2.12.5 概率、统计与其他知识的综合问题-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训

P(AB) P(AB) =PAB)·P(AB) P(B) P(B) P(AB) P(AB) P(AB) P(AB) P(B) P(B) P(A B).P(A B) ,得证 P(AIB)P(AIB) ()由洞查数据可知PAB)=0-号， PAB)=品-0： 则PAB)=1-PAB)=号，PAB)=品， 2 9 所以R= 5.10=6. 3 1 510 10.解：(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002十25× 0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65× 0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁) (2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，则 P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+ 0.002)×10=1-0.11=0.89 (3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选 一人患这种疾病》，则由条件概率公式，得 PCB)==0.1%X823X10-Q.00-2 16% 0.16 =0.0014375≈0.0014. 考点3二项分布、超几何分布 解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立， 且每天7：30之前到校的概率均为号，故X~B3,号)从 c()广( 3一 而P(X=k) ,(k=0,1,2,3.) 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 3 P 1 2 2 9 27 随机变量X的数学期望E(0=3×号-2。 (2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为 Y,则Y~B(3,号)且M=(X=3,Y=1U(X=2,Y- 0以.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥，且 事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独 立，从而由(I)知P(M0=P({X=3,Y=1}U{X=2,Y =0})=P({X=3,Y=1})+P({X=2,Y=0})=P({X =3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=×号+ ×品器 详解详析 考点4正态分布及其应用 1.B本题考查正态分布曲线下面积，线性相关系数r的 性质.A中，X~N(,2),根据正态分布曲线的对称性 可知P(X≤μ一o)=P(X≥μ十o),故A正确；C、D中，由 相关系数r的性质，当|r越趋于1，线性相关性就越强， r越接近0，线性相关性就越弱，故C、D都正确.B中， X~N(1,22),Y~N(2,22),P(X<1)=P(Y2),故B 错误。 2.解析：由题意可知，P(X>2)=0.5,故P(X>2.5) =P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14. 答案：0.14 第5节概率、统计与其他知识的综合问题 考点1与数列结合问题 1.解：(1)p,=p,9=q, p4=p+C4p3q=p+4p3(1-p)=p3(4-3p). (2)由(1)可知p4-p:=p3(4-3p)一p3 =3p3(1-p), 同理q4-q=3q(1-q)=3p(1-p)3. 由2：-色=4，可得3p1二=4，即3p-8p+4=0, 94-q3 3p(1-p)° 解得p=号或p=2(舍). 31 所以=号 (3)由2<p<1p+g=1,可知0<g<2<p<1. 设随机变量X为“打完k个球后甲的得分”， 则X~B(k,p), p2m=p2m十C2m·p2m-1g+Cn·p2m-2g2+…十Cg1· pmigm-1. 对于p2m+1,考虑前2m个球的情况.若打完2m个球后， 甲、乙得分一样，或者甲比乙得分少，则第2m十1个球无 论甲胜负，甲都不可能比乙至少多得2分.若打完2m个 球后，甲比乙至少多得4分，则第2m十1个球甲无论胜 负都能满足甲比乙至少多得2分.若打完2m个球后，甲 比乙恰好多得2分，则第2m十1个球甲必须胜才能满足 甲比乙至少多得2分.所以p2m+1=（p2m一C2m1·pm+ g-1)十力·Cgn1·b+1gm-1=p2m一q·C2m1· p+1gm-1. 故p2m一p2m+1=q·C2n1·p+1q-1>0,同理gm 9m+1=p·Cgn1·g+1p-1>0. 所以n一pa1=g·C1·pt1g-1 -9G·g8=号>1，甲 q 一p2m+1>q2m一92m+1,所以p2+1一q2m+1<p2nm一q2m· 对于p2m+2,考虑前2m个球的情况.若打完2m个球后， 甲比乙得分少，则剩下两个球（第2m十1和2m十2个球） 无论甲胜负，甲都不可能比乙至少多得2分，若打完2m 9 最新真题分类特训·数学 个球后，甲、乙得分一样，则剩下两个球甲必须全胜才能 满足甲比乙至少多得2分，若打完2m个球后，甲比乙恰 好多得2分，则剩下两个球甲全胜，或者一胜一负都能满 足甲比乙至少多得2分.若打完2m个球后，甲比乙至少 多得4分，则剩下两个球甲无论胜负都能满足甲比乙至 少多得2分 所以p2m+2=p2·Cgn·pq”+(1-g2)·Cn1·p"+1 q-1+（p2m-Cgn1·pm+1gm-1) =p2m十p2·C2n·pqm-q2·C2m1·pm+1g-1 =p2m十p"q"·(Cgm·p2-C2m1·pq), 故p2m+2一p2m=p“q·（Cm·p2一Cgm1·p9),同理 92m+2一92m=q”pm·(C2m·q2-Cn1·qp), 所以(p2m+2一p2m）-（q2m+2一q2m）=p”gm·C2n·（p2 g2)>0,即p2m+2一p2m>q2m+2一92m’ 所以p2m一92m<p2m+2一92m+2· 综上，p2m+1一92m+1<p2m一92m<P2m+2一92m+2 2.解：(1)第二次是乙投篮的概率为0.5×0.4+0.5×0.8 =0.6. (2)第i次是甲投篮的概率为p:,则乙投篮的概率为1一 p:,则p+1=0.6p:+0.2(1-p:)=0.4p:十0.2， 构造等比数列p1十=号（A十》， 解得X=一子， 则1-=号（-号）又A=A-= -日=x()广=×（）厂+ (3)当n∈N*时，E(Y)=p1十p2十…+p 1-号 当n=0时，E(Y)=0,符合上式， 故E(Y)= 1-(号)]+号aeN) 考点2与导数结合问题 解：(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 0.4 0.30.20.1 .E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1; (2)解法一： 由已知条件：：p。十1十2十ps=1, 22 .x=1一定是p。十p1x十2x2十px3=x的根. 设f(x)=p3x+2x2十（p1-1)x十p0,则f(x)= 3p3x2+2p2x十p1-1,f(0)=p1-1<0, .二次函数f(x)=3p3x2+2p2x十p1-1有一正一负 两根，设为x1,x2(x1<0<x2)； ①E(X)≤1时， :fx在(0，+o)(+o）单调递增， 又：f(1)=3p3十2p2十1-1=E(X)-1≤0， ∴f(x)<0在[0,1]上恒成立，即f(x)在[0,1]上递减， 至多有一个零点； 又f(x)=0,最小的正零，点=1. ②E(X)>1时， f在(0，+∞)（最，+∞）单调递增， 又：f(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1>0, ∴f(x)在[0，x2]上递增，在[x2,1]递减； 又：f(x2)>f(1)=0且f(0)=p1-1<0, 3p∈(0，x2)使f(p)=0,.最小的正零点p<1. 综上，E(X)≤1时，p=1;E(x)>1时，p<1. 解法二：由题意知。十p1十p2十p:=1, E(x)=p1十2p2+3pg· 由p。十p1x十p2x2十p3x3=x→p。十p2x2+p3x3-(1- 1)x=0, ∴.p十p2x2+p3x3-（p0十p2十p)x=0→p(1-x)+ p2x(x-1)+p3x(x-1)(x+1)=0; 即(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-p]=0. 令f(x)=px2+（p2十p)x一p0,f(x)的对称轴为x= _+p<0, 2p3 f(0)=-p<0,f(1)=2p,十p2-po=p1+2p2十3p3-1 =E(X)-1. 当E(X)≤1，f(1)>0,f(x)的正实根x≥1，原方程的 最小正实根=1； 当E(X)>1,f(1)≤0，f(x)的正实根x<1,原方程的 最小正实根p=x<1. (3)期望小于等于1时，该微生物经过多代繁殖后临近灭 绝的概率是1，是必然事件；期望大于1时，该微生物经 过多代繁殖后临近灭绝的概率小于1，是随机事件.这与 我们直观上的经验比较符合，比如生育率比较低的话， 多代繁殖后临近灭绝就几乎是必然事件，这也是我国现 在开放三孩的计划生育政策调整的依据和原则. 了 0第二部分专题十二概率与统计 第5节概率、统计与其他知识的综合问题 [考点1]与数列结合问题 2.(2023·新课标I卷，21)(12分)甲、乙两人 1.(2025·全国二卷，19)甲、乙两人进行乒乓 投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命 球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设 中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投 每个球甲胜的概率为2（合<p<1乙胜的 篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的 命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为 概率为q,p+q=1,且各球的胜负相互独 0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次 立，对正整数≥2，设。为打完k个球后甲 投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. 比乙至少多得2分的概率，9为打完及个球 (1)求第2次投篮的人是乙的概率； 后乙比甲至少多得2分的概率. (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (1)求p3,p4(用表示)； (3)已知：若随机变量X,服从两点分布，且 (2)若D-=4,求p; P(X,=1)=1-P(X=0)=q:,i=1,2,…,n,则 94-93 (3)证明：对任意正整数m,p2m+1一92m+1< EB(它X,)=之g:记前n次（即从第1次到第n 1 p2m一92m<p2m+2一92m+2: 次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). 最新真题分类特训·数学 [考点2]与导数结合问题 (2)设力表示该种微生物经过多代繁殖后临 (2021·新高考Ⅱ卷，21)(12分)一种微生 近灭绝的概率，p是关于x的方程：。十p1x 物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设 十2x2十px3=x的一个最小正实根，求 一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后 证：当E(X)≤1时，p=1,当E(X)>1时， 为第1代，再经过一次繁殖后为第2代 p<1; …,该微生物每代繁殖的个数是相互独立 的且有相同的分布列，设X表示1个微生 物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=卫：(i =0,1,2,3) (1)已知。=0.4，p1=0.3,p2=0.2,3 0.1,求E(X); (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际 含义 14