次操作后，“谢宾斯基三角形”所包含的白色小三角形的数目为，“谢宾斯基三角形”的面积（所有白色小三角形的面积和）为，周长（所有白色小三角形的周长和）为．    (1)求数列的通项公式； (2)若最初的白色正三角形的周长为1，求数列和的通项公式． 17．已知数列满足，，数列 （1）求证：等差数列； （2）求数列的通项公式. 18．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 19．已知数列为等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，若，求的最小值. 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】设等差数列的公差为，结合已知条件可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则 ，故. 故选：B. 2．B 【分析】利用等比数列求和公式算出第一天走的路程，即可获解 【详解】由题知,每天走的路程成公比为的等比数列 设第一天走了里路,则,即,解得 因为,所以此人走了288里路时恰好走了2天 故选：B 3．C 【分析】直接由等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 4．D 【分析】先由等差数列的前5项和为25，得，再结合，可求出公差，从而可求出 【详解】因为，所以，则公差， 故． 故选：D 【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，属于基础题 5．D 【详解】由可知是以2为首项，以2为公差的等差数列， 由可知是以2为首项，以3为公差的等差数列， 所以是以2为首项，以6为公差的等差数列， 所以. 6．D 【分析】根据等差数列通项公式性质得，再利用两等差数列前n项和与通项之间的关系，代入等式计算即可得出答案. 【详解】因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又， 则可设，，则， 所以. 故选：D 7．C 【分析】根据分段函数分别应用复合函数单调性及导数求解单调性，分段求解函数值范围及最值再比较列不等式关系即可. 【详解】当时，函数单调递减，无最小值； 当时，函数 当时，函数， 所以单调递增，当时， 要使函数存在最小值，即. 故选：C. 8．B 【分析】求导得到导函数，根据题意得到且，解得答案并验证即可. 【详解】，， 根据题意：，， 解得或， 当时，，函数单调递增，无极值点，舍去. 当时，， 在和时，，函数单调递增； 在时，，函数单调递减，故函数在出有极小值，满足条件. 综上所述：. 故选：B. 9．BC 【分析】按照导数与复合函数的求导的运算法则一一判断即得. 【详解】对于A项，因，则，故A项错误； 对于B项，由求导得，， 当时，，解得，故B项正确； 对于C项，由求导得，，故C项正确； 对于D项，由，求导得，，故D项错误. 故选：BC. 10．ABD 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：若，则，故D正确. 11．BC 【分析】对于AC，求得表达式即可判断；对于B，由二次函数对称轴即可判断；对于D，令，解不等式即可判断. 【详解】由题意，当时，， 两式相减得， 显然， 所以是递减数列，故A错误； 因为开口向下的二次函数的对称轴为， 所以当最大时，的值取5或6，故B正确； 对于C，是等差数列，故C正确； 对于D，令，解得，即的最大值为11，故D错误. 故选：BC. 12． 【分析】利用来求得，进而求得正确答案. 【详解】，， 是数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以. 故答案为： 13． 【分析】利用等差数列的基本性质可求得的值. 【详解】在等差数列中，，可得. 故答案为：. 14． 【分析】根据数列的关系，当时，，构造等比数列求解. 【详解】由得到， 当时，， 两式相减，有，得到， 由于，所以， 因为，由上述递推关系知， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）（2）根据题意结合导数的四则运算法则运算求解. 【详解】（1）由题意可得：. （2）因为， 所以. 16．(1) (2)， 【分析】根据每个图形的变化规律找出白色三角形的个数变化规律，周长，面积的变化情况，归纳得到各个数列的通项公式. 【详解】（1）依题意，被挖去“中心三角形”后，白色三角形的个数由个变成个， 因此每一次操作，白色三角形的个数都会变为操作前的倍， 即，又，所以数列是首项为公比为的等比数列， 因此的通项公式为． （2）同样地，被挖去“中心三角形”后，因为白色小三角形之间不共边， 所以白色三角形的总周长变为操作前的倍，总面积则变为操作前的倍， 即，． 依题意，，． 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为． 17．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据题意，计算，由等差数列的定义，即可证明结论成立； （2）先由（1）求出，即可得出. 【详解】（1）由题可，且， 又因为 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 （2）由（1）可知， 故. 【点睛】本题主要考查证明数列是等差数列，以及求数列的通项公式，属于基础题型. 18．（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大. 【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可. 详解： （1）有题意可知，当时，，即， 解得， 所以. （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ， 令，得或（舍去）， 所以当时，为增函数； 当时，为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 即时函数取得最大值. 所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大. 点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题. 19．(1) (2)27 【分析】（1）设出公差，根据通项公式基本量计算得到方程，求出首项和公差，得到通项公式； （2）利用等差数列求和公式得到不等式，求出答案. 【详解】（1）设的公差为， ， 解得 故. （2）， 令，即， ，即，解得或（舍去）， 故的最小值为27. 答案第2页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $