第23天 随机变量及其分布 每日专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦随机变量分布列、期望与方差核心概念，通过分层题型构建从概念理解到实际应用的逻辑链条，培养数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7题（含正态分布、分布列概率计算）|基础概念辨析与简单计算|从正态分布参数（方差）到分布列性质，构建概念理解基础| |多选题|2题（含正态分布性质、独立事件）|情境化综合判断|结合实际情境考查分布性质，强化逻辑推理与数据分析| |填空题|3题（含条件概率、期望计算）|分步概率与期望应用|从条件概率到期望求解，体现概率模型的实际迁移| |解答题|2题（含概率模型构建、期望优化）|综合应用与决策分析|整合多分布模型，培养模型意识与问题解决能力|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第23天 随机变量及其分布 1.答案　D 解析　因为X~N(4,9),所以D(X)=9. 故选D. 2.答案　A 解析　P(X=k)===,∵P(X=k)=1, ∴× ==1. 则m=, ∴P(X≥4)=×=. 3.答案　C 解析　由ξ~N(3,4)知μ=3,可知P(ξ<3)=,故a=3,故P(ξ<a)=成立;反之,若P(ξ<a)=,则a=3,故为充要条件,故选C. 4.答案　C 解析　由题意得 所以E(X)=-1×+0×+1×=, 所以D(X)=×+×+×=. 5.答案　C 解析　f(x)=x2+2x+X中,Δ=20-4X≥0,解得X≤5, 又X~B,故P(X≤5)=1-P(X=6)=1-=.故选C. 6.答案　C 解析　的二项展开式为Tr+1=()n-r·=(r=0,1,2,…,n), 由题意=0,解得n=10, 若要取到有理项,则需要10-2r能被3整除,则r=2,5,8, 即在的二项展开式中,有理项有3项,无理项有8项,若在展开式中任取3项,其中有理项的个数为X,可知X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)==, P(X=1)===, P(X=2)===, P(X=3)==, 所以E(X)=0×+1×+2×+3×==. 7.答案　B 解析　随机变量X的取值为a,b,c的概率都是,故E(X)=(a+b+c), 设t=(a+b+c), 则D(X)=[(a-t)2+(b-t)2+(c-t)2] =[a2+b2+c2-2(a+b+c)t+3t2] =(a2+b2+c2-3t2); 随机变量Y的取值为,,, 故E(Y) = =(a+b+c), D(Y)= = , ∵a,b,c是不全相等的实数, (a2+b2+c2)- =+ + >0, ∴(a2+b2+c2)>+ +, ∴D(X)>D(Y). 综上所述,E(X)=E(Y),D(X)>D(Y). 8.答案　BD 解析　由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大, 即X的密度曲线较矮胖,Y的密度曲线更瘦高,则X的密度曲线在38分钟后在Y的密度曲线的上方,可在同一坐标系中作出密度曲线,易知P(X>38)>P(Y>38),故A错误; 由3σ原则可知P(30-6≤X≤30+6)=P(34-2≤Y≤34+2),故B正确; 根据条件可知两种交通方式相应密度函数分别为:f(x)=, g(x)=, 建立方程=⇒=3, 整理可得8x2-552x+9×342-302=72ln 3, 则t1+38==69⇒t1=31>30,故C错误; 易知P(X≤34)>0.5=P(Y≤34),故D正确.故选BD. 9.答案　BCD 解析　对于A选项,每个盒子中恰有1球的概率为=,A错; 对于B选项,记事件E为“1号是空盒”,事件F为“2号是空盒”, 则P(E)=P(F)=,P(EF)==, 所以P(EF)≠P(E)·P(F),故事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立,B对; 对于C选项,由题意可知η~B, 故D(η)=4××=,C对; 对于D选项,由题意可知,随机变量ξ的可能取值有0,1,2,3, 则P(ξ=0)=,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==, P(ξ=3)==, 因此E(ξ)=0×+1×+2×+3×=,D对.故选BCD. 10.答案　0.6　3.2 解析　小桐一周跑11圈的概率p=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6. 小桐一周运动量达标的概率p=1-0.5×0.4=0.8,显然X服从二项分布B(4,0.8), 故E(X)=4×0.8=3.2.] 11.答案　 解析　X的所有可能取值为1,2,3, 则P(X=1)===, P(X=2)=×6==, P(X=3)=××6==, 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×+2×+3×=.] 12.答案　1 解析　X可能的取值为:0,1,2,3, 则P(X=0)= ==, P(X=1)= ==, P(X=2)= ==, P(X=3)= ==, 所以X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=1. 13.解　(1)设事件A表示“M被击中”, 则P(A)=p1+(1-p1)p2+(1-p1)(1-p2)p3=+×+××=. 故M被击中的概率为. (2)设射击的总次数为X,则X的所有可能取值为1,2,3. 若按甲、乙、丙的顺序射击, 则P(X=1)=p1,P(X=2)=(1-p1)p2, P(X=3)=(1-p1)(1-p2), 所以E1(X)=p1+2(1-p1)p2+ 3(1-p1)(1-p2)=p1p2-2p1-p2+3. 若按丙、乙、甲的顺序射击, 同理得E2(X)=p2p3-2p3-p2+3. 因为E1(X)-E2(X)=(p1p2-2p1-p2+3)-(p2p3-2p3-p2+3)=p1p2-2p1-p2p3+2p3=(p1-p3)(p2-2), 又因为p1>p2>p3,p2<1<2,所以E1(X)-E2(X)<0, 所以要使射击总次数的数学期望较小,应该让甲先射击. 14.解　(1)两次摸球,摸出的小球号码i,j的所有情况共×=9种, 其中,满足“i+j>i·j”的情形有: i=1时,j=1,2,3;i=2时,j=1;i=3时,j=1,共5种情况, 故P(A)=. (2)X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)===, P(X=1)= ==, P(X=2)==, P(X=3)==, 故X的分布列为: X 0 1 2 3 P 故E(X)=0×+1×+2×+3×=. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第23天 随机变量及其分布 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.(2025·宁波十校联考)已知随机变量X~N(4,9),则D(X)=(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 2.设随机变量X的分布列P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),则P(X≥4)=(　　) A. B. C. D. 3.(2025·温州二模)已知随机变量ξ~N(3,4),则“a=3”是“P(ξ<a)=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设随机变量X的概率分布列如下,且P(X≤0)=,则X的方差D(X)=(　　) X -1 0 1 P m n A. B. C. D. 5.(2025·云南一模)设随机变量X服从二项分布X~B,则函数f(x)=x2+2x+X有零点的概率是(　　) A. B. C. D. 6.已知在的二项展开式中,第6项为常数项,若在展开式中任取3项,其中有理项的个数为X,则E(X)=(　　) A. B. C. D. 7.设a,b,c是不全相等的实数,随机变量X取值为a,b,c的概率都是,随机变量Y的取值为,,的概率也都是,则(　　) A.E(X)<E(Y),D(X)<D(Y) B.E(X)=E(Y),D(X)>D(Y) C.E(X)<E(Y),D(X)=D(Y) D.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y) 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.(2025·湖北七市联考)若小明坐公交上班的用时X(单位:分钟)和骑自行车上班的用时Y(单位:分钟)分别满足X~N(30,62),Y~N(34,22),且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t=38分钟时相交,则下列说法正确的是(　　) A.P(X>38)<P(Y>38) B.P(24≤X≤36)=P(32≤Y≤36) C.若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1,则t1<30 D.若要在34分钟内上班不迟到,小明最好选择坐公交 9.(2025·聊城模拟)将四个不同的小球,放入四个编号为1,2,3,4的盒子中,每个小球放入各个盒子的可能性都相等,设ξ表示空盒的个数,η表示1号盒子中小球的个数,则(　　) A.每个盒子中恰有1球的概率为 B.事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立 C.随机变量η的方差为 D.随机变量ξ的均值为 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·天津卷)小桐操场跑圈,一周2次,一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4,小桐一周跑11圈的概率为　　　　;若一周至少跑11圈为运动量达标,则连续跑4周,记达标周数为X,则期望E(X)=　　　　.  11.(2025·新高考Ⅰ卷)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=　　　　.  12.(2025·滁州一模)如图,某停车区域共有6个停车位,现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X,则X的数学期望为　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·四省联考)在一次军事演习中,某炮兵部队有甲、乙、丙三门火炮对敌方目标M进行射击,现设计了以下规则:每次让一门火炮对M射击一次,如果没有击中M就换另一门火炮进行射击,如果击中M或甲、乙、丙都射击过一次就停止射击.已知甲、乙、丙每次射击击中M的概率分别为p1,p2,p3,且每次射击相互独立. (1)若按甲、乙、丙的顺序进行射击,且p1=,p2=,p3=,求M被击中的概率; (2)若安排乙第二个射击,且p1>p2>p3,要使射击总次数的数学期望较小,应该安排哪一门火炮第一个射击? 14.(2025·江南十校联考)一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球,标号分别为1,2,3,现采用有放回的方式摸球两次,每次摸出1个小球,记第一次摸到的小球号码为i,第二次摸到的小球号码为j. (1)记“i+j>i·j”为事件A,求P(A); (2)完成两次摸球后,再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中,并进行第三次摸球,且将第三次摸到的小球号码记为k,号码i,j,k中出现偶数的个数记为X,求X的分布列及数学期望. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $