第二十六章 二次函数 基础卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学二次函数单元基础卷，以“三会”素养为导向，覆盖定义、图像性质及实际应用，通过商品利润、拱桥设计等真实情境，强化模型意识与应用能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、对称轴、解析式确定|结合图像辨析（如第6题一次函数与二次函数图像综合），考查几何直观| |填空题|5/15|与x轴交点、增减性、平移旋转|第14题旋转抛物线，渗透空间观念| |解答题|8/75|解析式求解、图像应用、实际问题|第19题拱桥问题、22题海豚表演轨迹，构建函数模型解决实际问题，培养应用意识与运算能力|

保密★启用前 九年级数新教材学第一学期第二十六章二次函数 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 3.一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 4已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．有最小值5 D．顶点坐标是 6.在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7.已知抛物线上有三点，，．其中．为了比较，，的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明．受到小明想法的启发，我们可以得到，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8.某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为；乙：点C到的距离为．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．抛物线与x轴的交点坐标是 ． 12已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 ． 13．将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 14抛物线 绕其顶点旋转后得到抛物线的解析式是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)求此抛物线的顶点坐标． 17.本小题分二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出函数的顶点坐标； (2)写出方程的两个根； (3)写出不等式的解集． 18.本小题8分 已知抛物线的顶点为，经过点，且与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）． (1)求抛物线的解析式： (2)P为抛物线上一点，连交线段于点Q，若，求P点的横坐标； 19.本小题8分如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 20本小题10分在某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21.本小题10分材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 22本小题12分海洋馆的海豚表演是深受孩子们喜欢的项目，如图1是海豚钻圈表演，在进行钻圈时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图2，在某次表演中，以海豚起跳点为原点，以点与海豚落水点所在的直线为轴，垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）之间满足函数关系式，海豚落入水面的点的坐标为，经测量，海豚这次表演的最高点距离水面． (1)求这次表演时，海豚运动路线的解析式； (2)如图2，饲养员小明将直径为的圈如图放置，轴，点的坐标为，海豚穿过圈时与的交点为，求的值； (3)为增加观赏性，小明准备了一个与圈相同的圈，并把以同样高度放置在圈的右侧，若海豚运动路线不变，设点的横坐标为，当海豚顺利通过时，直接写出的取值范围． 23本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点， ①当面积最大时，求点的坐标； ②过点作轴于点，交于点，连接，过点作于点，设点的横坐标为，，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ 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7.已知抛物线上有三点，，．其中．为了比较，，的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明．受到小明想法的启发，我们可以得到，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8.某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为；乙：点C到的距离为．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．抛物线与x轴的交点坐标是 ． 12已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 ． 13．将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 14抛物线 绕其顶点旋转后得到抛物线的解析式是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)求此抛物线的顶点坐标． 17.本小题分二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出函数的顶点坐标； (2)写出方程的两个根； (3)写出不等式的解集． 18.本小题8分 已知抛物线的顶点为，经过点，且与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）． (1)求抛物线的解析式： (2)P为抛物线上一点，连交线段于点Q，若，求P点的横坐标； 19.本小题8分如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 20本小题10分在某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21.本小题10分材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 22本小题12分海洋馆的海豚表演是深受孩子们喜欢的项目，如图1是海豚钻圈表演，在进行钻圈时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图2，在某次表演中，以海豚起跳点为原点，以点与海豚落水点所在的直线为轴，垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）之间满足函数关系式，海豚落入水面的点的坐标为，经测量，海豚这次表演的最高点距离水面． (1)求这次表演时，海豚运动路线的解析式； (2)如图2，饲养员小明将直径为的圈如图放置，轴，点的坐标为，海豚穿过圈时与的交点为，求的值； (3)为增加观赏性，小明准备了一个与圈相同的圈，并把以同样高度放置在圈的右侧，若海豚运动路线不变，设点的横坐标为，当海豚顺利通过时，直接写出的取值范围． 23本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点， ①当面积最大时，求点的坐标； ②过点作轴于点，交于点，连接，过点作于点，设点的横坐标为，，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数新教材学第一学期第二十六章二次函数 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D D D B C B C 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 12. 13． 14． 15． 或或或． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 解：（1）∵抛物线经过点． ∴， 解得┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）由（1）得到抛物线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分) 解：（1）由图象可得函数图象的最高点坐标为， ∴函数的顶点坐标为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）图中可以看出抛物线与轴交于(和， ∴方程的两个根为，；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 （3）通过图中可以看出：当时，图象在x轴上方， ∴不等式的解集为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 18.本小题8分 解：（1）∵抛物线的顶点为， 设抛物线的顶点式为， 把代入，得，解得． ∴抛物线的解析式为． 即：．┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）连，由，得，则． 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线为． 根据平移得：直线的解析式为． 联立方程得：， 解得：，（舍去）． 所以，点P的横坐标为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 19.本小题8分解：（1）为16m，的中点为原点， 点，的坐标分别是，． 可设此函数的表达式为， 当水位上升时，水面宽为， 点的坐标为， 把，代入， ， 解得． 此函数的表达式为，即．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）船不能安全通过此桥．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 把，代入，得 ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 当船行至桥时水位上升高度为， 船顶距高为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 船不能安全通过此桥． 20本小题10分 解：（1）设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元，  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）设降价元，该超市的利润最大，利润为．  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 时，利润取得最大值，且最大值为2000元． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 答：降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 21.本小题10分）解：（1）由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件， 日销量， 由材料一可得，销售单价不低于元， 由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数． 的取值范围为，且为正整数． 日销售利润， 关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）由题意得，当时，即， 整理得，即，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 解得，， ， 销售单价应定为元或元，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 答：销售单价应定为元或元； （3）， 且为正整数， 当或时，最大，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 当时，（元），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 当时，（元），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 最大利润为元，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元． 22.本小题12分解：（1）由题意得，抛物线过点，， 得， ， ； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）点的坐标为，则点的坐标为， 设点的坐标为，点在抛物线上， 则， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ， ； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （3）抛物线对称轴为直线， 分两种情况： ①当在对称轴左侧时， 若点经过抛物线，即纵坐标为3，则， 解得，（舍去）， 则， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ②当在对称轴右侧时，若 点经过抛物线，即纵坐标为3，则 解得（舍去），， 当点经过抛物线，即纵坐标为1，则， 解得（舍去），， 则， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 综上所述，的取值范围为或． 23本小题12分 解：（1）直线经过、两点， ，， 经过、两点， ， 解得， 故抛物线的解析式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）①设， 过点作轴的平行线交直线于点， ， ， ， ， ， ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 当时，有最大值． 当时，． ，． 的面积最大时点的坐标为，；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ②如图，， 时，， 解得，，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ， ，， ，，， 轴， ， 点的横坐标为， ， 连接， ， ， ， ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 由（2）可知， ．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数新教材学第一学期第二十六章二次函数 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 解：由题意得， ∴， 故选：B． 2．下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：根据题意得： 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项符合题意； 故选：． 3.一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为，其中， 将代入上式，得 ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故选C． 4已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 5．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．有最小值5 D．顶点坐标是 【答案】D 解：∵ ， ∴ ，故抛物线开口向下， 对称轴为 ， 当时， ，即顶点为 ； 对于A：∵ ，∴开口向下，该选项不符合题意； 对于B：∵开口向下，对称轴为 ，∴当 时，y 随 x 增大而减小，该选项不符合题意； 对于C：∵开口向下，∴有最大值5，无最小值，该选项不符合题意； 对于D：顶点坐标为 ，该选项符合题意； 故选：D。 6.在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 7.已知抛物线上有三点，，．其中．为了比较，，的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明．受到小明想法的启发，我们可以得到，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线 ∴假设，， ∴抛物线， ∴将，，代入得，，，， ∴． 证明：∵ ()一定过原点，其开口向上，且， ∴，，即， 又， ∴， ∵， ∴，即； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 综上，． 故选：B． 8.某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为；乙：点C到的距离为．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 【答案】C 解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为，点D的横坐标为2， ∴点E的坐标为， 设抛物线的解析式为，将点E的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为．故甲不对； ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为， ∴点C到的距离为．故乙对． 故选：C． 9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 解：∵每星期可以卖出300件， 又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元， ∴实际卖出件. 故①正确； 设降价y元，那么卖出件， 根据题意可得：所获得的利润. 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 故②错误； 设涨价x元， 由题意可得：所获利润 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大. 故③错误. 故答案选：B 10．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 解：①对称轴在轴右侧， 、异号， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， ，故②正确； ③， ， 当时，， ， ，故③正确； ④根据图象知，当时，有最小值； 当为实数时，有 ， （为任意实数），故④正确； ⑤方程可转化为， 方程的两个之和为， ， 方程的两根之和为，故⑤错误； 故正确的由①有②③④，共个， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．抛物线与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 解：令，解，得， 即抛物线与x轴的交点坐标是， 故答案为：． 12已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 ． 【答案】 解：∵ ∵开口向上，对称轴为直线， ∴时，函数值y随x的增大而增大． 故答案为：． 13．将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 【答案】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴把点向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， ∴平移后得到的抛物线解析式为：． 故答案为． 14抛物线 绕其顶点旋转后得到抛物线的解析式是 ． 【答案】 解：， 原抛物线的顶点为． 抛物线绕顶点旋转， 可得旋转后的抛物线的顶点坐标为，且． 旋转后的抛物线的解析式为． 故答案为： 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】或或或． 解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)求此抛物线的顶点坐标． 解：（1）∵抛物线经过点． ∴， 解得 （2）由（1）得到抛物线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 17.本小题分二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出函数的顶点坐标； (2)写出方程的两个根； (3)写出不等式的解集． 解：（1）由图象可得函数图象的最高点坐标为， ∴函数的顶点坐标为； （2）图中可以看出抛物线与轴交于(和， ∴方程的两个根为，； （3）通过图中可以看出：当时，图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 18.本小题8分 已知抛物线的顶点为，经过点，且与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）． (1)求抛物线的解析式： (2)P为抛物线上一点，连交线段于点Q，若，求P点的横坐标； 解：（1）∵抛物线的顶点为， 设抛物线的顶点式为， 把代入，得，解得． ∴抛物线的解析式为． 即：． （2）连，由，得，则． 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线为． 根据平移得：直线的解析式为． 联立方程得：， 解得：，（舍去）． 所以，点P的横坐标为． 19.本小题8分如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 解：（1）为16m，的中点为原点， 点，的坐标分别是，． 可设此函数的表达式为， 当水位上升时，水面宽为， 点的坐标为， 把，代入， ， 解得． 此函数的表达式为，即． （2）船不能安全通过此桥． 把，代入，得 ， 当船行至桥时水位上升高度为， 船顶距高为． ， 船不能安全通过此桥． 20本小题10分在某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 解：（1）设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． （2）设降价元，该超市的利润最大，利润为． 时，利润取得最大值，且最大值为2000元． 答：降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 21.本小题10分材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件， 日销量， 由材料一可得，销售单价不低于元， 由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数． 的取值范围为，且为正整数． 日销售利润， 关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）由题意得，当时，即， 整理得，即， 解得，， ， 销售单价应定为元或元， 答：销售单价应定为元或元； （3）， 且为正整数， 当或时，最大， 当时，（元）， 当时，（元）， 最大利润为元， 答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元． 22本小题12分海洋馆的海豚表演是深受孩子们喜欢的项目，如图1是海豚钻圈表演，在进行钻圈时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图2，在某次表演中，以海豚起跳点为原点，以点与海豚落水点所在的直线为轴，垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）之间满足函数关系式，海豚落入水面的点的坐标为，经测量，海豚这次表演的最高点距离水面． (1)求这次表演时，海豚运动路线的解析式； (2)如图2，饲养员小明将直径为的圈如图放置，轴，点的坐标为，海豚穿过圈时与的交点为，求的值； (3)为增加观赏性，小明准备了一个与圈相同的圈，并把以同样高度放置在圈的右侧，若海豚运动路线不变，设点的横坐标为，当海豚顺利通过时，直接写出的取值范围． 解：（1）由题意得，抛物线过点，， 得， ， ； （2）点的坐标为，则点的坐标为， 设点的坐标为，点在抛物线上， 则， ， ； （3）抛物线对称轴为直线， 分两种情况： ①当在对称轴左侧时， 若点经过抛物线，即纵坐标为3，则， 解得，（舍去）， 则， ②当在对称轴右侧时，若 点经过抛物线，即纵坐标为3，则 解得（舍去），， 当点经过抛物线，即纵坐标为1，则， 解得（舍去），， 则， 综上所述，的取值范围为或． 23本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点， ①当面积最大时，求点的坐标； ②过点作轴于点，交于点，连接，过点作于点，设点的横坐标为，，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 解：（1）直线经过、两点， ，， 经过、两点， ， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）①设， 过点作轴的平行线交直线于点， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值． 当时，． ，． 的面积最大时点的坐标为，； ②如图，， 时，， 解得，， ， ，， ，，， 轴， ， 点的横坐标为， ， 连接， ， ， ， ， 由（2）可知， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $