第二十六章 二次函数 典型题型专项练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本试卷为九年级上册第二十六章二次函数单元专项练，覆盖图像性质、最值、与坐标轴交点、实际应用等核心知识点，题型梯度分明，注重数学思维与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|二次函数图像与性质（如对称轴、最值）、函数图像综合判断|结合表格数据（题3）、图像辨析（题4），培养几何直观与推理意识| |填空题|4|最值计算（题11）、动态抛物线交点（题12）、利润最值（题13）|设置顶点运动情境（题12），发展空间观念与抽象能力| |解答题|9|解析式求解（题15）、实际应用（亚冬会吉祥物利润题19、洒水车建模题21）、综合探究（动态几何与函数综合题23）|融入亚冬会、智慧洒水车等时代情境，通过数学建模（题21）体现用数学语言表达现实世界，梯度从基础计算到创新应用|

第二十六章 二次函数 典型题型专项练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧 C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3 2．已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3 3．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 8 3 0 ﹣1 0 则抛物线的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，0） 4．在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（  ） A．B． C． D． 5．如图，抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线，则时x的范围是　　 A．或 B． C． D． 6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列四个结论： ①4a+c＜0；②m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；③关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0没有实数根；④ak4+bk2＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为常数）．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7． 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．下列说法中错误的是（　　） A．在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0 B．在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大 C．抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大 D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点 9．如图，抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的　　 A．B．C． D． 二、填空题 11．已知二次函数，它的最小值是________． 12．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为_______． 13．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多． 14．抛物线y=x2﹣2x﹣3与交y轴负半轴于C点，直线y=kx+2交抛物线于E、F两点（E点在F点左边）．使△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，则k的值为_____． 三、解答题 15．已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)求该二次函数的与轴的交点坐标． 16．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 17．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 18．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 19．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 20．二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． ①求这个函数“倍值点”的坐标； ②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 21．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 22．已知抛物线与轴交于两点（点位于点左侧），与轴交于点．    (1)求直线的解析式； (2)将抛物线进行平移得到抛物线，抛物线的顶点为． （i）如图1，若点是抛物线的对称轴与直线的交点，求抛物线的解析式； （ii）如图2，若点为直线上方抛物线上任意一点，抛物线与轴交于点，作轴交于点，若，求的值． 23．如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．D ∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 2．B 若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0，解得：k≤4，当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立， 故选：B． 3．C 分析：由表中所给数据，可求得二次函数解析式，则可求得其顶点坐标． 详解：当或时，，当时，， ，解得 ， 二次函数解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 故选C． 点睛：本题主要考查二次函数的性质，利用条件求得二次函数的解析式是解题的关键． 4．C A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误； C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确； D．由直线可知，直线经过（0，1），错误． 故选：C． 5．B 因为抛物线与x轴的一个交点为（−2，0），对称轴为直线x=1， 所以抛物线另一个与x轴的交点为（4，0）， ∴y＜0时，−2＜x＜4． 故选B． 6．D ①因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1，由图象可得左交点的横坐标大于﹣3，小于﹣2， 所以﹣=﹣1，可得b=2a， 当x=﹣3时，y＜0， 即9a﹣3b+c＜0， 9a﹣6a+c＜0， 3a+c＜0， ∵a＜0， ∴4a+c＜0， 所以①选项结论正确； ②∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1， ∴y=a﹣b+c的值最大， 即把x=m（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c， ∴am2+bm＜a﹣b， m（am+b）+b＜a， 所以此选项结论不正确； ③ax2+（b﹣1）x+c=0， △=（b﹣1）2﹣4ac， ∵a＜0，c＞0， ∴ac＜0， ∴﹣4ac＞0， ∵（b﹣1）2≥0， ∴△＞0， ∴关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0有实数根； ④由图象得：当x＞﹣1时，y随x的增大而减小， ∵当k为常数时，0≤k2≤k2+1， ∴当x=k2的值大于x=k2+1的函数值， 即ak4+bk2+c＞a（k2+1）2+b（k2+1）+c， ak4+bk2＞a（k2+1）2+b（k2+1）， 所以此选项结论不正确； 所以正确结论的个数是1个， 故选D． 7．C ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x==1， ∴b=﹣2a＜0，所以②正确，符合题意； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0，∴abc＞0，所以①正确，符合题意； ∵点（﹣2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）， 所以③正确，符合题意； ∵x=﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0，∴a+c＜b， 所以④错误，不符合题意． 故选C． 8．C 由函数的解析式y＝－x2，可知a=-1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故A正确； 由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B正确； 根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的绝对值越大，函数图象开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而开口最大，故不正确； 不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，正确. 故选C. 9．B ∵抛物线的对称轴为直线, ∴， 解得，． ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 当时， 当时， ∵关于x的一元二次方程是， ∴． ∵方程在的范围内有解， ∴抛物线与直线在范围内有公共点，如图所示． ∴， 故选：B． 10．D 解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3， ∴∠AOB=∠A=45°， 如图，记交点分别为C，D， ∵CD⊥OB， ∴， ∴∠OCD=∠A， ∴∠AOD=∠OCD=45°， ∴OD=CD=t， ∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）． 故S与t之间的函数关系的图象应为开口向上的二次函数图象； 故选D． 11．-3 1带入x=4得出y=-3，所以答案填写-3. 12．8 解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为， 此时点横坐标为，则， 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，， 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为． 故答案为：． 13．70 解：设销售单价定为每千克x元，获得利润为y元，则： y=（x-40）[500-（x-50）×10]， =（x-40）（1000-10x）， =-10x2+1400x-40000， =-10（x-70）2+9000， ∴当x=70时，利润最大为9000元． 故答案为：70． 14．﹣4或0 设直线y=kx+2交抛物线于E、F两点的横坐标分别为x1，x2，且（x1＜0，x2＞0）， 由题意可知：x1，x2是方程x2-2x-3=kx+2的两个根， 整理方程为：x2-（2+k）x-5=0， ∴x1+x2=2+k， 由抛物线y=x2-2x-3可知C（0，-3）， 设直线y=kx+2交y轴于B， ∴B（0，2）， ∴BC=5， ∵△CEF被y轴分成的两部分面积差为5， ∴|S△BCE-S△BCF|=5， 当S△BCE-S△BCF=5时，则有×5•x2-×5•（-x1）=5， 整理得： （x1+x2）=5， ∴（2+k）=5，解得k=0， 当S△BCE-S△BCF=-5时，则有×5•x2-×5•（-x1）=-5， 整理得：（x1+x2）=-5， ∴（2+k）=-5，解得k=-4， 故答案是：-4或0． 15．(1)；直线 (2)二次函数的与轴的交点坐标为， （1）解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； 对称轴为直线； （2）令，则， 解得或， 该二次函数的与轴的交点坐标为，． 16．(1) (2) （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； （1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 17．(1) (2)米 （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； （1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米； 18．(1) (2)； 画出函数图象，如图， (3)或 （1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 19．(1) (2) (3)零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元 （1）根据现在售价为每个60元，每天可销售100个，售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，即可得解； （2）根据总利润单件利润销售数量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． （1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最大，为元，此时定价为（元）， ∴零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元． 20．(1)； (2)①，；② （1）解：由题意得，， 解得， ∴二次函数的解析式解析式为； （2）解：①把代入，得， 解得或， ∴或， ∴这个函数“倍值点”的坐标为，； ②由①可得，， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，有最小值为；当时，有最大值为， 即的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 21．（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 22．(1) (2)（i）；（ii）或 （1）先利用待定系数法求出，进一步即可得出直线的解析式； （2）（i）利用抛物线，得出点，进一步即可得出抛物线的解析式； （ii）利用点为抛物线的顶点，得出抛物线的解析式，有点的坐标为以及点，然后分当时，点在点的上方以及当时，点在点的下方，两种情况进行分析计算即可． （1）解：抛物线经过点， ，解得，，即抛物线， 点，令，解得，，即点， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：（i）抛物线， 其对称轴为，把代入得， 即点，抛物线的解析式为：；     （ii）点在抛物线上， ， 点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式为：， 点的坐标为； 把代入得， 点， 点在第一象限， ， 当时，点与点重合，不成立； 当时，如图1，点在点的上方， ， ，， 解得（舍去），； 当时，如图2，点在点的下方， ， ，即， 解得（舍去），， 的值为或． 23．(1)； (2)的最大值为，此时； (3)存在，． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，再求出直线表达式为，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解． （1）解：由题意知，解得， ∴解析式为； （2）解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴，解得， ∴直线表达式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $